北师大版数学为什么要证明的练习题

北师大版数学为什么要证明的练习题篇一：2014年北师大版八年级数学上册第七章：7.1《为什么要证明》习题

教你读图

初学平面几何，在“识图”时，总会遇到下面情况：给出简单图形识别不困难，但遇到复杂图形、非标准位置的图形或重叠的图形就会感到困难了． 下面向大家介绍三种克服困难的方法，请同学们多多练习．

一、分解识图练习 就是学会把复杂图形分解成简单的图形．

例1 如图1， AD∥BC，AB∥DC．有多少对相等的内错角？

简析：如图2，可把图形分解成四个简单的标准化图形，因而共有四对相等的内错角．即∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CBD，∠DAC＝∠BCA．

例2 如图3， AB∥CD，AD∥BC，DE∥BF，图中有多少对相等的同位角？

简析：可把图3分解成四个简单的图形(图4)，可得到六对相等的同位角，即∠BFC＝∠EDF，∠AED＝∠EBF，∠AMD＝∠MNF，∠CNF＝∠NMD，∠AME＝∠MNB，∠BNC＝∠EMN．

二、对比识图练习 运用反例与正面图形进行对比，提高识图能力．

例3 如图5，L1∥L2∥L3，L4截L1、L2与L3，且AD∥BE∥CF．问：

(1)∠1与∠2，∠2与∠3，∠1与∠3是不是同位角？

(2)∠2与∠7，∠2与∠3，∠7与∠3是不是内错角？

(3)∠1与∠5，∠5与∠6，∠7与∠6是不是同旁内角？

此题请同学们自己完成．

三、变式识图练习 改变图形的习惯性位置进行识图是提高识图能力的好方法．由于受习惯思维的影响，同学们对截平行线的图形，看起来“顺眼”，找同位角、内错角、同旁内角也较容易，但对于截相交线的图形，找“角”就困难了．

例4 如图6，找出∠C的内错角．

分析：根据内错角定义，必须注意到AC、BF被BC所截，AC、AB也被BC所截，因而，∠C的内错角有两个，即∠FBC和∠EBC．

例5 如图7，请同学们自己找出∠1与∠2的同位角、内错角、同旁内角．

坚持做上述识图练习，就能正确、迅速地认识几何图形了，扎实了学好几何的基本功，也就解决了几何入门难的问题．

北师大版数学为什么要证明的练习题篇二：北师大版九年级数学 证明(三)练习题1

第三章 训练题（1）

一、选择题

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 2. 已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线是 （ ）

A. 3

B. 6

C. 3

D. 6

3. 如图1，O为□ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F．若BF＝DE，则图中的全等三角形最多有（ ）

A. 2对

B. 3对

C. 5对

D. 6对

4. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°， AB＝8，则CD的长为 （ ）

A.

86

382

3

B. 46

C.

D. 42

图1

图2

二、填空题

1.如图3，已知BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是________(填上一个即可)。

2.如图4，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，点E在正方形外部，那么AED=_______度。

3.如图5，在RtABC中，C=90，BD平分ABC交AC于D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE=1㎝，则AC=_______㎝.

A B

F

D

E



C

F

D

B

EBAC

(图3) (图4) (图5)

4．已知 在ABC中，m为BC边上的中线的长，AB=8，AC=6，那么m的取值范围是________. 5．等腰三角形的两边长为6㎝、8㎝, 则这个等腰三角形的周长为__________㎝.

6．如图6，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2， 那么阴影部分的面积为________ .

图6

三、证明题

1.已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． (1) 求证：△ADE≌△CBF； (2) 若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.

2.如图，菱形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求

∠CEF的度数．

3. 如图所示，在

BCD中，对角线AC、BD交于点O，BE平分ABC的外角，且

AEBE；求证：OE

1

ABBC 2

E

B

A

D

C

4．如图：在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF=7㎝,对角线ACBD,BDC=30,求梯形的高AH.

