上海历年高考试卷 数学

上海历年高考试卷 数学篇一：2013年上海高考数学(理科)试卷及答案

2013年上海市秋季高考理科数学

一、填空题 1．计算：lim

n20

______

n3n13

n201

．

n3n133

【解答】根据极限运算法则，lim

ba

8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两

个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）

C5213

【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为12．

C918

9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA两个焦点之间的距离为________



4

，若AB=4，BC的

x2y2

【解答】不妨设椭圆的标准方程为1，于是可算得C(1,1，)得

4b2

面面积为48，试利用祖暅原理、一个平放的圆

柱和一个长方体，得出的体积值为__________

【解答】根据提示，一个半径为1，高为2的圆柱平放，一个高为2，底面面积8的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为1228216．

2

2

14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I){y|yg(x),xI}，已知定义域为[0,3]的

函数yf(x)有反函数yf1(x)，且f1([0,1))[1,2),f1((2,4])[0,1)，若方程

f(x)x0有解x0，则x0_____

【解答】根据反函数定义，当x[0,1)时，f(x)(2,4]；x[1,2)时，f(x)[0,1)，而时，f(x)的取值应在集合yf(x)的定义域为[0,3]，故当x[2,3

(,0)[1,2](4,)，故若f(x0)x0，只有x02．

二、选择题

15．设常数aR，集合A{x|(x1)(xa)0},B{x|xa1}，若ABR，则

a的取值范围为（ ）

(A) (,2)

(B) (,2]

(C) (2,)

(D) [2,)

【解答】集合A讨论后利用数轴可知，

a1a1

或，解答选项为B．

a11a1a

16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B．

17．在数列{an}中，an2n1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素

,2,1;7,,2,12,（iai,jaiajaiaj，

数为（ ）

(A)18

(B)28

j

）则该矩阵元素能取到的不同数值的个

(C)48

ij

(D)63

【解答】ai,jaiajaiaj2

1，而ij2,3,,19，故不同数值个数为18个，

选A．

18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为



a1,a2,a3,a4,a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分

别

为

(aiaj)ak(drd的dt小值、最大值，其中s最

{i,j,k}{1,2,3,4,5},{r,s,t}{1,2,3,4,5},则m,M满足（ ）.

(A) m0,M0

(B) m0,M0

(C) m0,M0

(D)

m0,M0

【解答】作图知，只有AFDEABDC0，其余均有aidr0，故选D．

三、解答题

19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.

C1

（2）令2，将函数yf(x)的图像向左平移

个单位，再向上平移1个单位，得到函6

数yg(x)的图像，区间[a,b]（a,bR且ab）满足：yg(x)在[a,b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求ba的最小值． 【解答】(1)因为0，根据题意有



342

0 

42

23

(2) f(x)2sin(2x)，g(x)2sin(2(x

))12sin(2x)1

63



上海历年高考试卷 数学篇二：历年高考上海数学试题(2005-2009年,理科)

2005年上海高考数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1． 答卷前，考生务必讲姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2． 本试卷共22道试题，满分150分．考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷． 一、填空题：（本题满分48分）本大题共12小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则

一律得零分． 1． 函数f(x)log4(x1)的反函数f

1

(x)____________________．

2． 方程4x2x20的解是____________________．



3． 直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OPOA4，则点P的轨迹方程是

____________________．

4． 在(xa)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a____________________．

5． 若双曲线的渐近线的方程为y3x，它的一个焦点是0)，则双曲线的方程是

____________________．

x12cos

6． 将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是____________________．

y2sin

7． 计算：lim

3

n1n

2

n

n

32

n1

____________________．

8． 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生，他们是

选修不同课程的学生的概率是____________________．（结果用分数表示） 9． 在△ABC中，若A120，AB5，BC7，则△ABC的面积S____________________． 10．

函数f(x)sinx2sinx，x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的

取值范围是____________________． 11．

有两个相同的直三棱柱，高为

2a

，底面三角形的三边长分别为3a、

4a、5a（a0）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是

____________________． 12．

用个n不同的实数a1，a2，„，an可得到个n!不同的排列，每个

排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i行ai1，ai2，„，ain，记

bia1i

2a2i

3a3i

(1)，niain1,2,3,,n!．例如：用1，2，3可得数

n

阵如右，由于此数阵中每一列各书数之和都是12，所以，

b1b2b61221231224，那么，在用1，2，3，4，5

形成的数阵

中，b1b2b120____________________．

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有

且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 13．若函数f(x)

