2017高考总复习数学优化方案答案
编辑:chenghuijun 成考报名 发布时间：08-15 阅读：
2017高考总复习数学优化方案答案(1)
例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长
为( ).
(A)
(B)
(C)5 (D)6
分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得：
2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为
,因此需将对称式
写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故
=62-11=25
∴
,应选C.
例2.设F1和F2为双曲线
的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是( ).
(A)1 (B)
(C)2 (D)
分析及解：欲求
(1),而由已
知能得到什么呢?
由∠F1PF2=90°,得
(2),
又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢?我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即
,
故
∴
,∴ 选(A).
注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.
例3.设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为
,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.
分析及解：由题意可设双曲线方程为
,∵
,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成：
(1),故只需求出a可
求解.
设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|=
(2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|=
(3),此时|PQ|2表示为变量y的二次
函数,利用配方法求出其最小值即可求解.
由(3)式有
(y≥a或y≤-a).
二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论.[来源:Zxxk.Com]
(1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,
∴令
,得a2=4
∴所求双曲线方程为
.
(2)当a>4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,
∴令
,得a2=49,
∴所求双曲线方程为
.
注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.
例4.设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又
,试求f(x)的表达式.
分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.[来源:Zxxk.Com]
设一次函数y=f(x)=ax+b (a>0),可知
,
∴
.
比较系数可知：
解此方程组,得
,b=2,∴所求f(x)=
.
例5.如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线
(x>0,y>0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.
分析及解：设A(x,y),如图所示,则
(4-x)(4-y) (1)
此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢?有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件?是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.
如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy (2)
这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy.
因此,只需设
t=x+y,则xy=
,代入(2)式得 S=16-4t+
(3)S表示为变量t的二次函数,
∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<
,∴当t=4时,
SABCD的最小值为
.
此时
注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.
2017高考总复习数学优化方案答案(2)
设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1,x2,若
≥3,求k的取值范围.
解：∵
≥3,
以
,
代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ=4k2-16≥0,
∴
解得k∈(-
)∪[
,+
].
例7.点P(x,y)在椭圆
上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.
解：∵点P(x,y)在椭圆
上移动, ∴可设
于是
=
=
令
,
∵
,∴|
t|≤
.
于是u=
,(|t|≤
).[来源:Zxxk.Com]
当t=
,即
时,
u有最大值.
∴θ=2kπ+
(k∈Z)时,
.
例8.过坐标原点的直线l与椭圆
相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.
解：设A(x1,y1),B(x2,y2)
直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方
程整理得
(*)
由韦达定
理,
(1),
(2)
又F(1,0)且AF⊥BF,∴
, 即
,
将
,
代入上式整理得
,
将(1)式,(2)式代入,解得
. 故直线l的倾斜角为
或
.
注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.
例9.设集合A={
}
(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B;
(2)当a∈B时,不等式x2-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范围.
解：(1)令t=2x,则t>0且方程
化为t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t2-2t+a,
则Δ=0 或
即a=1或a≤0,从而B=(-
,0]∪{1}.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
(2)当a=1时,
<x<3+
,
当a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),则当a≤0时不等式
恒成立,
即当a≤
0时,g(a)>0恒成立,故
≤4.
综上讨论,x的取值范围是(
,4).
2017高考总复习数学优化方案答案(3)
1.(2014·山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y=-x3+27x+123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为( )
A.1百万件 B.2百万件
C.3百万件 D.4百万件
解析：选C.依题意得，y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3)，当0<x<3时，y′>0;当x>3时，y′<0.因此，当x=3时，该商品的年利润最大，故选C.
2.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )
A.12 cm3 B.72 cm3
C.144 cm3 D.160 cm3
解析：选C.设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x(0<x<5)，
∴y′=12x2-104x+160.
令y′=0，得x=2或3(20)(舍去)，
∴ymax=6×12×2=144(cm3).
3.(2014·宜昌模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=ln x-ax(a>2(1))，当x∈(-2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( )
A.4(1) B.3(1)
C.2(1) D.1
解析：选D.由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为-1.令f′(x)=x(1)-a=0，得x=a(1)，
当0<x<a(1)时，f′(x)>0;
当x>a(1)时，f′(x)<0.
∴f(x)max=f(a(1))=-ln a-1=-1，解得a=1.