B



EC

北师大版数学为什么要证明的练习题篇三：初二北师大版数学第六章 证明(一)练习题

初二北师大版数学第六章 证明（一）练习题

祁家河初中 主笔：陈全安 审阅： 姓名__________ 练习目标：⒈加深理解本章所学各个知识点，在证题过程中能娴熟灵活地运用之。 ⒉学会分析证明思路，初步掌握综合法证明的步骤和格式。 知识提炼：㈠、关于命题、定理及公理

⒈对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。

⒉判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都由条件和结论两部分

组成。

⒊正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

⒋ 公认的真命题称为公理（书P225 6条公理）（等量代换） ⒌ 推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。

㈡、平行线的性质及判定

判定：⒈同位角相等，两直线平行。⒉同旁内角互补，两直线平行。

⒊内错角相等，两直线平行。

性质：⒈两直线平行，同位角相等。⒉两直线平行，同旁内角互补。 ⒊两直线平行，内错角相等。

㈢、三角形的内角和外角的定理

⒈如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 ⒉如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行。 ⒊如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。 ⒋三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° ⒌三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 ⒍三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

提升训练： 一、填空题：

⒈把命题“对顶角相等”改写成“如果„那么„”的形式____________________。⒉把“等角的余角相等”改写成 “如果„，那么„”的形式_________________。 ⒊命题“任意两个直角都相等”的条件是___________，结论是_________________，它是______（真或假）命题。

⒋如图所示，∠1＋∠2=180°，若∠3=50°，则∠ ⒌如图所示：已知∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠A = 3°， 则∠BDC 的度数为 。

⒍、如图所示：AB∥CD，∠1 = 100°，∠2 = 120°， 则 ∠α= 。

⒎如图所示：已知DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=82º， 则∠EDB= ， ∠A=_______。

⒏如图所示：平行四边形ABCD中，E为AB上一点， DE与AC交于点F，AF∶FC=3∶7，则AE∶

A ⒐在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I, B

F

1

若∠A=60 则∠BIC=__________。

⒑在三角形中，最多有 个锐角，至少有 个锐角， C

D

A 最多有 个钝角（或直角）。

二、选择题：

D

⒈下列语句不是命题的是（ ） B

E

C

A、 2008年奥运会的举办城是北京。 B、如果一个三角形三边a，b，c满足a2＝b2＋c2，则这 个

三角形是直角三角形。

C、同角的补角相等。

D、过点P作直线l的垂线。 ⒉下列命题是真命题的是（ ）

A、－a一定是负数。 B、a＞0

C、平行于同一条直线的两条直线平行。

D、 有一角为80°的等腰三角形的另两个角为50°与50°。

⒊“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（ ）

解：∵AB∥MN（_______）

A、 两条直线。 B.、交点。 C、两条直线相交。 D、只有一个交点。 ∴∠BCD＋∠CDN＝180°（_____________________）

∵CG、DG是角平分线（_______) ⒋命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ） A、垂直。B、两条直线。C、同一条直线。 D、两条直线垂直于同一条线。 ⒌如图所示：AB⊥EF ，CD⊥ EF，∠1=∠F=30°，那么与FCD相等的角 ∴∠1=

11

∠BCD ∠2=∠CDN (__________________) 22

∴∠1＋∠2＝90°

∵∠1＋∠2＋∠CGD＝180°（___________________）

有（ ）A、 1个 B、2 C、3个 D、4个 ⒍如图所示：AD平分CAE，∠ B=30°，CAD=65°， ∠ACD=（ ） A、50°

B、 65°

C、80° D、95°

⒎如图所示：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（ ） A、180° B、360° C、540° D、720° ⒏如图所示：如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（ ） A、α＋β＋γ=360° B、α－β＋γ=180° C、α＋β＋γ=180° D、α＋β－γ=180° A B

F

B

E

 E

C

C



D

D E 三、完型填空：

⒈如图所示：直线AB∥MN，分别交直线EF A

B 于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线 交于点G，求∠CGD的度数。

G M N

F

∴∠CGD＝90°

如图所示：在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC 求证：∠A= 2∠H

证明： ∵∠ACD是△ABC的一个外角，

∴∠ACD=∠ABC+∠A （________________） ∠2是△BCD的一个外角，

∴∠2=∠1+∠H （__________________）

∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线， ∴∠1=

1

2∠ABC ，∠2= 12

∠ACD（_____________________）∴∠A =∠ACD-∠ABC= 2 （∠2 －∠1） （____________）

而 ∠H=∠2 - ∠1 （等式的性质） ∴∠A= 2∠H （____________）

⒉已知： 的平分线。

四、解答题：

⒈如图所示：已知：AD∥EF，∠1＝∠2。求证：AB∥DG。

E

⒉．如图所示：已知：AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D。求证：BE⊥DE。

⒊. 如图所示：在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，∠BPC＝130°，

求：∠A的度数。

A

P

B C ⒋如图所示：已知：直线AB∥MN，分别交直线EF于点C、D，

∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G。 求∠CGD的度数。

A B ⒌如图所示：已知：CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2， 求证：FG∥BC

G M N

F

⒍如图所示：O是四边形ABCD的两条对角线的交点，过点

O作OE∥CD，交AD于E，作OF∥ BC，交AB于F，连接 EF。 求证：EF∥BD

⒎如图所示：已知：AB∥DE。 ⑴猜测∠A、∠ACD、∠D有什么关系？ 并证明你的结论。 ⑵若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A、∠ACD、∠D之间的关系，仍然满足⑴中的结论吗？若符合，请你证明，若不符，请你写出正确的结论并证明。要求画出相应的图形。

