大一轮数学步步高2016

大一轮数学步步高2016(一)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.6 抛物线

9.6 双曲线

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0. (1)当P点的轨迹是双曲线； (2)当P点的轨迹是两条射线； (3)当P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质

[巧设双曲线方程

x2y2x2y2

(1)与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－t (t≠0)．

ababx2y2

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn<0)．

mn【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) x2y2

(2)方程1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )

mn

x2y2x2y2xy

(3)－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是0，即0.( √ )

mnmnmn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( √ )

x2y2x2y211

(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，＋＝1(此

abbae1e2结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √

)

x2y2

1．若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率

ab为( ) 5 2 答案 A

解析 由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. c2

∴e＝5，∴e＝5.

a

2

B．5 D．2

x2y2

2．设双曲线－1 (a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )

a9A．4 B．3 C．2 D．1 答案 C

3

解析 渐近线方程可化为y＝x.

239

2， ∵双曲线的焦点在x轴上，∴a2解得a＝±2.由题意知a>0，∴a＝2.

x22

3．(2013·福建)双曲线y＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )

424545 B. C. D. 5555

答案 C

1225

解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y＝的距离d＝25x2y2x2y2

4．已知双曲线C11(a>0，b>0)与双曲线C21有相同的渐近线，且C1的右

ab416焦点为F(5，0)，则a＝________，b＝________. 答案 1 2

x2y2x2y2x2y2

解析 与双曲线1有相同渐近线的双曲线的方程可设为＝λ，即＝1.

4164164λ16λ1

由题意知c＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝a2＝1，b2＝4.

4又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.

5．(2014·北京)设双曲线C的两个焦点为(2，0)，2，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________． 答案 x2－y2＝1

解析 由题意可知，双曲线的焦点在x轴上， 且c，a＝1，则b2＝c2－a2＝1， 所以双曲线C的方程为x

2－y2＝1.

题型一 双曲线的定义及标准方程

例1 (1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________． (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________． 思维点拨 解(2)时，考虑定义法． y2x2

答案 (1)＝1

24y2

(2)x－1(x≤－1)

8

2

x22x22

解析 (1)设与双曲线－y＝1－y＝k，将点M(2，－2)代入

2222

得k＝－(－2)2＝－2.

2y2x2

所以双曲线方程为＝1.

24

(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2

分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，

所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8.

y2

故点M的轨迹方程为x－1(x≤－1)．

8

2

思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：

(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求x2y2x2y2

出a、b、c的值与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为λ (λ≠0)．

abab(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．

x2y2

(1)(2014·天津)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x

ab

＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) x2y2

－1 5203x23y2

1 25100

x2y2

B.－＝1 2053x23y2

D.1 10025

5

(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个

13焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( ) x2y2

－＝1 43x2y2

C.－＝1 34

答案 (1)A (2)A

bb

解析 (1)双曲线的渐近线方程为y＝x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.

aa又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上， 所以－2c＋10＝0.所以c＝5. b2a＝2，a＝5，

由得2

b＝20.c＝a＋b＝5

x2y2

B.－＝1 135x2y2

D.－＝1 1312

x2y2

故双曲线方程为1.

520

(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.

由双曲线的定义知：a＝4，b＝3. x2y2

故曲线C21.

43题型二 双曲线的几何性质

x22

例2 (1)(2013·浙江)如图，F1，F2是椭圆C1＋y＝1与双曲线C2

4的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ) 36

2 B.3

22

x2y2x2y2

(2)(2014·广东)若实数k满足0<k<9，则曲线＝1－1的( )

259－k25－k9A．焦距相等 C．虚半轴长相等

B．实半轴长相等 D．离心率相等

思维点拨 (1)依题意可求出a、c的值．

(2)分别表示出两方程对应的a、b、c的值比较即可． 答案 (1)D (2)A

x2y2

解析 (1)|F1F2|＝23.设双曲线的方程为＝1.

ab∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a， ∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a. 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°， ∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， 即(2－a)2＋(2＋a)2＝(23)2， c36

∴a2，∴e＝＝＝.故选D.

a22

x2y2

(2)因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线－＝1的实半轴长为5，虚半轴长

259－k34－kx2y2

为9－k，焦距为225＋9－k＝34－k，离心率为.双曲线1的实半轴

525－k925－k，虚半轴长为3，焦距为225－k＋9＝234－k故两曲线只有焦距相等．故选A.