121

x

，则该函数在(,)上是

（B）单调递减有最小值 （C）单调递增有最大值



（A）单调递减无最小值 （C）单调递增无最大值

5

[答]（ ）

14．已知集合Mxx12,xR，Px（A）x0x3,xZ （C）x1x0,xZ



1,xZ，则MP等于 x1

（B）x0x3,xZ （C）x1x0,xZ

[答]（

）

15．过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

（A）有且仅有一条 （C）有无穷多条

（B）有且仅有两条 （C）不存在

[答]（

）

lgx1,x1

16．设定义域为R的函数f(x)，则关于x的方程f2(x)bf(x)c0有7个不同

x10,

实数解的充要条件是 （A）b0且c0

（C）b0且c0

（B）b0且c0 （C）b0且c0

[答]（ ） 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）

已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A为直角，AB//CD，

AB4，AD2，DC1，求异面直线BC1与DC

所成角的大

小．（结果用反三角函数值表示） [解]

18．（本题满分12分）

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，点A、B分别是椭圆

x

2

证明：在复数范围内，方程z(1i)z(1i)z

2

55i2i

（i为虚数单位）无解．

36



y

2

20

1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，

且位于x轴上方，PAPF． （1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离

d的最小值．

[解]

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底

（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

对定义域分别是Df、Dg的函数yf(x)、yg(x)，

f(x)g(x)当xDf且xDg



当xDf且xDg． 规定：函数h(x)f(x)



当xDf且xDg

g(x)

1

（1）若函数f(x)，g(x)x2，写出函数h(x)的解析式；

x1

（2）求问题（1）中函数h(x)的值域；

（3）若g(x)f(x)，其中是常数，且0,，请设计一个定义域为R的函数yf(x)，及一个的值，使得h(x)cos4x，并予以证明．

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

23n

在直角坐标平面中，已知点P1(1,2)，P2(2,2)，P3(3,2)，„，Pn(n,2)，其中n是正整数．对

平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，„„，An为An1关于点

Pn的对称点．



（1） 求向量A0A2的坐标；

（2） 当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数yf(x)的图象，其中f(x)是以3为周期

的周期函数，且当x0,3时，f(x)lgx，求以曲线C为图象的函数在1,4的解析式；



（3） 对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标．

2006年全国普通高等学校招生统一考试

上海 数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试

卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若BA，则实数m＝ ． 2．已知圆x2－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是 ． 3．若函数f(x)＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a＝ ． 4．计算：lim

Cn

33

n

n1

＝ ．





5．若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ． 6．如果cos＝

15

，且是第四象限的角，那么cos(



2

)＝ ．

7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．

5

8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 ．

3

6

9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．

10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ． 11．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 ．

12．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ．

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）







（A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC；













C

B （C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．

14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）

（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．

42

15．若关于x的不等式(1k)x≤k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有[答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．

16．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下

l

上海历年高考试卷 数学篇三：2014年上海市高考数学试卷(理科)

2014年上海市高考数学试卷（理科）

2014年上海市高考数学试卷（理科）

一、填空题（共14题，满分56分）

21．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos（2x）的最小正周期是 _________ ．

2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=

3．（4分）（2014•上海）若抛物线y=2px的焦点与椭圆

4．（4分）（2014•上海）设f（x）=

5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x+2y的最小值为 _________ ．

6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为角函数值表示）．

7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是

8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=

9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 （a3+a4+…an），则q= _________ ． 222+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为，若f（2）=4，则a的取值范围为

10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．

11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a，b}，则a+b=

12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=

13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 _________ ．

14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣

的Q

使得+，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上22=，则m的取值范围为 _________ ．

二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分

16．（5

分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）

17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（

）

18．（5分）（2014•上海）设f（x）=

，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）

三、解答题（共5题，满分72分）

19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．

20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=

﹣1． （1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f（x）；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）

