苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学
编辑:chenghuijun 成考报名 发布时间：08-18 阅读：
苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学(1)
1.已知集合
，
，若
，则实数
的值为 ▲ .
2.已知复数
满足
，若
的虚部大于0，则
▲ .
3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图(如图所示)，则速度在70km/h以下的汽车有 ▲ 辆.
4.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 ▲ .
5.函数
的部分图象如图所示，若AB= 5，则
的值为 ▲ .
6.若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为 ▲ .
7.抛物线
的焦点到双曲线
渐近线的距离为 ▲ .
8. 已知矩形
的边
，
，若沿对角线
折叠，使平面
平面
，
则三棱锥
的体积为 ▲ .
9.若公比不为1的等比数列
满足
，等差数列
满足
，则
的值为 ▲ .
10.定义在
上的奇函数
满足当
时，
(
为常数).若
，则
的值为 ▲ .
11.已知
，且
.若点C满足
，则
的取值范围是 ▲ .
12.已知函数
若关于
的不等式
的解集为
，则实
数
的取值范围是 ▲ .
13.已知点
，
，
，点
是直线
上的动点，若
恒成立，则最小正整数
的值为 ▲ .
14.已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为 ▲ .
苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学(2)
15.(本小题满分14分)
在锐角三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
，
.
(1)求
的值;
(2)若
，求
.
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥
中，已知底面
为矩形，
⊥平面
，点
为棱
的中点.求证：
(1)
//平面
;
(2)平面
⊥平面
.
17.(本小题满分14分)
如图，
是南北方向的一条公路，
是北偏东
方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线
.为方便游客观光，拟过曲线
上某点
分别修建与公路
，
垂直的两条道路
，
，且
，
的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系
，则曲线
符合函数
模型，设
，修建两条道路
，
的总造价为
万元 .题中所涉及长度单位均为百米.
(1)求
的解析式;
(2)当
为多少时，总造价
最低?并求出最低造价.
18.(本小题满分16分)
已知各项均为正数的数列
的首项
，
是数列
的前
项和，且满足：
.
(1)若
，
，
成等比数列，求实数
的值;
(2)若
，求
.
19.(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率
，左顶点为
，过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点D，交
轴于点E.
(1)求椭圆
的方程;
(2)已知点
为
的中点，是否存在定点
，对于任意的
都有
?若存在，求出点
的坐标;若不存在，说明理由.
(3)若过点
作直线
的平行线交椭圆
于点
，求
的最小值.
20.(本小题满分16分)
已知函数
，其中
，
为自然对数的底数.
(1)若函数
的图象在
处的切线与直线
垂直，求
的值;
(2)关于
的不等式
在
上恒成立，求
的取值范围;
(3)讨论函数
极值点的个数.
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，∠
是直角，圆
与射线
相切于点
，
与射线
相交于两点
，
.求证：
平分∠
.
B.[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵
，求矩阵
的特征值和特征向量.
C.[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，圆
的极坐标方程为
，已知
，
，
为圆
上一点，求
面积的最小值.
D.[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
设x，y均为正数，且x>y，求证：
.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图，在直三棱柱
中，底面
是直角三角形，
，
，点
是棱
上一点，满足
.
(1)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)若二面角
的正弦值为
，求
的值.
23. (本小题满分10分)
已知数列
满足
，
，
，
.
(1)求证：
;
(2)求证：当
时，
.
苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学(3)
1. 2; 2.
; 3.75; 4.9; 5.
; 6.
;
7.
; 8.
; 9.26; 10. 4; 11.
;
12.
; 13.4; 14.
.
二、解答题
15.(1)在锐角三角形
中，由
，得
， …………2分
所以
.……………………………………………………………4分
由
，得
. ………………7分
(2)在锐角三角形
中，由
，得
，
，……9分
所以
，…………………11分
由正弦定理
，得
. ………………14分
16.(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE.………2分
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点.
因为E为棱PD中点，所以PB∥OE.………4分
因为PB
平面EAC，OEÌ平面EAC，
所以直线PB∥平面EAC.……………………6分
(2) 因为PA⊥平面PDC，CDÌ平面PDC，所以 PA⊥CD. …………………8分
因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.…………………………………10分
因为 PA∩AD=A，PA，ADÌ平面PAD，所以 CD⊥平面PAD.…………12分
因为CDÌ平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD. …………………14分
17. (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为
，
所以点P坐标为
，
直线OB的方程为
， ……………………………………………………2分
则点P到直线
的距离为
，………………4分
又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米.
则两条道路总造价为
. …………8分
(2) 因为
，
所以
， ………………………10分
令
，得
，列表如下：
单调递减极小值单调递增
所以当
时，函数
有最小值，最小值为
.……13分
答：(1)两条道路PM ,PN总造价
为
;
(2)当
时，总造价最低，最低造价为30万元. ……………………14分
(注：利用三次均值不等式
，
当且仅当
，即
时等号成立，照样给分.)