北师大版数学为什么要证明的练习题篇四：北师大版九年级数学上册第一章测试题及答案_证明(二)

证明（二）水平测试（测试卷一）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．）

1.两个直角三角形全等的条件是（ ）

（A）一锐角对应相等； （B）两锐角对应相等；

（C）一条边对应相等； （D）两条边对应相等.

2.到ABC的三个顶点距离相等的点是ABC的（ ）.

（A）三边垂直平分线的交点； （B）三条角平分线的交点；

（C）三条高的交点； （D）三边中线的交点.

3.如图，由12，得ABC≌EDCBCDC，ACEC，

的根据是（ ）

（A）SAS （B）ASA （C）AAS （D）SSS （第3题）

4.ABC中，ABAC，BD平分ABC交AC边于点D，BDC75，则A的度数为（ ）

（A）35° （B）40° （C）70° （D）110°

5.下列两个三角形中，一定全等的是（ ）

（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；

B （B）两个等边三角形； A （C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；

（第7题）

（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形.

6.适合条件A=B =C的三角形一定是（ ）

（A）锐角三角形； （B）钝角三角形； （C）直角三角形； （D）任意三角形.

7.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）.

（A）3米 （B）4米 （C）5米 （D）6米

8. 一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）.

（A）等腰三角形; （B）等边三角形; （C）直角三角形; （D）等腰直角三角形.

9.如图，已知AC平分PAQ，点B、B分别在边AP、AQ上，如果（第9题）

13添加一个条件，即可推出AB=AB，那么该条件不可以是（ ）

(A)BBAC (B)BCBC

(C)ACB=ACB (D)ABC =ABC

10.如图，FDAO于D，FEBO于E，下列条件：

①OF是AOB的平分线；②DFEF；③DOEO；④

OFD=OFE.其中能够证明DOF≌EOF的条件的个

数有（ ）

(第10题

) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

二、填空题(本大题有10小题，每小题3分，共30分．)

11.在ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .

12.如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是 度.

13.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 .

14. ABC中，C90，AD平分BAC，交BC于点D,若DC7，则D到AB的距离是.

15.如图，ABC＝DCB，需要补充一个直接条件才能使ABC（第15题）

≌DCB．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“ABDC”；

乙“ACDB”；丙“AD”；丁“ACB＝DBC”．那么这四位同学填写错误的是 .

16. 用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．

17.补全“求作AOB的平分线”的作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.②分别以D、E为圆心，以为半径画弧，两弧在AOB内交于点C.③作射线OC即为AOB的平分线.

18.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A

处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处(如图)，上午9时行到C处，测得

灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里(结果保留

根号).

19.在ABC中，A＝90°，ABAC，BD平分B交AC于D，(第18题)

DEBC于E，若BC10，则DEC的周长是20.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，

它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为

52cm和4cm，则直角三角形的两条直角边的和是 cm.

三、解答题(本大题有6小题，共60分．)

(第20题

) 22

21.（8分）已知：如图，OBOC. A=D90，ACBD.求证：

22.（8分）如图，OBCOCB，AOBAOC，请你写一个能用全部已知条件才能推出的结论，并证明你的结论.

A

O

B 

23.（10分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE＝CD．求证：BD＝DE.

24.（10分）已知：如图，ABC中，ABAC，A120.

(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N(保留作图痕迹，不写作法).

(2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.

B

D 25. （本题满分12分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进

行证明．

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且

． BAECDEB E 求证：ABCD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或

等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明． D D D B E E B E F （1） CF∥AB EF=DE F F （2） （3）



26．（12分）已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，可以说明：ACN≌MCB，从而得到结论：ANBM．现要求：

（1）将ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）在（1）所得到的图形中，结论“ANBM”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）在（1）所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并说明你的结论的正确性．

N

A C B

N B C

参考答案

一、DAABCDDCBD

二、11.PAPBPC； 12. 80或20； 13. 75； 14.7； 15.乙；16.三角形的三个内角都小于60，三角形的内角和是180；17.大于

19.10；20. 10.