．

22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．

（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；

（2）若直线y=kx是曲线x﹣4y=1的分隔线，求实数k的取值范围；

（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．

23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N，a1=1．

（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N，求q的取值范围．

（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．

**22

2014年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共14题，满分56分）

1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos（2x）的最小正周期是

2 ．

2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=

3．（4分）（2014•上海）若抛物线y=2px的焦点与椭圆

2+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为

上海历年高考试卷 数学篇四：2015年上海高考数学试卷与答案(理科)

上海历年高考试卷 数学篇五：2013年上海高考数学试题(文科)附答案

2013年上海高考数学试题（文科）附答案

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

x

1．不等式0的解为 ．

2x1

2．在等差数列an中，若a1a2a3a430，则a2a3

3．设mR，m2m2m21i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m



4．若

x211

0，

xy

11

1，则y =．

5．已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c．若a2abb2c20，则角C的大小是 ．

6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．

2a

7．设常数aR．若x的二项展开式中x7项的系数为-10，则a

x

5

9

13x的实数解为 ． x

31

1

9．若cosxcosysinxsiny，则cos2x2y．

3

10．已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上地面圆心，A、B是下底面

π

圆心上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为，

6

1

则． r

8．方程

11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）． 12．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA间的距离为 ．

π

．若AB

4，BC的两个焦点之4

a2

a1对一切正实数x成立，则a的取值范围为． 13．设常数a0，若9xx



14．已知正方形ABCD的边长为1．记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3；以C为



,,c2、c3．起点，其余顶点为终点的向量分别为c1、若i,jkl

的最小值是 ．

1,2,3



aa则ijckcl且ij,kl，



二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数fxx1x1的反函数为f

2

1

x，则f12的值是（ ）

（D

）1（A

（B

） （C

）116．设常数aR，集合Ax|x1xa0，Bx|xa1．若ABR，则a的取值范围为（ ） （A）,2

（B）,2

（C）2,

（D）2,



17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件

x2ny218．记椭圆1围成的区域（含边界）为nn1,2,，当点x,y分别在1,2,上时，

44n1

xy的最大值分别是M1,M2,，则limMn（ ）

n

（A）0 （B）

1

(C) 2

4

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．

19．（本题满分12分） 如图，正三棱锥OABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

第19题图

20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分5分，第2小题满分9分．

甲厂以x千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每小时可获得的利润是

3

100(5x1)元．

x

（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5

132)； xx

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数f(x)2sin(x)，其中常数0．

（1）令1，判断函数F(x)f(x)f(x



2

)的奇偶性并说明理由；

（2）令2，将函数yf(x)的图像向左平移



个单位，再往上平移1个单位，得到函数yg(x)的6

图像．对任意的aR，求yg(x)在区间[a,a10]上零点个数的所有可能值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

已知函数f(x)2|x|．无穷数列{an}满足an1f(an),nN*．

（1）若a10，求a2，a3，a4；

（2）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；

（3）是否存在a1，使得a1，a2，a3，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

x2

如图，已知双曲线C1：y21，曲线C2：|y||x|1．P是平面内一点，若存在过点P的直

2

线与C1、C2都有公共点，则称P为“C1C2型点”．

（1）在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线ykx与C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1C2型点； （3）求证：圆x2y2

1

内的点都不是“C1C2型点”． 2

2013年上海高考数学试题（文科）

参考答案

一． 填空题 1. 0＜ X＜12

2. 15 3. -2 4. 1 5.

23

6. 78 7. -2 8. log34 9. -79

10.

11.57

12.

3

13. 1

5

, 14. -5 二． 选择题

上海历年高考试卷 数学篇六：2015年上海市高考数学试卷(理科)解析

2015年上海市高考数学试卷（理科）

一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则

Α∩∁UΒ=．

2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．

3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= ．

4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16

2，则a=． 5．（4分）（2015•上海）抛物线y=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则

p=．

6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．

7．（4分）（2015•上海）方程log2（9﹣5）=log2（3﹣2）+2的解为 ．

8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．

9．（2015•上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为 ．

10．（4分）（2015•上海）设f（x）为f（x）=2

+f（x）的最大值为 ．

11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）的展开式中，x项的系数为 （结102﹣1﹣1x﹣1x﹣1x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）

