全国课标数学一卷

全国课标数学一卷(一)
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标1卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1

理科数学

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

2

1．已知集合Axx2x30,Bx2x2，则A



B ( )

A．2,1 B．1,2 C．1,1 D．1,2

1+i2．21-i

3

 （ ）

A．1i B．1i C．1i D．1i

3．设函数fx,gx的定义域都为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）

A．fxgx是偶函数 B．fxgx是奇函数 C．fxgx是奇函数 D．fxgx是奇函数

4．已知F为双曲线C:xmy3mm0的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距

2

2

离为（ ）

A

B．3 C

D．3m

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A．

1357 B． C． D． 8888

6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成

x的函数fx，则yfx在0,的图像大致为（ ）

yA、

yC、

y

1B、

y1

D、

7．执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1，2，3，则输出的M（ ） A．

2071615 B． C． D． 3258

8．设0,A．3

1sin

tan 且,则（ ） ,0,,

cos22



2

B．3



2

C．2



2

D．2



2

9.不等式组

xy1,

的解集记为D,有下面四个命题：

x2y4

p1:x,yD,x2y2；p2:x,yD,x2y2 ；

p3:x,yD,x2y3；,p4:x,yD,x2y1；其中的真命题是（ ）

A．p2,p3 B．p1,p2 C． p1,p4 D．p1,p3

10.已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP4FQ,则QF （ ） A．

75

B．3 C． D．2 22

11．已知函数fxax33x21，若fx存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（ ）

A．2, B．1, C． ,2 D．,1

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A

． B．6 C

． D．4

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.(xy)(xy)的展开式中xy的系数为用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A，B，C是圆O上的三点，若AO

8

2

7

1

(ABAC)，则AB与AC的夹角为. 2

16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan1Sn1，其中为常数.

（1）证明：an2an；

（2）是否存在，使得{an}为等差数列？并说明理由.

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,)，其中近似为样本平均数x，近似为样本方差s2. (i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.

12.2.

2

若Z～N(,)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544.

2

2

2

19. (本小题满分12分)如图三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C. (Ⅰ) 证明：ACAB1；

（Ⅱ）若ACAB1，CBB160o，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值

.

x2y220. (本小题满分12分) 已知点A（0，-2），椭圆E221(ab

0)，

abF是椭圆E的右焦点，直线AF

（1）求E的方程；

（2）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.

O为坐标原点. bex1

21. (本小题满分12分)设函数f(x)aelnx，曲线yf(x)在点（1，f(1)）处

x

x

的切线为ye(x1)2. (Ⅰ)求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)1. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE .(Ⅰ)证明：DE； （Ⅱ）设AD不是三角形.

D

O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

全国课标数学一卷(二)
2015年全国统一考试(新课标1卷)理科数学 答案解析

星火国际教育集团

试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1+z

1.设复数z满足＝i，则|z|＝

1z(A)1 (B

(C (D)2 2.sin20°cos10°－con160°sin10°＝ (A

)11 (B (C) (D)

223.设命题P：nN，n2>2n，则P为 (A)nN， n2>2n (B) nN， n2≤2n (C)nN， n2≤2n (D) nN， n2＝2n

4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为

0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

x2

5.已知M(x0，y0)是双曲线C：y21 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若MF1MF2

2

＜0，则y0的取值范围是 (A)(

－

(B)(

(C

)(

) (D

)(

) 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，

下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

1

知人善教 培养品质 引发成长动力

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(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 7.设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则

1414ABAC (B) ADABAC 33334141

(C) ADABAC (D) ADABAC

3333

(A) AD

8.函数f(x)＝(A)(

)，k

的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 (b)(

)，k

(C)()，k (D)()，k

9.执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

2

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10.(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为

(A)10 (B)20 (C)30 (D)60

11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积 为16 ＋ 20，则r＝ (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的 整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )

正视图

俯视图

A.[

333333

，1) B. [,) C. [,) D. [，1)

2e42e42e2e

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

13.若函数f(x)＝xln(x为偶函数，则a＝14.一个圆经过椭圆

的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .

x10

y

15.若x，y满足约束条件xy0，则的最大值为 .

xxy40



16.在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，(Ⅰ)求{an}的通项公式： (Ⅱ)设

3

，求数列}的前n项和

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18如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC

F

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值

A

C B

19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值

.