三、21由A=D90，ACBD，BCBC知BAC≌CDB，因此有

，A=D90，所以BAC≌CDB，所ABDC.又AOBDOC（对顶角）1DE的长为半径；18. 20；2

以AOOD.又ACBD，所以ACAOBDBO，即OBOC.

22.∵ ∠OBC=∠OCB，∴ OB=OC.又∵ ∠AOB=∠AOC，OA=OA， ∴ △AOB≌△AOC，∴AB=AC.

23. BD是正三角形ABC的AC边的中线得BDAC，BD平分ABC，DBE30.由CDCE知∠CDE ＝∠E .由∠ACE ＝ 120°，得∠CDE＋∠E＝60°，所以∠CDE ＝∠E＝300，则有BD ＝ DE．

24.（1）作图略；（2）连接AM，则BM=AM.∵ AB=AC，∠BAC=120°，∴ ∠B=∠C=30°于是 ∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°.∴ AM11CM.故BMCM，即22

CM=2BM.

25.方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. ∴ ∠F=∠CGE=90°.又∵ ∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴ △BFE≌△CGE.∴ BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵ ∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴ △ABF≌△DCG.∴ AB=CD.

方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F.∴ ∠F=∠BAE.又∵ ∠ABE=∠D，∴ ∠F=∠D.∴ CF=CD.∵ ∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴ △ABE≌△FCE.∴ AB=CF. ∴ AB=CD.

方法三：延长DE至点F，使EF=DE.又∵ BE=CE，∠BEF=∠CED，∴ △BEF≌△CED. ∴ BF=CD，∠D =∠F. 又∵ ∠BAE=∠D，∴ ∠BAE=∠F. ∴ AB=BF.∴ AB=CD.

26.（1）作图略.

（2）结论“AN=BM”还成立.

证明：∵ CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴ △ACN≌△MCB.∴ AN=BM.

（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形.

证明： ∵ ∠DAB =∠MAC=60°，∠DBA=60°

∴ ∠ADB=60°.∴ △ABD是等边三角形.

∵ ∠ADB =∠AMC=60°，∴ ND∥CM.

∵ ∠ADB =∠BNC=60°，∴ MD∥CN.

∴ 四边形MDNC是平行四边.

北师大版数学为什么要证明的练习题篇五：北师大版八年级下 数学证明题和应用题练习题(含答案)

1、如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1＝60°，AE=1． (1)求∠2、∠3的度数；

(2)求长方形纸片ABCD的面积S．

2、某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元．中商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的八五折销售．那么，什么情况下到甲商场购买更优惠？

3、在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD。

（1）如图甲，连接AC，如果△ADC的面积为6，求梯形ABCD的面积；

（2）如图乙，E是腰AB上一点，连接CE，设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，求

的值；

4、某市火车货运站现有苹果1530吨，梨1150吨，安排一列货车将这批苹果和梨运往深圳市。这列货车可以挂A、B两种不同规格的货箱50节，已知用一节A型货箱的运费是0.5万元，用一节B型货箱的运费是0.8万元.

1、设运输这批苹果和梨的总运费为y（万元），用A型货箱的节数为x（节），试写出y与x的函数关系式。

2、已知苹果35吨和梨15吨可装满一节A型车厢，苹果25吨和梨35吨可装满一节B型车厢，按此要求安排A、B两种货箱的节数。有哪几种运输方案，请你设计出来。 3、利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案的总运费最少？最少运费是多少？

- 1 -

5、成都市对某校九年级学生进行了“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级.现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如图所示的统计图，已知图中从左到右的四个矩形的高之比为14∶9∶6∶1，评价结果为D等级的有2人，请你回答以下问题： （1）共抽测了多少人？

（2）样本中B等级、C等级的频率各是多少？

（3）若该校九年级的毕业生共300人，假如“综合素质”等级为A或B的学生才能报考示范性高中，请你计算该校大约有多少名学生可以报考示范性高中？

xy7a

6、已知关于x、y的方程组的解都是非正数，求a的取值范围.

xy13a

7、成都市为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，求实际每天铺设多长管道？

8、已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F.

（1）求证：△ABD≌△BCE （2）求证：AEBEEF

2

- 2 -

E

B

D

C

9、在金融危机的影响下，国家采取扩大内需的政策，基建投资成为拉动内需最强有力的引擎.现金强公司中标一项工程，在甲、乙两地施工，其中甲地需推土机30台，乙地需推土机26台，公司在A、B两地分别库存推土机32台和24台，现从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是400元和300元，从B地运一台到甲、乙两地的费用分别为200元和500元.若设从A地运往甲地x台推土机，运甲、乙两地所需的这批推土机的总费用为y元. （1）求y与x的函数关系式；

（2）公司应设计怎样的方案，能使运送这批推土机的总费用最少？

10、某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位.