34－k

， 25－k

大一轮数学步步高2016(二)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.3 等比数列及其前n项和

6.3 等比数列及其前n项和

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝an1. －3．等比中项

若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝amnmn，m∈N*)． －(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则1a(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a，{a2bn}，b仍是等比数n}，{an·nn

列．

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1；

a11－qna1－anq当q≠1时，Sn＝. 1－q1－q

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × )

(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( × )

(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × )

(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × )

(5)等比数列{an}的首项为a，公比为－1，前n项和为Sn，则S2n＝0，S2n－1＝a.( √ )

1－b5

(6)1＋b＋b＋b＋b＋b＝.( ×

) 1－b2345

1．(2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，„的第四项等于( )

A．－24 B．0 C．12 D．24

答案 A

解析 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，

(3x＋3)2＝x(6x＋6)．

解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)．

故数列的第四项为－24.

2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( )

A．7 B．5 C．－5 D．－7

答案 D

解析 方法一 由题意得

36a4＋a7＝a1q＋a1q＝2， 4529a5a6＝a1q×a1q＝a1q＝－8，

3q3＝－2，q＝－2，∴或a1＝1 1a1＝－8，

∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. a4＋a7＝2，方法二 由， aa＝aa＝－85647a4＝－2，a4＝4，解得或 a7＝4a7＝－2.

3q3＝－2，q＝－2，∴或a1＝1 1

a1＝－8，

∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

3．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． 答案 4

解析 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.

4．(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.

答案 2 2n1－2 ＋

解析 设等比数列的公比为q，

由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.

得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2.

a11－qnn＋1因此Sn＝2－

2. 1－q

题型一 等比数列基本量的运算

例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于

( )

15313317 C. D.2442

(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.

答案 (1)B (2)4或－4

aq·aq＝1，11

3解析 (1)显然公比q≠1，由题意得a11－q 7，1－q

a＝4，a＝911

解得1或1(舍去)， q＝q＝－32

141－2a11－q31∴S5＝＝. 141－q1－25

3a1q－a1q＝6，q22(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则4两式相除，得，即2q－5q1＋q5a1q－a1＝15，3

1＋2＝0，解得q＝2或q＝2

1a1＝1，所以或1q＝2q＝. a＝－16，2 故a3＝4或a3＝－4.

思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( )

33 12

B．31

31 4D．以上都不正确

(2)(2014·天津)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

1答案 (1)B (2)－ 2

解析 (1)设{an}的公比为q，q>0.

由已知得a4＋3a3＝2×5a2，

即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，

解得q＝2或q＝－5(舍去)，

又a2＝2，

则a1＝1，

a11－q51×1－25所以S5＝＝31. 1－q1－2

(2)因为等差数列{an}的前n项和为

nn－1Sn＝na1＋d， 2

所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.

因为S1，S2，S4成等比数列，

1所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a12

题型二 等比数列的性质及应用

例2 (1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.

S31(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________. S532

1答案 (1)51 (2)－ 2

2解析 (1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a4，

2得a24＋a8＝41.因为a4a8＝5，

2所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a8＝41＋2×5＝51.

又an>0，所以a4＋a8＝51.

S31(2)由a1＝－1知公比q≠1， S532

S－S1则可得. S532

由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，

11故q5q322

思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________.

(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.

S(3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，Tn

n，则logb5a5＝________. 2n＋1

9答案 (1)3∶4 (2)1 024 (3) 19

解析 (1)由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，

1S3将S6＝S3代入得2S34

(2)方法一 a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3

＝a4q6＝1，① 1·

a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15

＝a4q54＝8，② 1·

a4q5448·②÷①：q＝8⇒q16＝2， a1·q又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43

＝a4q166＝a4q6·q160 1·1·

46＝(a1·q)·(q16)10＝1·210＝1 024.

方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，

设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，

T4＝a13·a14·a15·a16＝8，

∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.

∴T11＝a41·a42·a43·a44

＝T1·p10＝210＝1 024.

a·„·aSlga·(3)由题意知＝T9lgb1·b2·„·b9

lg a9lg a＝lg b5lg b5

9＝logb5a5＝. 19

题型三 等比数列的判定与证明

大一轮数学步步高2016(三)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.2 圆的方程

9.2 两直线的位置关系

1．两条直线的位置关系

(1)两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

②两条直线垂直：

(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

(2)两条直线的交点

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，的解． Ax＋By＋C＝0222

2．几种距离

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝x2－x1＋y2－y1.

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

|Ax＋By＋C|d＝. A＋B(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝

[知识拓展]

1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.

2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2.

3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． |C1－C2|A＋B

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )

(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )

|kx0＋b|(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为 × ) 1＋k(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )

1

(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－AB的中点k

在直线l上．( √ )

1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )

A．x－2y－1＝0

C．2x＋y－2＝0

答案 A

解析 ∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，

1∴所求直线的斜率为(1,0)点， 2

则直线方程为x－2y－1＝0.

2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( ) 2

2－1

答案 C

|a－2＋3|解析 ＝1. 1＋1

解得a＝－12或a＝－12.

∵a>0，∴a＝－1＋2.