年销售量

年宣传费(千元)

1

表中w1 ， ，w ＝

8

w1

x1

1

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

4

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

(uu)(vv)

i

i

i1

n

(uu)

i

i1

n

,vu

2

20.(本小题满分12分)

x2

在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，

4

(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

21.(本小题满分12分)

1

已知函数f(x)＝x3ax,g(x)lnx

4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yf(x) 的切线；

(Ⅱ)用min m,n 表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)零点的个数

5

讨论h(x)(x0) ，

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全国课标数学一卷(三)
2014全国新课标1卷数学文科详解

2014年高招全国课标1 -文科数学解题样卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

（1）已知集合Mx1x3

， Nx2x1

，则MN（ ）

A. (2,1) B. (1,1) C. (1,3) D. (2,3)

【参考答案】： 在数轴上表示出对应的集合，可得MN (-1,1),选B

【解题方法】①直接计算②取特值如令x=2代入排除C,D再取x=-1可选B 【规律提炼】：集合的运算用数轴或者Venn图可直接计算 （2）若tan0，则

A. sin0 B. cos0 C. sin20 D. cos20 【参考答案】：由tan0可得:kk



2

(kZ)，故2k22 k(kZ)，正确的结论只有sin 20. 选C

【解题方法】：①观察计算②特值法如取2250

进行排除 【规律提炼】：判断三角函数的符号可先确定角所在的象限 （3）设z

1

1i

i，则|z| A.

12 B. 22 C. 2

D. 2 【参考答案】：z11

ii12ii11

22

i，z，选B

【解题方法】：求模一般直接法

【规律提炼】

：复数的除法用分母实数化，求复数的模用公式z

（4）已知双曲线x2y2

a2

3

1(a0)的离心率为2，则a A. 2 B.

62 C. 2

D. 1 【参考答案】：

由双曲线的离心率可得a

2，解得a1，选D.

：①把选项中的a值逐一代入检验可得D. ②

利用公式e【解题方法】【规律提炼】：求离心率关键在于寻找a,b或者a,c

之间的关系，用公式ecea

（5）设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 A. f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x) 是奇函数 C. f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数

【参考答案】：设F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)(x)，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴

F(x)f(x)g(x)F(x)，F(x)为奇函数，选C.

【解题方法】：①把四个选项逐一分析，②利用性质f(x)奇，|f(x)|为偶，奇奇=偶，奇偶=奇。 【规律提炼】：判断函数的奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再用性质或者定义或者图像判断。 （6）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EBFC A. B.

12AD C. 1

2

BC D. 【参考答案】：E

BFCECBCFBBC

E

CFB



=

12AB12AC1

2

ABAC

AD, 选A. 【解题方法】：直接计算 【规律提炼】：向量运算抓住两条线，坐标法和转化法。

（7）在函数①ycos|2x|，②y|cosx| ，③ycos(2x

),④ytan(2x

64

)中，最小正周期为的

所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

【参考答案】：由ycosx是偶函数可知ycos2xcos2x ，最小正周期为， 即①正确；y | cos

x |的最小正周期也是，即②也正确；ycos



2x6最小正周期为,即③正确；

ytan(2x

4)的最小正周期为T2

,即④不正确.

即正确答案为①②③，选A

【解题方法】：①排除法：第四个的周期为T



2

故排除B,C ②直接计算

【规律提炼】：求函数的周期可画图，也可用定义或公式直接计算

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

【参考答案】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B

【解题方法】：①筛选法：A.三棱锥三视图均为三角形 C.四棱锥为两个三角形，一个四边形D.四棱柱

为三个四边形②直接法：为一倒放的三棱柱

【规律提炼】：三视图还原成实物图，掌握常见几何体的三视图的特征 9.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M

=

A.