18.(1)令
，得
.
令
，得
，所以
.…………2分
由
，得
，因为
，所以
.………4分
(2)当
时，
，
所以
，即
，………………………6分
所以数列
是以
为首项，公差为
的等差数列，
所以
， ……………………………………………………8分
即
，①
当
时，
，②
①
②得，
，……………………………………………10分
即
，所以
， ………………………12分
所以
是首项为
是常数列，所以
. ……………………14分
代入①得
. ……………………16分
19. (1)因为左顶点为
，所以
，又
，所以
.…………………2分
又因为
，
所以椭圆C的标准方程为
. ………………………………………4分
(2)直线
的方程为
，由
消元得，
.
化简得，
，
所以
，
. ……………………………………………………6分
当
时，
，
所以
.因为点
为
的中点，所以
的坐标为
，
则
.…………………………………………………………………………8分
直线
的方程为
，令
，得
点坐标为
，
假设存在定点
，使得
，
则
，即
恒成立，
所以
恒成立，所以
即
因此定点
的坐标为
. …………………………………………10分
(3)因为
，所以
的方程可设为
，
由
得
点的横坐标为
，………………………………………12分
由
，得
…………………………………………………14分
，
当且仅当
即
时取等号，
所以当
时，
的最小值为
. …………………………16分
20. (1) 由题意，
， …………………………………………2分
因为
的图象在
处的切线与直线
垂直，
所以
，解得
. ……………………………4分
(2) 法一：由
，得
，
即
对任意
恒成立，……………………………6分
即
对任意
恒成立，
因为
，所以
， ……………………………8分
记
，因为
在
上单调递增，且
，
所以
，即
的取值范围是
. ………………………………………10分
法二：由
，得
，
即
在
上恒成立，……………………………6分
因为
等价于
，
①当
时，
恒成立，
所以原不等式的解集为
，满足题意. …………………………………………8分
②当
时，记
，有
，
所以方程
必有两个根
，且
，
原不等式等价于
，解集为
，与题设矛盾，
所以
不符合题意.
综合①②可知，所求
的取值范围是
.…………………………………………10分
(3) 因为由题意，可得
，
所以
只有一个极值点或有三个极值点. ……11分 令
，
①若
有且只有一个极值点，所以函数
的图象必穿过x轴且只穿过一次，
即
为单调递增函数或者
极值同号.
ⅰ)当
为单调递增函数时，
在
上恒成立，得
.………12分
ⅱ)当
极值同号时，设
为极值点，则
，
由
有解，得
，且
，
所以
，
所以
，
同理，
，
所以
，
化简得
，
所以
，即
， 所以
.
所以，当
时，
有且仅有一个极值点; ……………………………14分
②若
有三个极值点，所以函数
的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得
;
综上，当
时，
有且仅有一个极值点，
当
时，
有三个极值点. ……………………………16分
数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21A.连结
.
因为
是切线，所以
.………………………2分
又因为
是直角，即
， 所以
，
所以
.… 5分 又
，所以
，……8分
所以
， 即
平分
. ………………………………10分
21B.矩阵
的特征多项式为
， ……………2分
由
，解得
，
.. …………………………………………4分
当
时，特征方程组为
故属于特征值
的一个特征向量
;………………………………7分
当
时，特征方程组为
故属于特征值
的一个特征向量
. …………………………10分
21C.圆
的直角坐标方程为
，
即
. ………………………………………………4分
又
,所以
.…6分
到直线
距离的最小值为
，…8分
所以
面积的最小值为
.…………………………………10分
21D.因为x>0，y>0，x-y>0，
，…………………………………4分
=
， ……………………8分
所以
. ……………………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.以
为坐标原点
，分别以
，
，
所在直线为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系
.因为
，
，则
，
，
，
，
，
.……………………………………………1分
(1)由
得，
，
，
，
设平面
的法向量为
，由
得
不妨取
，则
， 从而平面
的一个法向量为
.…3分
设直线
与平面
所成的角为
， 则
，
所以直线
与平面
所成的角的正弦值为
.…………………………5分
(2)设平面
的法向量为
，
，
由
得
不妨取
，则
，
所以平面
的法向量为
.……………………………………7分
则
，又因为二面角
的正弦值为
，
所以
，………………………………………………………9分
化简得
，解得
或
(舍去)，
故
的值为
. …………………………10分
23.(1)由题意知，
,
， …………1分
当
时，
. ……………2分
(2)用数学归纳法加以证明：
①当
时，
，
所以当
时，结论成立.………………………………………………4分
②假设当
时，结论成立，即
，
则
时，
…………6分
，
由
可知，
，即
.
所以当
时，结论也成立.
综合①②可得，当
时，
. …………………10分
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