3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为( )

A．－7 C．－1或－7

答案 A B．－1 13D. 3B．2－2 2＋1 B．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0

3＋m5－3m解析 l1 44

28l2的斜率为－. 5＋m5＋m

3＋m2又∵l1∥l2，由－m2＋8m＋7＝0， 45＋m

得m＝－1或－7.

5－3m8m＝－12，l1与l2重合，故不符合题意； 45＋m

5－3m138m＝－7≠＝－4，符合题意． 425＋m

4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为________________．

答案 x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

|c＋1|解析 设l1的方程为x＋y＋c＝0，则2

∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.

∴直线l1的方程为x＋y＋1＝0

或x＋y－3＝0.

题型一 两条直线的平行与垂直

例1 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

思维点拨 本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况．

解 (1)方法一 由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.

若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.

4又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)． 3

∴此种情况不存在，∴k2≠0.

a即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1，l1⊥l2， b

a∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.① b

又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②联立，解得a＝2，b＝2.

方法二 由于l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0.

即b＝a2－a.①

又因为l1过点(－3，－1)．

所以－3a＋b＋4＝0.②

a＝2，联立①②可得 b＝2.

经验证，符合题意．【大一轮数学步步高2016】

故a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，

ak1＝k2，即1－a.③ b【大一轮数学步步高2016】

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

4∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.④ b

a＝a＝2，联立③④，解得或3

b＝－2 2b＝2.

2∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 3

思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：

(1)l1∥l2；

(2)l1⊥l2.

解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.

1当sin α≠0时，k1＝－，k＝－2sin α. sin α2

1要使l1∥l2，需－2sin α， sin α

2即sin α＝. 2

π所以α＝kπ±k∈Z，此时两直线的斜率相等． 4【大一轮数学步步高2016】

π故当α＝kπ±k∈Z时，l1∥l2. 4

方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，

2π所以sin α＝.所以α＝kπ±，k∈Z. 24

又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.

π故当α＝kπ±k∈Z时，l1∥l2. 4

(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，

所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.

故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.

题型二 两直线相交

例2 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

思维点拨 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．

3x＋2y－1＝0，解 方法一 先解方程组 5x＋2y＋1＝0，

得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，

35再由l3的斜率求出l的斜率为－， 53

于是由直线的点斜式方程求出l：

5y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 3

方法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，

而l过l1，l2的交点(－1,2)，

故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，

故l的方程为5x＋3y－1＝0.

方法三 由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.

3＋5λ51其斜率为－，解得λ 352＋2λ代入直线系方程得l的方程为5x＋3y－1＝0.

思维升华 (1)两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．

(2)常见的三大直线系方程

①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是

Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

大一轮数学步步高2016(四)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 4.7 正弦定理、余弦定理

4.7 正弦定理、余弦定理

1．正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝sin B＝＝a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由

2224R2此计算R、r.

3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( √ )

(2)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是3，2)．( √ ) (3)若△ABC中，acos B＝bcos A，则△ABC是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( × )

(5)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．( × )

(6)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于

× ) 2

1．(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝3b，则角A等于( )

ππππ B. C. D. 12643答案 D

解析 在△ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B3sin B，∴sin A＝π又A为锐角，∴A＝3

2．(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 B

解析 由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所π

以sin A＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．

2

π

3．(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝3则△ABC的面积是( ) A．3 33 2答案 C

解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ππ

∵C＝∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②

33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 113∴S△ABCabsin C＝×6×2222

4．(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝

3

B.

2D．33 B．直角三角形 D．不确定 32

a

2b，则______.

b答案 2

解析 方法一 因为bcos C＋ccos B＝2b， a2＋b2－c2a2＋c2－b2

所以b＋c2b，

2ab2aca

化简可得＝2.

b

方法二 因为bcos C＋ccos B＝2b， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B， 故sin(B＋C)＝2sin B，

a

故sin A＝2sin B，则a＝2b＝

2.

b

题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1 (2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos 7B9

(1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解 (1)由余弦定理得：

a2＋c2－b2a2＋c2－47

cos B，

2ac2ac914

即a2＋c2－4＝.

9

14

∴(a＋c)2－2ac－4＝，∴ac＝9.

9

a＋c＝6，由得a＝c＝3. ac＝9，

7(2)在△ABC中，cos B＝，

9∴sin B1－cosB＝

2421－9＝9.

ab

由正弦定理得：，

sin Asin B

23×

9asin B2

∴sin A＝.

b23

π1

又A＝C，∴0<A<，∴cos A＝1－sinA

23∴sin (A－B)＝sin Acos B－cos Asin B ＝

227142102

×. 393927

思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考

虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

1

(1)(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝

4

a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．

35

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝

513________.