果用数值表示）．

12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，

再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2=（元）．

13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…

*＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥12，m∈N），

则m的最小值为 ．

14．（2015•上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•= ．

二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”

16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转

至

OB，则点B的纵坐标为（ ）

17．（2015•上海）记方程①：x+a1x+1=0，方程②：x+a2x+2=0，方程③：x+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是

18．（5分）（2015•上海）设 Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=（n∈N）与圆x+y=2在第一*

22222象限的交点，则极限

=（ ）

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．

20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．

（1）求t1与f（t1）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x+2y=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．

（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；

（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．

22．（16分）（2015•上海）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N．

（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；

（2）设{an}的第n0项是最大项，即a

n**22≥an（n∈N），求证：数列{bn}的第n0项是最大项； *（3）设a1=λ＜0，bn=λ（n∈N），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈

（﹣2，2）．

23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．

（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；

（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；

（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．

2015年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．

2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=

3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为

解为，则c1﹣c2=．

上海历年高考试卷 数学篇七：2014年上海高考理科数学试题及参考答案

2014年普通高等学校招生统一考试上海市

数学试题（理科）及参考答案

满分150分;考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1、函数y12cos2(2x)的最小正周期是 ．

12、若复数z12i， 其中i是虚数单位, 则zz． z

x2y223、若抛物线y2px的焦点与椭圆 1的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为．95

x, x(,a),4、设f(x)2 若f(2)4, 则a的取值范围为 ． x, x[a,).

5、若实数x， y满足xy1, 则x22y2的最小值为．

6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．

7、已知曲线C的极坐标方程为(3cos4sin)1, 则C与极轴的交点到极点的距离是 ．

8、设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1

9、若f(x)xx2

31

2lim(an3a4an), 则q, 则满足f(x)0的x的取值范围是．

10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．

11、已知互异的复数a， b满足ab0, 集合{a, b}{a2, b2}, 则ab ．

π]上恰有三个解x1, x2, x3, 则12、设常数a使方程sinx3cosxa在闭区间[0,2

x1x2x313、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量表示小白玩该游戏的得分．若E()4.2, 则小白得5分的概率至少为 ．

214、已知曲线C:x4y, 直线l:x6．若对于点A(m,0), 存在C上的点P和l上

的Q使得, 则m的取值范围为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．

15、设a, bR, 则“ab4”是“a2且b2”的

(A) 充分条件 (B) 必要条件

(D) 既非充分又非必要条件 (C) 充分必要条件

16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB是一条侧棱,

Pi(i1,2,,8)是上底面上其余的八个点, 则ABAPi(i1,2,,8)的

不同值的个数为

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

17、已知P上两个不同的点, 则关于x和y1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线ykx1（k为常数）

a1xb1y1,的方程组的解的情况是 axby122

(A) 无论k, P1, P2如何, 总是无解 (B) 无论k, P1, P2如何, 总有唯一解

(C) 存在k, P1, P2, 使之恰有两解 (D) 存在k, P1, P2, 使之有无穷多解

(xa)2, x0,18、设f(x) 若f(0)是f(x)的最小值, 则a的取值范围为 1xa, x0.x

(A) [1,2] (B) [1,0] (C) [1,2] (D) [0,2]

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥PABC, 其表面展开图是

三角形P1P2P3, 如图．求△PP12P3的各边长及此三棱锥的体积V ．

20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

2xa设常数a0, 函数f(x)x． (1)若a4, 求函数yf(x)的反函数yf1(x); 2a

(2)根据a的不同取值, 讨论函数yf(x)的奇偶性, 并说明理由。

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图, 某公司要在A, B两地连线上的定点C处建造广告牌, 其中D为顶端, AC长35米, CB长80米. 设点A, B在同一水平面上, 从A和B看D的仰角分别为和．

(1)设计中CD是铅垂方向．若要求2, 问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

(2)施工完成后, CD与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12,

． 18.45, 求CD的长（结果精确到0.01米）

22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2

小题满分5分，第3小题满分8分．

在平面直角坐标系xOy中, 对于直线l:axbyc0和点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 即(ax1by1c)(ax2by2c)．若0, 则称点P若曲线C与直线l没1, P2被直线l分隔．

有公共点, 且曲线C上存在点P1, P2被直线l分隔, 则称直线l为曲线C的一条分隔线．

(1)求证: 点A(1,2), B(1,0)被直线xy10分隔;

(2)若直线ykx与曲线x24y21的分隔线, 求实数k的取值范围;

(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1, 设点M的轨迹为曲线E。 求证: 通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是E的分隔线.