⑴求中巴车和大客车各有多少个座位？ ⑵客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？

11、如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向

（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位． （1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；

（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；

（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．

- 3 -

1、(1)∠1=∠2=60° (2)S=3

2、解：设学校购买12张餐桌和x把餐椅，到购买甲商场的费用为y1元，到乙商场购买的费用为y2元，则有

y1=200×12+50(x-12)=50x+1800 y2=85%×(200×12+50x)=42.5x+2040 y1-y2=7.5x-240

当7.5x-240<0，即x<32时，y1<y2

答：当学校购买的餐椅少于32把时，到甲商场购买更优惠。 11、解: （1）∵A(8,0)，B(0,6)，∴OB6，OA8，AB10．

在前3秒内，点P在OB上、点Q在OA上， 设经过t秒，点P、Q位置如图． 则OP62t，OQt． ∴△OPQ 的面积S当t

1

OPOQt(3t)， 2

39时，Smax． 24

（2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O、点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；

点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P、Q两点在某一位置重合，最小距离为0．

设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则2tt6，∴t6． ∴在前10秒内，P、Q两点的最小距离为0，点P、Q的相应坐标为(6,0)． （3）①设0t3，则点P在OB上、点Q在OA上，

OP62t，OQt．

若PQ//AB，则∴

OP6

， OQ8

62t324

． ，解得t

t411

1824

此时，P(0,)，Q(,0)．

1111

②设3t7，则点P、Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况． ③设7t8，则点P在AB上、点Q在OA上，

AP2t14，AQ8t．

- 4 -

若PQ//OB，则∴

AQ8

， PA10

968t4

． ，解得t132t145

96696

,)，Q(,0)． 131313

此时，P(

④设8t12，则点P、Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况． ⑤设12t15，则点P在OB上、点Q在AB上，

BP2t24，BQ18t．

若PQ//OA，则

BP6

， BQ10

1742t243

∴． ，解得t

1318t5此时，P(0,

424842

)，Q(,)． 131313

4、⑴ y0.5x0.8(50x)400.3x；

⑵ 

35x25(50x)1530

，解得：28x30。有3种运输方案，分别是：①

15x35(50x)1150

A型28节，B型22节；② A型29节，B型21节；③ A型30节，B型20节。

⑶ 由y400.3x知，k=-0.3＜0，则y随x的增大而减小，故当x取最大值30时，y最小。即当用A型30节，B型20节时，运费最少，最少运费为y =31万元。

1

23060(人).......................................................................2分

149619361 （2）B；C.........................................6分1496110149615149

（3）300230（名）.................................................................................................8分

14961

答：略19、解：（1）

2

6、①+②，得 x3a………………………………………………………1分

由①–②，得 y42a……………………………………………………..2分

x3a

∴方程组的解为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

y42a

3a0„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∵解都是非正数 ∴

42a0

∴ 2a3„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 答：略

- 5 -

北师大版数学为什么要证明的练习题篇六：北师大版七年级下册数学证明题练习

北师大版七年级下册数学证明题练习

以下15题15分，第8题10分，其余的每小题5分。

1.如图，已知AB∥CD，EF交AB,CD于G, H, GM, HN分别平分AGF,EHD，试说明GM ∥HN.

2. 已知：如图，AD∥BC，∠BAD = ∠BCD，求证：AB∥CD。

3.如图，AB∥CD,P为AB,CD之间的一点，已知132，225，求BPC的度数。

4.已知AB∥CD，BC∥DE.试说明BD.

5.已知:DEAC于E,BCAC,FGAB于G,12,求证：CDAB.

6.在ABC中，CDAB于D,FGAB于G，ED∥BC,试说明12.

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7.已知：在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，求A ∠AEC

8.如图，已知∠A=∠F，AB∥EF，BC=DE，请说明AD∥CF.

解：∵ BC=DE（已知）∴ 在△ABD与△FEC中， ∴ BC+CD=DE+CD（ ∠A=∠F（已知）

即：_________＝________________＝______（已证）又∵AB∥EF（已知）_______＝______（已证）∴ ________＝_________∴△ABD≌△FEC（________）

∴∠ADB =∠FCE（_____________________） ∴ AD∥CF（_________________________） 9.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，试说明∠C=∠E

10.如图，已知OC=OE，OD=OB，试说明△ADE≌△ABC.