203 B.165 C.72 D.158

【参考答案】：输入a1,b2,k3；n1时：M1

1232,a2,b3

2

； n2时：M22383,a32,b83；n3时：M3238158,a815

3,b8；

n4时：输出M15

8

. 选D.

【解题方法】：直接逐步计算

【规律提炼】：算法问题根据题目一步一步写出运行的结果 10.已知抛物线C：y2

x的焦点为F,Ax,y是C上一点，AF5



4x0，则x0（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【参考答案】：根据抛物线的定义可知AFx10

45

4

x0，解之得x01. 选A. 【解题方法】：①代入法：把选项中四个x0的值代入可求出A点坐标，进而算出AF ②直接计算：到焦点的距离=到准线的距离

【规律提炼】：抛物线的焦点弦问题注意转化：到焦点的距离和到准线的距离可以互相转化 11.设x，y满足约束条件

xya,

xy1,

且zxay的最小值为7，则a

 （A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3 【参考答案】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.

在平面区域内，平移直线xay0，可知在点 Aa1a12

,2处，

z 取得最值，故

a12aa1

2

7,解之得a 5或a 3.但a 5时，z取得最大值，故舍去，答案为a 3. 选B. 【解题方法】：①代入法：把选项中四个a的值代入可求出Z的最小值看是否符合题意②直接计算：画出可

行域，把目标直线平移，找到最优解 【规律提炼】：线性规划问题，根据条件画出可行域，把目标直线平移，找到最优解。

（12）已知函数f(x)ax33x2

1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值 范围是

（A）2, （B）1, （C）,2 （D）,1

【参考答案1】：由已知a0，f(x)3ax2

6x，令f(x)0，得x0或x

2

a

， 当a0时，x,0,f(x)0;x0,

2a,f(x)0;x2a,

,f(x)0； 且f(0)10，f(x)有小于零的零点，不符合题意。

当a0时，x

,

2a,f(x)0;x2a,0

,f(x)0;x0,,f(x)0 要使f(x)有唯一的零点xx2

2

0且0＞0，只需f(a

)0，即a4，a2．选C

【参考答案2】：由已知a0，f(x)=ax33x2

1有唯一的正零点，等价于a3

1x1

x3

有唯一的正零根，令t

1x

，则问题又等价于at33t有唯一的正零根，即ya与yt3

3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记f(

t)t3

3t

f(t)3t23，由f(t)0，t1，t,1,f(t)0;t1,1,f(t)0;，

t1,,f(t)0，要使at33t有唯一的正零根，只需af(1)2，选C

【解题方法】：①排除法可取a=3可排除A,B,再取a=-1.5可排除D ②数形结合，画图求解 【规律提炼】：函数的零点问题转化为方程有解或者两个函数的图像有交点的问题。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【参考答案】设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A， C，B），（B，

C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6 种排列总结，其中2 本数学书相邻的情况

有4 种情况，故所求概率为P42

63

.

【解题方法】：①列举法 ②排列组合

【规律提炼】：求解概率问题可用列举法

（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为________.【全国课标数学一卷】

【参考答案】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市

∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

【解题方法】：①根据逻辑推理，②可用反证法的思想

ex1,x1,

（15）设函数fx

1则使得fx2成立的x的取值范围是________.

x3,x1,

【参考答案】当x 1时，由e

x1

2可得x 1ln 2，即x ln 21，故x 1；

1当x 1时，由f (x) x3

2可得x 8，故1x 8，综上可得x 8

【解题方法】：①转化为解两个不等式组，最后取并集②画出函数的图像，只要找在直线y=2下方的图像对应的x的求值范围即为不等式的解集。 【规律提炼】：解分段函数的不等式，可以分段解，也可以画出函数图像，用图像解

（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN________m.