23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

1*已知数列{an}满足anan13an, nN, a11． 3

(1)若a22, a3x, a49, 求x的取值范围;

1*(2)设{an}是公比为q的等比数列, Sna1a2an．若SnSn13Sn, nN, 3

求q的取值范围;

(3)若a1,a2,,ak成等差数列, 且a1a2ak1000, 求正整数k的最大值, 以及k取最大值时相应数列a1,a2,,ak的公差．

参考答案：

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1、1； 2、6； 3、x2； 4、a2； 5、22； 2

1111； 7、； 8、； 9、（0,1）； 10、； 323156、arccos

11、-1； 12、7； 13、0.2； 14、2,3. 3

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．

15、B; 16、A; 17、B; 18、D;

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19、(本题满分12分)

解：∵由题得，三棱锥PABC是正三棱锥

∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC是边长为2的正三角形 ∴由题得，ABCBCACAB

3，

PBAPABP2BCPCBP1123ACPCA3

又∵A,B,C三点恰好在P1,P2,P3构成的PP12P3的三条边上 P∴PBA11ABP2BCP2CBP3ACPCA3

∴PAPBPCP11P2BPC233A2 3

∴PP12PP13P2P34，三棱锥PABC是边长为2的正四面体

∴如右图所示作图，设顶点P在底面ABC内的投影为O，连接BO，并延长交AC于D ∴D为AC中点，O为ABC的重心，PO底面ABC

∴BO211BD

，PO

V22 33332233

20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

2x481x(,1)(1,) 解：（1）由题得，f(x)x2424

∴f1x1(x)2log2，x(,1)(1,) x1

2xa∵f(x)x且a0∴①当a0时，f(x)1,xR， 2a

∴对任意的xR都有f(x)f(x)，∴yf(x)为偶函数

2x12x112x

,x0，f(x)x②当a1时，f(x)x， x212112

∴对任意的x0且xR都有f(x)f(x)，∴yf(x)为奇函数

③当a0且a1时，定义域为xxlog2a,xR}，

∴定义域不关于原定对称，∴yf(x)为非奇非偶函数

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）由题得，∵2，且02

2，tantan2 CD

CD即，解得，CDCD28.28米 235CD1

6400

由题得，ADC18038.1218.45123.43， ∵AD3580，∴AD43.61米 sin123.43sin18.45

222∵CD35AD235ADcos38.12，∴CD26.93米

22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

（1）证明：由题得，2(2)0，∴A(1,2),B(1,0)被直线xy10分隔。

（2）解：由题得，直线ykx与曲线x4y1无交点 22

x24y21即(14k2)x210无解

ykx

14k2011k(,][,)

∴14k0或，∴2224(14k)02

（3）证明：由题得，设M(x,y)，∴x1，

上海历年高考试卷 数学篇八：2013年上海高考数学(理)试卷及答案

2013上海高考数学真题（理科） 2013-06-18 14:57:35

2013上海高考数学真题（理科）(2) 2013-06-18 14:57:35

2013上海高考数学真题（理科）(3)

2013-06-18 14:57:35

上海历年高考试卷 数学篇九：2015年上海高考数学试卷(文史类)(完整版)

