2015年高考数学全国卷1

2015年高考数学全国卷1(一)
2015高考数学全国卷1(完美版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的. 1＋z

1．设复数z满足＝i，则|z|＝

1－z

A．1 B．2 C． 3 D．2

2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝

3311

A．－ B． C．－ D．

2222

3．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为

A．∀nN， n2＞2n B．∃nN， n2≤2n C．∀nN， n2≤2n D．∃nN， n2＝2n

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各

次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312

x22→→

5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若MF1·MF2＜0 ，则

2

y0的取值范围是

33332222 D．－3，3

A．－， B．－ C．36333633

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，

高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛

→→

7．设D为△ABC所在平面内一点BC＝3CD，则

1→414→A．AD＝－ABAC B．AD＝AB－AC 33334→141→C．AD＝ABAC D．AD＝AB－AC 3333

8．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为

1

→→

→→

1313

A．kπ－，kπ＋ (k∈Z) B．2kπ2kπ＋ (k∈Z)

44441313

C．k－，k (k∈Z) D．2k－，2k (k∈Z)

4444

9．执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝

A．5 B．6 C．7 D．8

正视图

俯视图

10．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为

A．10 B．20 C．30 D．60 (第11题图)

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图

如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝

A．1 B．2 C．4 D．8

12．设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，则a的取值范围是

333333

A.－，1 B. － C.  D. ，1 2e2e42e42e

2

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

13．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a.

x2y2

14．一个圆经过椭圆 ＋＝1 的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .

164

x－1≥0 (1)y

15．若x，y满足约束条件x－y≤0 (2)， 则 的最大值为x

x＋y－4≤0 (3)

16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分12分)

Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an＋2an＝4Sn＋4．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

1

(Ⅱ)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和．

anan＋1

18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，

DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC； E (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

F

A

C B

3

2

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)

和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年宣传费/千元

1

表中w1 ＝x1， ，－w ＝8



w1

x＋1

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？

(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.

2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

(ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)，„„，(un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

n

u)(vi－－v)(ui－－

u)2(ui－－

i＝1

β＝

i＝1

n

α＝－v－β－u

4

20．(本小题满分12分)

x2

在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝y＝kx＋a (a＞0)交于M，N两点，

4

(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

21．(本小题满分12分)

1

已知函数f(x)＝x3＋ax＋g(x)＝－lnx．

4

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x) 的切线；

(Ⅱ)用minm,n 表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)} (x＞0)，讨论h(x)零点的个数．

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.．

5

2015年高考数学全国卷1(二)
2015年全国卷1理科高考真题数学卷word版(附答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1+z

（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝

1z

(A)1 (B

(C

(D)2 (2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝

11 (A

) (B

(C) (D)

22(3)设命题P：nN，n2>2n，则P为

(A)nN， n2>2n (B) nN， n2≤2n (C)nN， n2≤2n (D) nN， n2＝2n

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为【2015年高考数学全国卷1】

(A)0.648

(B)0.432 (C)0.36

(D)0.312

x2

(5)已知M(x0，y0)

是双曲线C：

y21 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，

2

若MF1MF2＜0

，则y0的取值范围是

) (B)(－，) (C)() (D)()

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

(A)(

－

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛

(7)设D

为ABC所在平面内一点BC3CD，则

1414

(A) ADABAC (

B) ADABAC

33334141

(C) ADABAC (D) ADABAC

3333

(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 (A)((C)(

)，k)，k

(b)( (D)(

)，k)，k

(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

（10）(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为

(A)10 (B)20 (C)30 (D)60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20，则r＝ (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

正视图 12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的 整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )

333333

A.[，1) B. [,) C. [,) D. [，1)

2e42e42e2e

俯视图

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数f(x)＝xln(x为偶函数，则a＝ (14)一个圆经过椭圆

的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .

x10

y

(15)若x，y满足约束条件xy0，则的最大值为 .

xxy40



(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， (Ⅰ)求{an}的通项公式： (Ⅱ)设

，求数列

}的前n项和

E

F (18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，

E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCDDF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. A (1)证明：平面AEC⊥平面AFC

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 C B

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量/t

年宣传费(千元)

1

表中wi ，w ＝

8



i=1

wi

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋y关于年宣传费x的回

归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：



(uu)(vv)

i

i

i1

n

(uu)

i

i1

n

,vu

2

(20)(本小题满分12分)

x2

在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线l:y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，

4

(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

(21)(本小题满分12分)

1

已知函数f(x)＝x3ax,g(x)lnx

4

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yf(x) 的切线；

(Ⅱ)用min m,n 表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)

(x0) ，讨论

h(x)零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则

按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

AC是☉O的切线，BC交☉O于点E

（I） 若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线； （II） 若OA＝，求∠ACB的大小.