【参考答案】在直角三角形 ABC

中，由条件可得AC，在△MAC 中，由正弦 定理可得

AMACsin600

sin1800600750，

故AMA1C，3在直角△MAN 中，

MNAMsin600150.

【解题方法】：把要求的边化到一个已知的三角形中去求解 【规律提炼】：实际问题的求解，要抽象成数学的解三角形的问题， 结合正余弦定理求解。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知a2

n是递增的等差数列，a2，a4是方程x5x60的根。

（I）求an的通项公式； （II）求数列

an

2n

的前n项和. 【参考答案】：（I）方程x2

5x60的两根为2,3,由题意得a22，a43，设数列an的公差为 d,，

则a1a3

4a22d，故d=1

2

，从而2，

所以an的通项公式为：a1

n2

n1 (Ⅱ)设求数列an

ann22n

的前n项和为Sn,由(Ⅰ)知2n2n1， 则：S345n1nn

2223242n2

2n1 12S345n1n2n2324252n12

n2 两式相减得 13111n23n42Sn4232

4

2

n12n2414112n1n2

2

n2

所以Sn22n1

【答案分析】：（1）求出a1

22，a43得2分（2）求出a1和d得2分（3）求出an2

n1得2分 （4）写出Sn得1分（5）列出两个相减式得2分（6）算出最后结果得3分

【规律提炼】：（1）求数列的通项用基本量法和方程思想（2）求一般数列的前n项和主要有错位相减法，裂项相消法，分组求和法，分奇偶讨论法等 （18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至

少要占全部产品的80%”的规定？ 【参考答案】：（I）

（II）质量指标值的样本平均数为

x800.06900.261000.381100.221200.08100 .

质量指标值的样本方差为

s22020.061020.2600.381020.22202

0.08104…

(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故

不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定. 【答案分析】：（1）列出频率分布表2分（2）画出频率分布直方图2分（3）求出平均数得2分 （4）求出方差得2分（5）算出概率得2分（6）得出结论得2分

【规律提炼】：统计问题要能熟练记住平均数和方差的计算公式，画频率分布直方图时要先画频率分布表，计算概率时经常用频率等同与概率。

19(

本题满分12分)

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，

B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.

（I）证明：B1CAB;

（II）若ACAB

1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.

【参考答案】：（I）连结BC1，则O为BC1与B1C的交点，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，

又AO平面BB1C1C，故B1CAO

B1C平面ABO，由于AB平面ABO，

故B1CAB （II）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.

因为CBB160,,BC所以△1CBB1为等边三角形,又BC=1,

可得

，由于ACAB111，所以OA2B1C2，由

OH·AD=OD·OA,

且AD

又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC

,故三棱柱ABC-A1B1C1

【答案分析】：（1）证到B1CBC1得2分（2）证到B1CAO得2分（3）证到B1CAB得2分（4）

说明OH⊥平面ABC得2分（5）算出

OH=

14得2分（6）算出B1 到平面ABC

的距离为7

得2分 【规律提炼】：（1）立体几何中正面线线垂直一般转化为证明线面垂直，而证线面垂直又转化证两条相交直

线垂直即可（2）求几何体的高或者是体积一般等体积法和割补法，本题用割补法更简单。 20.（本小题满分12分）

已知点P(2,2)，圆C:x2

y2

8y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，

O为坐标原点.

（I）求M的轨迹方程；

（II）当OPOM时，求l的方程及POM的面积

【参考答案】：（I）圆C的方程可化为x2

y42

16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

设M(x,y),则CM(x,y4)，MP(2x,2y)，,由题设知CMMP0,故

x2xy42y0，即x12y32

2

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是x1

2

y32

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM.