11.已知AO是△ABC中BC边上的高，点D、点E是三角形外的两个点，且满足AD=AE，DB＝EC，∠D＝∠E，试说明AO平分∠BAC

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D

E

C

12．如图，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E和D，BE=6， 求△BCE的周长．

1．如图，已知在AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC，为什么？

14、在Rt△ABC中，BD是∠B的平分线，DE⊥AB于E, 则DE = DC吗？说明你的理由.

B

15、如图，△ABC中∠C = 900，沿过B点的直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处. （1）求∠A的度数；

（2）若CE = 2cm，则求出ED的长度； （3）若CB = 4cm，则求出AB的长度.

A

D C

16、如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，E在AD上，BE = CE吗？说明你的理由.(8分)

D

B C

17、如图，△ABC中，AB=AC，D是AB

边上的一点， DE垂直平分AC，∠A=400，求∠BDC的度数。

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北师大版数学为什么要证明的练习题篇七：初中数学证明测试题1(北师大版)

第一章 三角形的证明 检测题A

数学八年级下册（北师大最新版本）

第Ⅰ卷（选择题，共30分）

2

11、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是

OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=°

13、 如图1-Z-10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是 . 14、等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是. 三、解答题（共40分）

17、（12分）已知：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1＝60°，AE=1． (1) 求∠2、∠3的度数；

(2) 求长方形纸片ABCD的面积S．

3

图1-Z-9

D

图1-Z-10

三、解答题

29.已知：如图10，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形

.

图10

1

30.已知：如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE

2

1

恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=DB

.

2

图11 11

31.已知三角形的三边分别是n2+n，n+和n2+n+ (n＞0)，求证：这个三角形是直角三角

22形.

32.如图12，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BA

C.

图12

33.如图13，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.

4

图13

参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共36分）

一、选择题（每小题4分，共36分）

第Ⅱ卷（非选择

题，共64分）

二、填空（第小题4分，共24分）

10、30，12，60，等边； 11、内错角相等，两直线平行； 12、95°； 13、47； 14、20°或80°；

15、

解析：∵

垂直平分是△

于点

于点， ∴

.

的角平分线，

在Rt△和Rt

△中，

5

北师大版数学为什么要证明的练习题篇八：北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题

1等腰三角形

知识点1 等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．

用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

定理的证明：

取BC的中点D，连接AD．

ABAC(已知), ∵BDCD(中点定义)，∴△ABD≌△ACD(SSS)．

ADAD(公共边)，

∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．

定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．

拓展 等腰三角形还具有其他性质．

(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．

(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．

(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b＜a． 2

(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．

知识点2 等腰三角形的性质定理的推论

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．

(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，

①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC；

②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC；

③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC．

(2)推论1的证明．

①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD(SAS)．

∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．

②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．

∴∠1＝∠2，BD＝CD．

③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，

∴△ABD≌△ACD(SSS)

∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.

(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直

.

推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．

(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，

在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

(2)推论2的证明：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．

∴∠A＝∠B＝∠C．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

知识点3 等腰三角形的判定定理

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．

用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，

∵∠B＝∠C，∴AB＝AC

判定定理的证明：如图1－6所示．

过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，

∴AB＝AC．

√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．

拓展 如图1－6所示，在△ABC中，

(1)如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC；

(2)如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC；

(3)如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC．

知识点4 等腰三角形的判定定理的推论

推论1．

(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴AB＝AC＝BC．

(3)推论1的证明：

在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

1800A又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝＝60° 2

∴AB＝AC＝BC．

(或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)

√推论2．

(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．

(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC．

(3)推论2的证明：

在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)．

又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC．

(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．

拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：

(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；

(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；

(3)根据推论2，证明三个角都相等．

√推论3．

(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝

(3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．

知识点5 反证法 1AB． 2

先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．

拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：

(1)假设命题不成立；

(2)从假设出发推导出矛盾；

(3)否定假设，从而肯定命题的结论．

规律方法小结

1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．

2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．

3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．

探究交流

想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？

解析 有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图1－2所示.

ABAC(已知),∵12(角平分线定义),

ADAD(公共边),

∴△ABD≌△ACD(SAS).

∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)

课堂检测

1、如图1－10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝

22AC，AE＝AB．求证BD＝CE． 33

2、如图1－12所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证BD＝CE．

3、如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，

求证△ABC是等腰三角形．

4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．

学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．

同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……

假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么?