114

答案 (1)

45

解析 (1)由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c， 3

即b＝.

2

111

又b－c＝a，c＝，即a＝2c.

424

922

c＋c－4c2

b＋c－a4

由余弦定理得cos A＝＝

2bc32

2×2

2

2

2

3－c241＝＝－3c4

34(2)在△ABC中，∵cos A＝，∴sin A＝.

55512

∵cos B＝>0，∴sin B＝.

1313∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B 4531256

＝×51351365

bc

由正弦定理知＝

sin Bsin C563×

6514bsin C

∴c＝sin B125

13

题型二 利用正、余弦定理判定三角形的形状

例2 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.

(1)求角A的大小；

(2)若sin B＋sin C3，试判断△ABC的形状． 解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21

∴cos A＝，

2bc2∵0°<A<180°，∴A＝60°.

(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B3. 33

∴Bcos B＝3，即sin(B＋30°)＝1. 22∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°. ∴B＋30°＝90°，B＝60°.

∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形．

思维升华 (1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)

边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．

c

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，则△ABC为( )

b

A．钝角三角形 C．锐角三角形

B．直角三角形 D．等边三角形

Ba＋c

(2)在△ABC中，cosa，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )

22cA．等边三角形 B．直角三角形

大一轮数学步步高2016(五)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.1 不等关系与不等式

7.1 不等关系与不等式

1．两个实数比较大小的方法

a－b>0⇔a

(1)作差法a－b＝0⇔a (a，b∈R)；

a－b<0⇔a

a

(2)作商法b＝1⇔a ＝ b

<1⇔abab

2．不等式的基本性质

a

>1⇔ab

(a∈R，b>0)．

- 1 -

3.(1)倒数的性质 11

①a>b，ab>0a11

②a<0<b⇒.

abab

③a>b>0,0<c<d⇒.

c111

④0<a<x<b或a<x<b<0⇒bxa(2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则

bb＋mbb－m①；b－m>0)． aa＋maa－maa＋maa－m②；b－m>0)． bb＋mbb－m【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2

.( × ) ab

(2)a>b>0，c>d>0⇒>.( √ )

dc11

(3)若ab>0，则a>b √ )

aba

(4)若，则a>b.( × )

b

(5)若a>b>1，c<0，则logb(a－c)>loga(b－c)．( √ ) 11

(6)若，则|a|>|b|.( × )

ab

1．(2014·四川)若a>b>0，c<d<0，则一定有( ) ab cd

abB.< cd

- 2 -

ab dc答案 D

abD.<dc

解析 令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， ab

则1，1， cd所以A，B错误； a3b2， d2c3ab

dc

所以C错误．故选D.

2．设a<b<0，则下列不等式中不成立的是( ) 11 abC．|a|>－b 答案 B

11

解析 由题设得a<a－b<0，所以有成立，

a－ba即

11

a－ba

11B.a－ba－a－b

3．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是____________． 答案 v≤40 km/h

4．已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________________． 答案 a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1 解析 ∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1) ＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1) ＝(b1－b2)(a1－a2)， ∵a1≤a2，b1≥b2， ∴(b1－b2)(a1－a2)≤0， ∴a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1

.

题型一 用不等式(组)表示不等关系

例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采

- 3 -

用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ 解 若提价后商品的单价为x元， x－10

则销售量减少10件，

1

因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元， 则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式 (x－8)[100－10(x－10)]≥300.

思维升华 对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后，用不等式表示．而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决．

已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：

设用甲、乙两种食物各x56 000单位维生素A和62 000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为________． x＋y≤100，

6x＋7y≥560，答案 2x＋y≥155，

x≥0，y≥0题型二 比较大小

例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．M<N C．M＝N

B．M>N D．不确定

ln 3ln 4ln 5(2)若a＝b＝c＝( )

345A．a<b<c C．c<a<b 答案 (1)B (2)B

解析 (1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1) ＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－1<0，a2－1<0.

- 4 -

B．c<b<a D．b<a<c

∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0. ∴M>N.

b3ln 4

(2)方法一 易知a，b，c都是正数，a4ln 3＝log8164<1， 所以a>b；

b5ln 4＝log6251 024>1， c4ln 5

所以b>c.即c<b<a. 方法二 对于函数y＝f(x)＝

1－ln xln x

，y′＝， xx易知当x>e时，函数f(x)单调递减． 因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)， 即c<b<a.

思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：

一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：

一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．

(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．

(1)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( )

11

ab

C．－ab<－a2

B．ab<b2 11D．－－

ab

(2)(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( ) A．a>c>b C．c>b>a 答案 (1)D (2)D

解析 (1)对于A项，由a<b<0，得b－a>0，ab>0， 11b－a

故>0， abab11

>，故A项错误； ab

- 5 -

B．b>c>a D．c>a>b