因为ON 的斜率为3,所以l的斜率为

1

3

,直线l的方程为：y183x3

又OMOPO到l

，PM， 所以POM的面积为：

16

5

. 【答案分析】： （1）把圆化成标准方程得2分（2）设点，列出式子CMMP0得2分（3）化简得2分

（4）分析得出ON⊥PM得2分（5）算出直线方程2分（6）算出三角形的面积2分 【规律提炼】：（1）求动点的轨迹方程一般通过题目中的垂直，平行，相等来构造等量关系，找到动点的坐标x和y之间的代数关系式（2）求三角形的面积一般用公式S1

2

底高或者用割补法，分割成几个好求的三角形的面积之和，高一般用点到直线的距离来求解

21（12分）

设函数fxalnx1a2

x2

bxa1，曲线yfx在点1，f1处的切线斜率为0 （I）求b;

（II）若存在xa

01,使得fx0a1

，求a的取值范围。 【参考答案】：（I）f(x)

a

x

(1a)xb，由题设知 f(1)0,解得b 1 (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知, f(x)alnx1a2

x2

x， f(x)

ax(1a)x11aaxx1a

x1 (i)若a

1a

2，则

1a

1，故当x(1,)时, f '(x) 0 , f (x)在(1,)上单调递增

.

全国课标数学一卷(四)
2015年全国高考数学试卷理科新课标1卷(精校含答案)

理科数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)设复数Z满足

1Z

＝i,则Z 1－Z

（A）1 （B）2 （C） （D）2 （2）sin20cos10cos160sin10 （A）－

113 (B) （C）－ (D)

2222

（3）设命题P:nN,n22n,则P为

（A）（B）（C）（D）nN,n22n nN,n22n nN,n22n nN,n2＝2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少2次命中才能通过测试，已知某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否命中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

x2

y21上的一点，F1,F2是双曲线C的两个焦点，（5）已知M(x0,y0)是双曲线C：2

若MF1MF20，则y0的取值范围是 （A）(

332222223

,) (,) (,) (,) （B）（C）（D）33663333

（6）《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著，

书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”，其意为：“在屋内角处堆放米（如图，米堆是一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的的体积和米堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约为

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 (7)设D为ABC所在平面内一点，3，则

1414

ABAC （B）ADAB－AC 33334141【全国课标数学一卷】

(C) （D）

3333

（A）AD

(8)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调减区间为

13,k）,kZ 4413

（2k,2k）,kZ （B）

4413（k,k）,kZ （C）

4413（2k,2k）,kZ （D）

44（k（A）

（9）执行右边的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10）（xxy）的展开式中，xy的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 (11)圆柱被一平面截去一部分后与半球

（半径为r） 组成一个几何休，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=

（A）1 (B)2 (C)4 (D)8

(12)设函数f(x)=e(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ）

（A）[- -错误！未找到引用源。，1） (B) [- 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。） (C) [错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。） (D) [错误！未找到引用源。，1）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a .

x

2552

x2y2

1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准（14）一个圆经过椭圆

164

方程为 。

x10

y

（15）若x,y满足约束条件xy0，则的最大值为 。

xxy40



A＝B＝C＝75，（16）在平面四边形ABCD中，BC＝2，则AB的取值范围是。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2

（17）（本小题满分12分）Sn是数列an的前n项和，已知an0，an2an4Sn3

（Ⅰ)求数列an的通项公式； （Ⅱ）设 bn

(18)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是菱形，

1

,求数列{bn}的前n项和. anan1

ABC＝1200 ，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE＝2DF，AEEC

(Ⅰ)证明：平面AEC平面AFC； (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成有的余弦值。

（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y(单位：t)和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和对年销售量yi(i1,2,,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量

的值，【全国课标数学一卷】

18表中wixi，wwi

8i1

（Ⅰ）根据散点图，判断yabx与ycdx哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品年利润z与x,y之间的关系为z=0.2y-x,根据（Ⅱ）的结果回答问题 （i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值为多少？ （ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：



(uu)(vv)

i

i

i1

n

(uu)

i

i1

n

,vu

2

x2

（20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线

4

交于M，N两点。 l:ykxa（a0）

（Ⅰ）当k0时，分别求C在M点和N点处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有OPM＝OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)xax（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；

