垂径定理教材分析

垂径定理教材分析(一)
《垂径定理》说课稿

《垂径定理》案例分析

张小飞

一、教材分析

1、内容地位：从知识体系上看，《垂径定理》是义务教育新课程标准人教版九年级（上册）第三章内容，是在学生学习了《旋转与中心对称》之后，对特殊的中心对称图形圆的深度学习的过程，是学生学习了圆的基本概念之后，对圆的基本性质的新探究。是中考的必考考点之一。

2、学习目标：

（1）利用圆的对称性探究垂径定理。

（2）能运用垂径定理解决问题。

（3）全心投入，细心认真。

3、重点难点：

学习重点：垂径定理的探究及运用。

学习难点：利用垂径定理解决问题。

二、学情分析

1.学生心理特征：进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。

2.学生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了《圆的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力.

3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础 .

三、教法学法分析

教法分析：针对学生的认知水平和心理特征，在本节课，我将指导学生在小组合作的学习氛围中开展小组展示，有组织、有目的、有针对性的引导学生积极参与教学活动，并鼓励学生采用自主探索、合作交流的学习方式，在观察、思考、运用的过程中，养成全面、有序的思考问题的习惯

学法分析：作为一节展示课，学生将在教师的带领下经历明确目标、温故知新、准备展示、展示所学、巩固提升等过程，培养学生独学静思、有效交流、积极合作、大胆展示的良好学习习惯。

四、教学过程及大致时间分配

（1）明确目标、（1分钟）

目标出示在黑板上，教师引导学生理解

（2）温故知新（3分钟）

采用个别提问的方式，复习基本知识点，为扎实做充分准备

（3）分配任务，准备展示（5分钟）

教师分配展示的任务，并指导学生做展示的前期准备。

（4）小组展示，变式训练（20分钟）

学生分组有序展示，在展示中鼓励提问，可做变式训练。要求展示者书写规范，过程完整，声音洪亮，表达流利，衔接紧凑。

（5）归纳梳理、整理学案（3分钟）

学生将错误的题目整理，补充不完整的解题过程，要求用双色笔。

（6）反馈检测、巩固提高（12分钟）

完成学案反馈检测部分，力争按下课能够完成。

五、教后反思

垂直于弦的直径也叫垂经定理，是初中阶段圆中有关计算方面比较重要的一节。本节课主要经过了三个环节：第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。具体经过以下5个步骤：

（1）让学生拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。（学生很感兴趣，有些同学折的是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。 ）

（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。

（3）让学生在自己的图片上画出与直径垂直的弦，并让他们把圆形图片沿直径对折，问学生会发现什么结论？（平分弦，也平分弦所对的两条弧）

（4）问学生在什么样条件下得出这些结论的？

（5）最后引导学生归纳出垂经定理的内容，教师再补充、强调并板书。 通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新的能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，实现了教学的有效性，这是在这节课中我感觉最成功的地方。

当然，整节课也有许多不足之处。例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，具体表现在：

（1）把课本中赵州桥的问题作为第一个练习题让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题。比如：已知弦的长度和圆心到弦的距离，求圆的半径这类题，这样的话学生不但巩固了垂经定理，而且也能体会到成功的喜悦，等再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了。

（2）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。

（3）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。

总之，在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。

垂径定理教材分析(二)
垂径定理说课稿

垂径定理

一、教材分析：

（1） 教材的地位和作用：本节选自人教版数学九年级第二十四章第一节，本节研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算、作图、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。 因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。

（2） 教学重点、难点与关键：

本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一；

本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。 理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。

二、目标分析：（板书并用投影仪显示教学目标）

1、认知目标： 首先使学生理解圆的轴对称性，进而掌握垂径定理，最终学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

2、能力目标：培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

3、情感目标：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。

三、教学方法与教材处理：

鉴于教材特点，根据教学目标及我所教班级学生的知识基础，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。

关于教材的处理：

(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。

(2)对于垂径定理的应用，我是先补充一个例题1,讲完后总结出作辅助线和解题方法：求弦长,先求弦的一半，遇见“半径、半弦、弦心距”，联想直角三角形中的三边关系，利用勾股定理，用算术或方程的方法求解。

(3)紧接着设计了一组练习题，要求学生演板完成。

四、教学程序：

整个教学过程分六个环节来完成。

（一) 创设情境，提出问题

赵州桥求半径问题

（二）动手操作，探究圆的对称性

教师演示：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你得到什么结论？

结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（三）、讲解新课---探求新知：

首先通过刚才让学生实验、观察得出猜想：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。然后让学生小组合作讨论上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，接下来再引导学生写出已知、求证。由于在分清定理的题结论教学时作好了铺垫，从而达到解决难点的目的。最后师生共同演示、验证猜想的正确性。

（四）、定理的应用：

为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用，讲完定理及变式后，我依据本班学生的实际情况及他们的心理特点，首先设计了一个补充例题1，（出示例1）