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中.直线C1:x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I） 求C1，C2的极坐标方程； （II） 若直线C3的极坐标方程为

的面积



4

R，设C2与C3的交点为M，N ，求△C2MN

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

2015年高考数学全国卷1(三)
2015年高考理科数学试卷全国卷1(教师版)

2015年高考理科数学试卷全国卷1

1．设复数z满足1z=i，则|z|=（ ） 1z

（A）1 （B

（C

（D）2

【答案】A 【解析】由1z1i(1i)(1i)i得，z==i，故|z|=1，故选A. 1z1i(1i)(1i)

考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.

2．sin20ocos10ocos160osin10o =（ ）

（A

）11（B

（C） （D） 221，故选D. 2【答案】D ooooo【解析】原式=sin20cos10cos20sin10 =sin30=

考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

3．设命题p：nN,n22n，则p为（ ）

（A）nN,n22n （B）nN,n22n

（C）nN,n22n （D）nN,n2=2n

【答案】C

【解析】p:nN,n2，故选C.

考点：本题主要考查特称命题的否定

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

【答案】A

2【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C30.620.40.63=0.648，2n

故选A.

考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式

x2

y21上的一点，F1,F2是C上的两个焦点，若5．已知M（x0,y0）是双曲线C：2

MF1MF20，则y0的取值范围是（ ）

（A）（

（B）（

（C）

（

） （D）

（

） 【答案】A

2

x02y01，所以MF1MF2= 【解析】由题

知F1(F2，2

222(x0,y0)x0,y0) =x0y033y01

0，解得y0故选A.

考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部

的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已

知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

【答案】B

11623r8=r，所以米堆的体积43

11162320320为3()5=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B. 43399【解析】设圆锥底面半径为r，则

考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

7．设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（ ）

4141（A）ADABAC （B）ADABAC 3333

4141（C）ADABAC （D）ADABAC 3333

【答案】A

11【解析】由题知ADACCDACBCAC(ACAB)=3341ABAC，故选A. 33

考点：平面向量的线性运算

8．函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）

1313,k),kZ （B）(2k,2k),kZ 4444【2015年高考数学全国卷1】

1313（C）(k,k),kZ （D）(2k,2k),kZ

4444（A）(k

【答案】D

1+42=f(x)cos(x)，【解析】由五点作图知，，解得，，所以=5344+42

令2kx

间为（2k42k,kZ，解得2k13＜x＜2k，kZ，故单调减区4413，2k），kZ，故选D. 44

考点：三角函数图像与性质

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

【答案】C

【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=

＞t=0.01,是，循环， 1m=0.5,S=S-m=0.5,m=0.25,n=1,S=0.522

m=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第3次，S=S-m=0.125,m=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第4次，S=S-m=0.0625,m=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第5次，S=S-m=0.03125,m=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第6次，S=S-m=0.015625,m=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第7次，S=S-m=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，2执行第2次，S=S-m=0.25,m

输出n=7，故选C.

考点：本题注意考查程序框图

10．(xxy)的展开式中，xy的系数为（ ）

（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

【答案】C

【解析】在(xxy)的5个因式中，2个取因式中x剩余的3个因式中1个取x，2522552

212其余因式取y,故x5y2的系数为C5C3C2=30，故选 C.

考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为14r2r2rr22r2r=2

5r24r2=16 + 20，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

12．设函数f(x)=e(2x1)axa,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是（ ）

（A）[-x333333，1） （B）[-，） （C）[，） （D）[，1） 2e2e42e42e

【答案】D

x【解析】设g(x)=e(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在

直线yaxa的下方.

因为g(x)e(2x1)，所以当x

11以当x时，[g(x)]max=-2e2， 2x11时，g(x)＜0，当x时，g(x)＞0，所22

当x0时，g(0)=-1，g(1)3e0，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故ag(0)1，且g(1)3e1aa，解得3≤a＜1，故选D. 2e

考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

13．若函数f（x）

=xln(x为偶函数，则【答案】1

【解析】

由题知yln(x是奇函数，

所以ln(xln(x =ln(ax2x2)lna0，解得a=1.

考点：函数的奇偶性

x2y2

1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标14．一个圆经过椭圆164

准方程为 . 22【答案】(x)y3

225 4

222【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则(4a)a2，解得a

22圆的方程为(x)y3，故23

225. 4

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

x10y15．若x,y满足约束条件xy0，则的最大值为 . xxy40【答案】3 y是可行域内一点与原x

y点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3. x【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，

2015年高考数学全国卷1(四)
2015年高考全国1卷理科数学精校版

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1+z

（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝

1z

(A)1 (B

(C

(D)2 (2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝ (A

)

11 (B

) (C) (D)

2222

(3)设命题P：nN，n2>2n，则P为

(A)nN， n2>2n (B) nN， n2≤2n (C)nN， n2≤2n (D) nN， n2＝2n

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

x2

(5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21 上的一点，F1、F2是C上的两个

2焦点，若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是

(A)(

(B)(

(C

)(

(D

)(

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛

(7)设D

为ABC所在平面内一点BC3CD，则

1414ABAC (B) ADABAC 33334141

(C) ADABAC (D) ADABAC

3333

(A) AD

(8)函数f(x)＝cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 (A)(kπ−4,kπ+4,)，k∈