2015年上海高考数学试卷（文史类）

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哈佛北大精英创立 5

上海历年高考试卷 数学篇十：近五年上海市高考数学理科试卷与答案

2007年上海市高考数学理科试卷与答案

一、填空题 1、函数fx

lg4xx3

的定义域为_____

2、已知l1:2xmy10与l2:y3x1，若两直线平行，则m的值为 _____3、函数

f

x

xx1

的反函数f

1

x

_____

4、方程9x63x70的解是_____ 5、函数fxsinx







sinx的最小正周期是T_____ 32

6、已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为_____

2345，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_____ 7、有数字1、、、、

8、已知双曲线程为_____

x

2

4



y

2

5

1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方

9、若a,b为非零实数，则下列四个命题都成立： ①a

1a

0 ②aba2abb ③若ab，则ab

2

2

2

2

④若aab，则ab则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的序号是_____。

10、平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面,与两直线

l1,l2，又知l1,l2在内的射影为s1,s2，在内的射影为t1,t2。试写出s1,s2与t1,t2满足的

条件，使之一定能成为l1,l2是异面直线的充分条件

11、已知圆的方程xy11，P为圆上任意一点（不包括原点）。直线OP的倾斜

2

2

角为弧度，OPd，则df的图象大致为_____2sin 正弦函数

二、选择题

12、已知2ai,bi是实系数一元二次方程xpxq0的两根，则p,q的值为 A、p4,q5 B、p4,q5 C、p4,q5 D、p4,q5

2

13、已知a,b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是 A、a2b2 B、a2bab2 C、

1ab

2



1ab

2

D、

ba



ab



14、在直角坐标系xOy中，若直角三角形ABC中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，

AB2ij，AC3ikj，则k的可能值有

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

15、已知fx是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若fkk成立，

2

则fk1k1成立，下列命题成立的是

A、若f39成立，则对于任意k1，均有fkk成立

2

2

B、若f416成立，则对于任意的k4，均有fkk成立

2

C、若f749成立，则对于任意的k7，均有fkk成立

2

D、若f425成立，则对于任意的k4，均有fkk成立

2

三、解答题

16、体积为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC1，求直线AB1与

6

平面BCC1B1所成角。

arcsin

17、在三角形ABC

中，a2,C



4

,cos

B2



5

，求三角形ABC的面积S。

先求出sinB ，cosB 再求出sinAsin(BC) 可算出 S＝8/7

18、（背景省略）已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%） （1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）

（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）

19、已知函数fxx2（1）判断fx的奇偶性

（2）若fx在2,是增函数，求实数a的范围

20、若有穷数列a1,a2...an（n是正整数），满足a1an,a2an1....ana1即aiani1（i是正整数，且1in），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列bn是项数为7的对称数列，且b1,b2,b3,b4成等差数列，b12,b411，试写出bn的每一项

（2）已知cn是项数为2k1k1的对称数列，且ck,ck1...c2k1构成首项为50，公差为4的等差数列，数列cn的前2k1项和为S2k1，则当k为何值时，S2k1取到最大值？最大值为多少？

2m1（3）对于给定的正整数m1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1,2,2...2

ax

(x0,aR)

成为数列中的连续项；当m1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008

21、已知半椭圆

xa

22



yb

22

1x0与半椭圆

yb

22



xc

22

“果圆”，1x0组成的曲线称为

其中a2b2c2,a0,bc0，F0,F1,F2是对应的焦点。 （1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若A1AB1B，求

ba

的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有

k的值；若不存在，说明理由。

2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）

数学试卷（理工农医类）

一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.不等式x1＜1的解集是___________________.

2．若集合A{x|x2}、B{x|xa}满足AB{2}，则实数a. 3．若复数z满足zi(2z) (i是虚数单位)，则z= . 4．若函数f(x)的反函数为f

1

(x)x(x0)(x＞0)，则f(4)2



b满足a1,b2,且a与b的夹角为，则ab＝___________________ 5．若向量a、

3

6

．函数f(x)



xsinx的最大值是___________________.

2

7．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x(0,)时，f(x)lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是___________________.

9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是___________________ .

10．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a,短轴长为2b 椭圆。已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1,h2，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________ 11

．方程x

2

1

0的解可视为函数yxy

1x

的图像交点的横

44

x,坐标。若方程xax40的各个实根x1,x2,xk(k4)所对应的点ix（I=1,2,„，1

k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是___________________.

二、选择（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.

r12．组合数Cn(nr1,n、r∈Z）恒等于 [答]（ ）

（A）

r1n1

Cn1. (B)(n+1)(r+1)Cn1 (C)nrCn1 (D)

r1r1r1

nr

C

r1

n1

.

13．给定空间中的直线l及平面。条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的 [答]（ ） （A）充要条件. （B）充分非必要条件. （C）必要非充分条件. （D）既非充分又非必要条件. 14．若数列{an}是首项为l，公比为a

32

的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a值