4.(2014·山西诊断)设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)=-x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)=ax2-3x-a+2(5)在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，0) B.(0，2(1))
C.[2(1)，+∞) D.(-∞，2(1)]
解析：选D.设g(x)=f(x)+x，依题意，存在x∈[1,4]，使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+2(5)=0.当x=1时，g(1)=2(1)≠0;当x≠1时，由ax2-2x-a+2(5)=0得a=2(x2-1)(4x-5).记h(x)=2(x2-1)(4x-5)(1<x≤4)，则由h′(x)=(x2-1)2(-2x2+5x-2)=0，得x=2或x=2(1)(舍去).当x∈(1,2)时，h′(x)>0;当x∈(2,4)时，h′(x)<0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x=2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)=2(1)，故满足题意的实数a的取值范围是(-∞，2(1)]，故选D.
5.(2014·浙江省名校联考)设函数ht(x)=3tx-2t2(3)，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0=( )
A.5 B.
C.3 D.
解析：选D.∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，
∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)=ht(x0)=3tx0-2t2(3)，则g′(t)=3x0-3t2(1)，令g′(t)=0，得t=x0(2)，易得ht(x0)max=g(x0(2))=x0(3)，∴21x0-14≥x0(3)，将选项代入检验可知选D.
二、填空题
6.函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________.
解析：f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)=0有两个不等实根.
∵f(x)=ax3+x，∴f′(x)=3ax2+1.
要使f′(x)=0有两个不等实根，则a<0.
答案：(-∞，0)
7.(2014·广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对于任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________.
解析：(构造法)若x=0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立;
当x>0时，即x∈(0,1]时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥x2(3)-x3(1).
设g(x)=x2(3)-x3(1)，
则g′(x)=x4(3(1-2x))，
所以g(x)在区间2(1)上单调递增，在区间，1(1)上单调递减，
因此g(x)max=g2(1)=4，从而a≥4.
当x<0时，即x∈[-1,0)时，同理a≤x2(3)-x3(1).
g(x)在区间[-1,0)上单调递增，
∴g(x)min=g(-1)=4，
从而a≤4，综上可知a=4.
答案：4
三、解答题
8.(2013·高考北京卷)设L为曲线C：y=x(ln x)在点(1,0)处的切线.
(1)求L的方程;
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方.
解：(1)设f(x)=x(ln x)，则f′(x)=x2(1-ln x).
所以f′(1)=1，所以L的方程为y=x-1.
(2)证明：令g(x)=x-1-f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1).
g(x)满足g(1)=0，且
g′(x)=1-f′(x)=x2(x2-1+ln x).
当0<x<1时，x2-1<0，ln x<0，所以g′(x)<0，故g(x)单调递减;
当x>1时，x2-1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增.
所以，g(x)>g(1)=0(∀x>0，x≠1).
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.
9.(2014·山东泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知8(585)-u与(x-4(21))2成正比，且售价为10元时，年销售为28万件.
(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.
解：(1)设8(585)-u=k(x-4(21))2，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴8(585)-28=k(10-4(21))2，解得k=2.
∴u=-2(x-4(21))2+8(585)=-2x2+21x+18.
∴y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11).
(2)y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).
令y′=0，得x=2(舍去)或x=9，
显然，当x∈(6,9)时，y′>0;
当x∈(9,11)时，y′<0.
∴函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是单调递增的，在(9,11)上是单调递减的.
∴当x=9时，y取最大值，且ymax=135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.
10.(2014·黄冈市高三检测)设f(x)=ex-a(x+1).
(1)若a>0，f(x)≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值;
(2)设g(x)=f(x)+ex(a)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围;
(3)求证：1n+3n+…+(2n-1)n<e-1(e)(2n)n(n∈N*).
解： (1)因为f(x)=ex-a(x+1)，
所以f′(x)=ex-a，
因为a>0，f′(x)=ex-a=0的解为x=ln a.
所以f(x)min=f(ln a)=a-a(ln a+1)
=-aln a，
因为f(x)≥0对一切x∈R恒成立，
所以-aln a≥0，所以aln a≤0，所以amax=1.
(2)设x1、x2是任意的两实数，且x1<x2，
x2-x1(g(x2)-g(x1))>m，故g(x2)-mx2>g(x1)-mx1.
∴不妨令函数F(x)=g(x)-mx，则F(x)在(-∞，+∞)上单调递增，
∴F′(x)=g′(x)-m>0恒成立.
∴对任意的a≤-1，x∈R，m<g′(x)恒成立，
g′(x)=ex-a-ex(a)≥2ex(a)-a=-a+2=(+1)2-1≥3，
故m<3.