5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17(1)所示，此时h3＝0，可得结论：h1+h2+h3＝h．

请直接应用上述信息解决下列问题：

点P在△ABC内，如图1－17(2)所示．点P在△ABC外，如图1－17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明．

北师大版数学为什么要证明的练习题篇九：九年级数学北师大版上册第一章证明二测试题

新高度暑期数学第一章测验 （满分120分，90分钟完卷）

一、填空题（每小题3分，共33分）

1、如图1，△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点,DE⊥AB

于E，∠CAD︰∠DAB=2︰5，则∠B= 。

2、如图2，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D ,若AB=12cm,则BD= cm.

3、△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠B且交于AC于点D,AC=1，则AD= .

4、已知△ABC中，AB=AC，∠A=40°，D是△ABC内一点，∠DBC=∠DCA，则∠BDC= 。

5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，则这里的水深 m。

如图1 图2

6、等腰三角形的底边长为2，面积等于1，则它的顶角的度数为 .

7、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是 .

8、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 .

9、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是 .

10.如图，∠ABC＝∠DCB，需要补充一个直接条件才能使

△ABC≌△DCB．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：

甲“AB=DC”；乙“AC=DB”；丙“∠A＝∠D”；丁“∠ACB＝∠DBC”． 那么这四位同学填写错误的为 .

11.用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．

二、选择题（每小题3分，共48分）

12、下列说法中正确的是（ ）

A、每个命题都有逆命题 B、每个定理都有逆定理

C、真命题的逆命题必真 D、假命题的逆命题必假

13、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1︰2︰3，CD是中线，CE是高，下面四个结论：①△ACD和△BCD都是1等腰三角形；②CE平分∠DCB；③CE︰AE=1

BE=AE。其中正确的结论有（ ） 3A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

14、如图6，△ABC中，AD⊥BC于D, CE⊥AB于E,若CH=AB，则∠ACB=（ ）

BDCA、30° B、45° C、60° D、75° 图6

15、如图7，△ABC中，∠C=90° AC=8，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若BC︰BD=4︰5，则

BC等于（ ）

A、4 B、6 C、8 D、10

16、△ABC中，∠B=90°,两直角边AB=7，

BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（ ）

A、1 B、3 C、6 D、无法求出

17、△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是

1.下列命题正确的是（ ）.

（A）等腰三角形是锐角三角形 （B）两个等腰直角三角形全等 （C）真命题的逆命题一定是真命题 （D）等腰三角形两腰上的高相等

18.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）. （A）三边中线的交点 （B）三条角平分线的交点

（C）三条高的交点 （D）三边垂直平分线的交点

19.下列定理有逆定理的是（ ）.

（A）如果a=b，那么a2=b2 （B）对顶角相等

（C）若三角形中有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角是锐角

（D）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

20.在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）.

11mn （C）2mn （D）mn 23

21.△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线MN交另一腰AC于D点，且∠DBC=30°，则∠A的度数为（ ）.

（A）30° （B）36° （C）40° （D）45°

22.△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）.

（A）67.5° （B）22.5° （C）45° （D）67.5°或22.5°

23.一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）.

（A）等腰三角形 （B）等边三角形 （C）直角三角形 （D）等腰直角三角形

24、两个直角三角形全等的条件是（ ）

（A）一锐角对应相等 （B）两锐角对应相等

（C）一条边对应相等 （D）两条边对应相等

25、不能确定两个三角形全等的条件是 （ ）

A、三条边对应相等 B、两角和一条边对应相等

C、两条边及其夹角对应相等 D、两条边和一条边所对的角对应相等

26、某校计划修建一座既是中心对称又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ）

A等腰三角形 B等边三角形 C等腰梯形 D菱形

27、三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）

A、4 B、10 C、4或10 D、以上答案都不对

三、解答题（每小题9+10+10+10分，共39分）

28. 已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，求△ODE的周长；

（A）mn （B）

29、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

30. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

31. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。

（1）已知CD=4cm，求AC的长；

（2）求证：AB=AC+CD。

北师大版数学为什么要证明的练习题篇十：北师大版数学九年级上第一章证明二测试题及答案(A)

北九上第一章《证明二》水平测试（A）

一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）

1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形

状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.

A. ① B. ② C. ③ D. ①和②

2．下列说法中，正确的是（ ）.

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D．面积相等的两个三角形全等

3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC

长为（ ）.

A．4cm B．5cm C．8cm D．34cm

4．如图3，在等边ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，且BDCE，AD与BE相交

于点P，则12的度数是（ ）.

A．45 B．55 C．60 D．75

5．如图4，在ABC中，AB=AC，A36，BD和CE分别是ABC和ACB的平分

线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）.

