一元二次不等式解法
编辑:huangtingting 成考报名 发布时间:05-04 阅读:
“三步法”解一元二次不等式
利用一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系,三步可求出一元二次不等式的解集,且简便快捷。第一步求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根,第二步作出一元二次不等式对应的二次函数图象,第三步根据图象写出不等式的解集。
例1 解不等式
。
解析:方程
的解为
。函数
的图象如图1。因不等式
的解为抛物线
在x轴下方对应点的横坐标,所以可得不等式
的解集为
。
点评:作相关二次函数的图象时,可不必作出y轴,因为求解一元二次不等式,只需找出抛物线在x轴上(或下)方对应点的横坐标,与y轴的位置并无关系。
例2 解不等式
。
解析:显然方程
无解。函数
的图象如图2。因不等式
的解为抛物线
在x轴上方对应点的横坐标,所以不等式
的解集为
。
点评:对于二次项系数为负的不等式可转化为正系数的情况研究,作二次函数图象时必须弄清楚抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点坐标。
例3 解关于x的不等式
。
解析:原不等式等价于
。方程
的根为x=a或
,抛物线
开口向上。
当a=0或a=1时,
,如图3,原不等式的解集为
。
当
时,
,如图4,原不等式的解集为
。
当a>1或a<0时,
,如图5,原不等式的解集为
。
点评:熟练后只需在大脑中想象出二次函数图象,不必真正画出来。
例4 解关于x的不等式
。
解析:原不等式变形为
当a=0时,原不等式的解为x<1
当a<0时,方程
的两根为1、
,抛物线开口向下,原不等式的解为
。
当a>0时,
,抛物线开口向上,原不等式的解为
。
点评:解含参数的一元二次不等式问题需要讨论,运用“三步法”解一元二次不等式,分类标准的确定变得轻松自然,容易理解。
例5 已知不等式
的解集是
,求不等式
的解集。
解析:不等式
的解集为
,由函数性质知a<0.2、
为方程
的两个根。则
,可得
不等式
变为
,由a<0,得
,所以其解集为
。
点评:若能发现方程
与方程
的根互为倒数,a<0,c>0,想象图象,求解更快捷。有兴趣的同学不妨试一试。
例6 已知a≠0,二次函数
。设
的解集为A,又已知
,若
,求实数a的取值范围。
解析:由
,知二次函数
的图象必与x轴相交,其开口方向不确定,需要讨论。
当a>0时,二次函数
的图象开口向上,对称轴
,由
,如图6知
从而
,可得
。
当a<0时,二次函数
的图象开口向下,对称轴
,由
,如图7知
,从而
,可得a<-2。
综上,使
成立的实数a的取值范围为(-∞,-2)
(
)。
点评:若求出方程
的根,将得到无理不等式,情况复杂难解。
例7 若函数
的值域为[1,7],试确定x的取值范围。
解析:设
,由函数
的值域为[1,7],得
。作出
的图象,如图8。
由题设知
,得
,所以x的取值范围是
。
点评:对于不等式
,也可以转化为解不等式组
,但不如上述解法直观明了。