（Ⅱ）用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0)讨论函数

3

1

,g(x)lnx. 4

h(x)零点的个数。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆为的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O与点E，

(Ⅰ)若D为AC的中点，证明：DE是圆O的切线； (Ⅱ)若OA3CE,求ACB的大小。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线C1x2 ，圆C2:(x1)2(y2)21 ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为级轴建立极坐标系

(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为＝R），设C2与C3的交点为M，N，求



4

C2MN的面积。

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)x2xa,a0。 （Ⅰ）当a1时，求不等式f(x)1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。

全国课标数学一卷(五)
2013年高考理科数学全国新课标卷1word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国卷I新课标)

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|

x

，则( )．

A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．BA D．AB 答案：B

解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. ∴集合A与B可用图象表示为：

由图象可以看出A∪B＝R，故选B.

2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．

A．－4 B．

44 C．4 D． 55

答案：D

解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，

55(34i)34

i. 34i(34i)(34i)55

4

故z的虚部为，选D.

5

∴z

3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 答案：C

解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．

x2y24．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)

的离心率为，则C的渐近线方

ab2

程为( )．

11

x B．y＝x

34

1

C．y＝x D．y＝±x

2

A．y＝答案：C

c2a2b25c2

. 解析：

∵e，∴e2

aa24a2

∴a2＝4b2，

b1=. a2

∴渐近线方程为y

b1

xx. a2

5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．

A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5] 答案：A

解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)． 若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.

故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]． 综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.

6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

500π3866π3

cm B．cm 331372π32048π3C．cm D．cm

33

A．

答案：A

解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．

BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R， 由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5， 所以球的体积为

43500π5π(cm3)，故选A. 33

7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝

( )．

A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C

解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，

∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3. ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.

mm1m1

×1＝0，∴a1. 22

m1

m3. 又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴2

∵Sm＝ma1＋

∴m＝5.故选C.

8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 答案：A

解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×

9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．

A．5 B．6 C．7 D．8 答案：B

m

解析：由题意可知，a＝Cm2m，b＝C2m1，

1

＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 2

＋1

展开

又∵13a＝7b，∴13即

2m!2m1!

， =7

m!m!m!m1!

132m1

.解得m＝6.故选B. 7m1

x2y2

10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：22=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E

ab

于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．

A．

x2y2x2y2

4536=1 B．3627=1 C．x227y218

=1 D．x2y2

189=1

答案：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，

x22

1y1∴a2b2

1,①x2y2

22a2b2

1,②①－②，得

x1x2x1x2y1y2a2y1y2

b2=0，

b2

即y1y2y1y2a2=xx

， 12x1x2∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，

而y1y2

x＝k＝

011b21AB=，∴2=. 1x2

312a2又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.

∴椭圆E的方程为

x218y2

9

=1.故选D. 11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝x22x，x0，

x1)，x0.

若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(ln(A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 答案：D

解析：由y＝|f(x)|的图象知：

①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，

C. ②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x. 故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.

当x＝0时，不等式为0≥0成立． 当x＜0时，不等式等价于x－2≤a. ∵x－2＜－2，∴a≥－2. 综上可知：a∈[－2,0]．

)．

12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝

A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 答案：B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.

答案：2

解析：∵c＝ta＋(1－t)b， ∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.

又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c， ∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，

0＝

cnanban

，cn＋1＝n，则( )． 22

1

t＋1－t. 2

21

an，则{an}的通项公式是an＝33

∴t＝2.

14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和Sn__________.

－

答案：(－2)n1

21

an，① 33

21

∴当n≥2时，Sn1an1.②

3322

①－②，得ananan1，

33

a

即n＝－2. an1

21

∵a1＝S1＝a1，

33

解析：∵Sn

∴a1＝1.

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.

15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.

答案：

5

解析：f(x)＝sin x－2cos x



xx，



令cos α

sin α

＝

则f(x)

α＋x)，

全国课标数学一卷(六)
2016高考新课标全国1卷数学试题答案

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