A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

00000

．如图5，l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的

距离相等，则可供选择的地址有（ ）.

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是

等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结

论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其中，

正确结论的个数是（ ）.

A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），

可以证明ABC≌EDC，得ED=AB. 因此，测得DE的长就

是AB的长，在这里判定ABC≌EDC的条件是( ).

A．ASA B．SAS C．SSS D．HL

9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的

位置，BE交AD于点F.

求证：重叠部分（即BDF）是等腰三角形.

证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC

又∵BDE与BDC关于BD对称，

图8

∴ 23. ∴BDF是等腰三角形.

请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）. ①12；②13；③34；④BDCBDE A．①③ B．②③ C．②① D．③④

10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且

BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（

1）作线段

BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相

交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，

AC，则△ABC为所求的等腰三角形.

上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.

A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）

二、细心填一填，一锤定音（每小题

3分，共30分）

1．如图10，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使

△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.

2．如图11，在RtABC中，BAC900,ABAC，分别过点B,C作经过点A的直线

的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.

3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等

于_________度.

4．如图13，在等腰ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，

若BCE 的周长为50，则底边BC的长为_________.

5．在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，则 0

底角B的大小为________.

6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和

等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)

7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B

与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.

8．如图15，在ABC中，AB=AC，A120，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB

于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么

DE+DF= _______cm. 0

9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC

于点E，若BE4，则AC_______ .

10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身

器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标

牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么

数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？

三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）

1．（7分）如图18，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高， 0

A300. 求证：AB= 4BD.

2．（7分）如图19，在ABC中，C90，AC=BC，AD平分CAB

交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出BDE的

周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.

3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，

BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；

③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正．

确的命题： ．

命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号).

(2)证明你写出的命题.

已知：

求证：

证明：

4．（8分）如图21，在ABC中，A90，AB=AC，ABC的

平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E. 0

1求证：CEBD. 2

5．（8分）如图22，在ABC中，C90.

（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.

（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.

6．（8分）如图23，AOB90，OM平分AOB，将直角三角板的顶

点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问

PC与PD相等吗？试说明理由.

四、拓广探索（本大题12分）

如图24，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，

交BC的延长线于点M，若A40.

（1）求NMB的度数；

（2）如果将（1）中A的度数改为70，其余条件不变，再求 0000图21 图23

NMB的度数； 图24

（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；

（4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

答案：

一、精心选一选，慧眼识金

1．C；2．B；3．D．点拨：BC=BE=3cm，AB=BD=5cm；4．C．点拨：利用ABD≌BCE；

5．B；6．D．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件；7．B．点拨：① ②正确；8．A；9．C；10．C．点拨：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.

二、细心填一填，一锤定音

1．答案不惟一.如ACBDBC；2．7厘米. 点拨：利用ABD≌CAE；3．30；

004．23．点拨：由BECEACAB27，可得BC502723；5．70或20.点

000拨；当ABC为锐角三角形时，B70；当ABC为钝角三角形时，B20；

6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存

在逆定理；7．15cm. 点拨：设CDx，则易证得BDAD10x.在RtACD中，4

15(10x)2x252，解得x.8．10．点拨：利用含300角的直角三角形的性质得，4

11DEDFBDCDBC.9．2. 点拨：在RtAEC中，AEC300，由22

AE=BE= 4，则得AC=2；10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步.

三、耐心做一做，马到成功

1．∵ACB90，A30，∴AB=2BC，B60.

又∵CD⊥AB，∴DCB30，∴BC=2BD. ∴AB= 2BC= 4BD.

2．根据题意能求出BDE的周长.

∵C90，DEA90，又∵AD平分CAB，∴DE=DC.

在RtADC和RtADE中，DE=DC，AD=AD，∴RtADC≌RtADE（HL）. ∴AC=AE，又∵AC=BC，∴AE=BC.

∴BDE的周长DEDBEBBCEBAEEBAB.

∵AB=6cm，∴BDE的周长=6cm.

3．（1）①，③；②，④.

（2）已知：D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点，且

AB＝AC，∠ABE＝∠ACD.

求证：OB＝OC，BE＝CD.

证明：∵AB=AC，∠ABE＝∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA）.∴BE=CD. 又∵ABCACB，∴BCDACBACDABCABECBE ∴BOC是等腰三角形，∴OB＝OC.

4．延长CE、BA相交于点F.

00∵EBFF90,ACFF90，∴EBFACF. 000000

在RtABD和RtACF中，∵DBAACF，AB=AC，