例题1：如图所示，在⊙O中，OC⊥AB于C， OA= 2cm，OC=1cm，求弦AB的长。

练习：（学生演板）

（1）、如图（1），在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，求⊙O的半径。

（2）、如图（2），AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，CD=1， 求弦AB的长。

（ 3）、在求赵州桥主桥拱半径问题时关键是根据实物图画出几何图形，理解“跨度”就是弦长，前边有2题做铺垫，此时应让学生尝试自己完成。

（五）、反馈检测：

为了检测学生对本课教学目标的达成情况，我设计了分别用代数和几何方法进一步加强定理的应用训练反馈题，针对学生解答情况，及时查漏补缺。

1、如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，

拱高CD=4米，求拱桥的半径。

3、如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，

OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm，AC=6cm，

那么⊙O的半径OA长为

4、如图所示，⊙O中，弦CD交直径AB于点P，

AB=12cm，PA：PB=1：5，且∠BPD=30°，求CD的长．

（六）、课堂小结：

至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结。

五、几点说明

1、板书设计：为了使本节课更具理论性、逻辑性，我将板书设计分为三部分，第一部分为圆的轴对称性，第二部分为垂径定理，第三部分为测评反馈区（学生板演区）。

2、由于垂径定理在圆一章中的重要性，所以这节课只讲了定理而没有涉及定理的推论——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧。

垂径定理教材分析(三)
垂径定理教学设计

垂径定理（第一课时）教学设计

兰甲明

【教学内容】 7．3垂径定理（初三《几何》课本P76~P78）

【教学目标】

1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。

【教学设计】

一、实例导入，激疑引趣

1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以

升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥

（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵

县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存

最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被

誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁

界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4

米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，

也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 ⌒ 半径（即AB所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1）

二、尝试诱导，发现定理

1．复习过渡：

①如图2(a)，弦AB将⊙O分成几部分？各部分的名称是什么？

②如图2(b)，将弦AB变成直径，⊙O被分成的两部分各叫什么？

③在图2(b)中，若将⊙O沿直径AB对折，两部分是否重合？

BBB (a)

(b)

(a) (b) (c)

（图2） （图3）【垂径定理教材分析】

2．实验验证：

让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。

3．运动变换：

①如图3(a)，AB、CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？

③如图3(c)，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？

4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——

AEBDCD是圆O的直径⌒ ⌒ （板书） ACBC CD弦AB,垂足为E⌒ ⌒ ADBD

5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。

三、引导探究，证明定理

1．引导证明：

猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。

①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。

2．归纳定理：

根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．巩固定理：

在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。

(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E

（图4）

向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。

四、例题示范，变式练习

1．运用定理进行计算。

〖例1〗如图5，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作

辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。 解：（略）学生口述，教师板书。【垂径定理教材分析】

〖变式一〗在图5中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则

思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d

则R、a、d三者之间的关系式是 〖变式二〗如图6，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，

若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径 （图6） 2．运用定理进行证明

〖例2〗已知：如图7，在以O为圆心的两个同心圆中，

大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC＝BD。 （图7）

分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？ （证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC）

②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）

证法一：连结OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。

证法二：过点O作OE⊥AB于E，用“垂径定理”证明。（详见课本P77例2） 注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。

注2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。 思考：在图7中，若AC=2，AB=10

〖变式一〗若将图7中的大圆隐去，还需什么条件，

才能保证AC=BD？

〖变式二〗若将图7中的小圆隐去，还需什么条件，

才能保证AC=BD？【垂径定理教材分析】

〖变式三〗将图7变成图8（三个同心圆），你可以

证明哪些线段相等？

（图

8） 〖例3〗（选讲）如图9，Rt

△ABC中，∠ACB＝90°，

AC＝3，BC＝62，以C为圆心、CA长为半径画弧，交

斜边AB于D，求AD的长。（答案：2） 略解：过点C作CE⊥AB于E，先用勾股定理求得 （图9） AB=9，再用面积法求得CE=22，最后用勾股定理求得AE=1，由垂径定理得AD=2。

五、师生小结，纳入系统

1．定理的三种基本图形——如图10、11、12。

a2．计算中三个量的关系——如图13，R2d2()2。 2

3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。

（图10） （图11） （图12） （图13）

六、达标检测，反馈效果 1．（课本P78练习第1题）如图14，在⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为 ，∠AOB＝ 度。

2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，

使它以点A为中点（如图15）。 3．课本P78练习第2题。 （图14） （图15）

课 堂 练 习

姓名 得分1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为， ∠AOB＝ 度。

（第1题） （第2题）

2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图）。 要求：保留作图痕迹，但不必写作法。

3．已知：如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB， OE⊥AC，垂足分别为D、E。

求证：四边形ADOE是正方形。

（第3题）

垂径定理教材分析(四)
垂径定理的说课稿

课题 : 垂径定理

——揭秘圆的轴对称美

宁乡县实验中学 唐亚军13786172628

教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册（2013年人教版）

一．教学背景分析

1、学习任务分析

“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版2013版）九年级上册第24章《圆》第一节第二课时的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。

