y=Asin(ωx,ψ)的应用

y=Asin(ωx,ψ)的应用(一)
高考一轮复习：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

【2015年高考会这样考】

1．考查正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．

2．结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径． 【复习指导】

本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示

3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做2π1

振幅，T＝ω叫做周期，f＝T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： π

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋2，k∈Z)成轴

对称图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝M＋m2π

＝2，ω由周期T确定，即由ωT求出，φ由特殊点确定． 一个区别

由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 两个注意

作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： 就可根据周期性作出整个函数的图象．

双基自测

π

1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin2x－4 的振幅、频率和初相分别为( )．

1π

A．2，π4 1π

C．2，π8 答案 A

π

2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜2的部分图象如图所示，则该简谐运动的

最小正周期T和初相φ分别为( )．

1π

B．2，2π41π

D．2，2π8M－m2，k

π

A．T＝6π，φ＝6 π

C．T＝6，φ＝6

π

B．T＝6π，φ＝3π

D．T＝6，φ＝3π

解析 由题图象知T＝2(4－1)＝6⇒ω＝3，由图象过点(1,2)且A＝2，可得πππ

sin3×1＋φ＝1，又|φ|＜，得φ＝26答案 C

π

3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移2y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为( )．

A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x π解析 由图象的平移得g(x)＝cosx＋2＝－sin x.

答案 A

π4π

4．设ω＞0，函数y＝sinωx＋3＋2的图象向右平移3则ω的最小值是( )． 243

A.3 B.3 C.2 D．3

π4π4ππωx＋ωx－3＋3＋2＝解析 y＝sin3＋2向右平移3个单位后得到y1＝sinπ4π4π

sinωx＋33ω＋2，又y与y1的图象重合，则－3ω＝2kπ(k∈Z)． 3

∴ω＝－2.又ω＞0，k∈Z，

3

∴当k＝－1时，ω取最小值为2，故选C. 答案 C

5．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

T2ππ42π3

解析 由题意设函数周期为T，则43－33T＝3π.∴ω＝T23答案 2

考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【y=Asin(ωx,ψ)的应用】

ππ

【例1】►设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－2φ＜0的最小正周期为π，且f4

3

＝2(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；

(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，

π]．

2π【y=Asin(ωx,ψ)的应用】

解 (1)周期T＝ωπ，∴ω＝2，

π3ππ

∵f4＝cos2×4φ＝cos2φ＝－sin φ＝2， ππ∵－2＜φ＜0，∴φ＝－3.【y=Asin(ωx,ψ)的应用】

π2x－(2)由(1)知f(x)＝cos，列表如下：

3

图象如图：

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线

即可．

(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者φx＋来确定平移单位． 可利用ωx＋φ＝ω

ω1π【训练1】 已知函数f(x)＝3sin2－4，x∈R.

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 解 (1)列表取值：

π

(2)先把y＝sin x的图象向右平移4的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

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