八班级数学最短路径问题评课

八班级数学最短路径问题评课篇一：【八年级数学】最短路径问题

八班级数学最短路径问题评课篇二：数学人教版八年级上第十三章13.4 课题学习 最短路径问题

13.4 课题学习 最短路径问题

1．最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关

于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，

B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：

证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线．

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B.

【例1】 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′交直线l于点M.

(3)则点M即为所求的点．

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题

.

2.运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

3．利用平移确定最短路径选址

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

【例2】 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．

(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或

B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．

解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，

1B的距离相等．也可分别以A、B为半径画弧，两弧交于两点，过这两2

点作直线，与EF的交点P即为所求．

(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．

【例3】 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂

直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要

使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，

从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．

解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽． (2)连接BC与河岸的一边交于点N.

(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.

则MN为所建的桥的位置．

4．生活中的距离最短问题

由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．

【例4】 (实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排

(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

图a

图b

解：如图b.

(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．

5.运用轴对称解决距离之差最大问题

利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．

破疑点 解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．

【例5】 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．

分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．

解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，

所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.

点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．

八班级数学最短路径问题评课篇三：13.4 课题学习 最短路径问题 新版八年级数学上册

八班级数学最短路径问题评课篇四：2013人教版八年级数学上册第十三章课题学习最短路径问题

八班级数学最短路径问题评课篇五：_课题学习_最短路径问题_八年级数学上册

八班级数学最短路径问题评课篇六：新人教版八年级数学上册《最短路径问题》习题(附答案)

《最短路径问题》习题

要点感知 在解决最短路径问题时,我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择. 预习练习 已知，如图,在直线l的同侧有两点A，

B.

(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；

(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长.

知识点 路径最短问题

1.如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )

A.7 cm B.5 cm C.8 cm

D.10 cm

2.如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置

.

3.如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？

4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠CAB,N点是AB上的一定点,M是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点M的位置.

5.(兰州中考改编)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数

.

挑战自我

6.(济宁中考)如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )

A.(0，0) B.(0，1) C.(0，2) D.(0，

3)

参考答案

课前预习

要点感知 轴对称平移

预习练习 (1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP.点P即为所求.图略.

(2)连接AB并延长,交直线l于点P.图略.

当堂训练

1.C 2.作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点.图略.

3.①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置.图略.

课后作业

4.连接NC与AD的交点为M点.点M即为所求.图略.

5.作A关于BC和CD的对称点A′，A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.∵∠DAB=120°,∴∠HAA′=60°.∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°.∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.

6.D

八班级数学最短路径问题评课篇七：新人教版八年级数学上册《最短路径问题》公开课课件

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八班级数学最短路径问题评课篇十：人教版八年级上数学知识点13.4 课堂学习 最短路径问题

1、

如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（ ）

A．50

B．50

C．50﹣50

D．50

D

+50

过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．

解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，

过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．

MK=40+10=50，

作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．

∵LN=AS=

∴KN=60+40=100． =40．

∴MN==50．

∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．

∴四边形PABQ的周长=50

故选D．

+50．

2、

如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）

A．（﹣2，0）

B．（4，0）

C．（2，0）

D．（0，0）

C

作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入求出解析式是y=x﹣2，把y=0代入求出x即可．

解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP， 则此时AP+PB最小，

即此时点P到点A和点B的距离之和最小，

∵A（﹣2，4），

∴C（﹣2，﹣4），

设直线CB的解析式是y=kx+b，

把C、B的坐标代入得：

解得：k=1，b=﹣2，

∴y=x﹣2，

把y=0代入得：0=x﹣2，

x=2，

即P的坐标是（2，0），

故选C．

，

3、

如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数��（ ）

A．15°

B．22.5°

C．30°

D．45°

C

过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性��求出∠ACM，即可求出答案． 解：

过E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，

∴EC=2=AE，

∴AM=BM=2，

∴AM=AE，

∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，

∴AD⊥BC，

∵EM∥BC，

∴AD⊥EM，

∵AM=AE，

∴E和M关于AD对称，

连接CM交AD于F，连接EF，

则此时EF+CF的值最小，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵AM=BM， ∴∠ECF=

故选C．

∠ACB=30°，

4、

如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=

（ ）

，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为

A．

B． 6

C．

D．

D