“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。

2、学生情况分析

学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化

层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。 3、重点难点的定位

教学垂点：垂径定理及其推论。

教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理， （2）领悟垂径定理中的对称美。

二．教学目标设计:

1.知识与技能目标：

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

2.过程与方法目标：

教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

3.情感、态度与价值观：

对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。

三．课堂结构设计：

《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对

教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：

1、欣赏美——营造问题情境 2、探究美——揭秘核心问题 3、徜徉美——问题变式发散 4、品味美——重建知识体系

课堂教学应以学生为主体，教师为主导。在本节课的教学过程中我充分尊重学生已有的知识和方法，以培养能力为目的，让学生在“赏美”中进入，在“探美“中发展，在”品美“中提高。以发展学生的思维为中心，以问题为载体，使学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握垂径定理，并将知识转化为能力。

四．教学资源运用

心理学研究表明，在学生接受知识方面，视听结合能记住86。3％，效果最佳。因此，根据初中学生的心理特征和认知规律，我对教学媒体的利用进行了如下设计：

1、利用多媒体辅助教学

在欣赏美的环节中，我利用多媒体让学生观察圆的实物图片，充分让学生获得感性认识；在探究美时，我利用多媒体在动漫中演示图形的折叠过程；在徜徉美中，帮助学生利用感官理解图形及其变式的联系，在激发学生思维的同时，获得美的享受。品味美时，我让学生上网查阅相关资料，利用网络平台加强学生对所学知识的理解, 拓宽学生视野，培养学生的创新能力。

2、常规媒体仍起主导作用

垂径定理及其问题的解答过程都在黑板上板书，充分展现数学知

识的精彩发生、发展过程，充分地暴露学生认识中存在的问题和独特优胜之处。因为数学是思维的体操，数学课是丰富多彩的动态生成而非僵硬不变的简单预设。

3、充分利用学生身旁现有的教学资源：

如组织学生玩找对称点游戏；看谁折得好；寻找身旁的轴对称图形等。这些贴近学生认知领域而又充满情趣的活动，很好地活跃了学习气氛，使学生真正地融入到数学学习中来。 板书设计:

为使本课更具逻辑性和直观性，力争达到“简约而不简单“的境界，我将板书设计作了如下侧向处理：

活

课

应

题

用

区

垂径定理教材分析(五)
经典垂径定理教案

垂直于弦的直径（第一课时）教案

教学目标：

1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；

掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。

2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；

在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决。

3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学

的热爱。

教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理。 教学用具：圆规，三角尺，PPT课件 教学过程： 一、复习引入

1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称） 2、实验：探究圆的轴对称性。如图（1），若将⊙O沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片 亲自实验，教师引导学生努力发现：

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线） 都是它的对称轴。

3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E。此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。 二、新课

B

（1）

（2）

（一）猜想，证明，形成垂径定理

1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？

2、猜想：可能出现的位置关系是：

线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。

可能出现的数量关系是：



AEBE,ACBC,ADBD

3、证明：

利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。板书：

AEBD

CD是圆O的直径

ACBC

CDAB,垂足为E

ADBD

4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论

1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。

2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解。

练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？

3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直

线或线段。

（三）例题

例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，

圆心O到AB的距离为3cm。

求：⊙O的半径。

变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离

为3cm，⊙O的半径为5cm。 求：弦AB的长为多少？

（3）

总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。

例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中，

大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD.

（思路：垂径定理，全等三角形，等腰三角形）

（4）

变式（2）：再添一个同心圆，如图（5），则 AC BD。

变式（3）：隐去图（4）中的大圆，得图（6），连接

OA，OB，设OA=OB， 求证：AC＝BD。

变式（4）：隐去图（4）中的小圆，得图（7），连接

OC，OD，设OC=OD，

AB

（6）

求证：AC＝BD。

总结：在解与圆有关的证明题中，常做的辅助线是过圆心做弦的垂

（7）

线段。遇到题目有一题多解的情况时，鼓励学生善于用最简单的方法解决，同时提醒学生注意解题的方法的归纳总结，做到举一反三，触类旁通。 三、小结

1、这节课我们学习了哪些主要内容？ 2、应用垂径定理要注意那些问题？

垂径定理的条件和结论：

① 经过圆心

得到 ① 平分弦

一条直线具有： ② 平分弦所对的劣弧

② 垂直于弦③ 平分弦所对的优弧

3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？ 四、作业

1、整理垂径定理的证明过程。

2、变式（1）到变式（4）整理解题过程。 3、课本P82，练习2.