2013-2014学年下学期期末考试高二数学 理
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2013-2014学年下学期期末考试高二数学 理
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数 学 试 题 卷(理科)2014.7
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知是实数，设是虚数单位，若则复数是( )
A、 B、 C、 D、
2、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P()，则 A、 B、 C、0 D、4
3、若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是( )
A、 B、 C、 D、
4、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为( )
A、 B、 C、 D、
5、的展开式中常数项为( )
A、-40 B、-10 C、10 D、40
6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为
A、2 B、4 C、4 D、12
7、函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
8、椭圆C：的左右焦点分别为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
9、现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，，则不同的选法共有种(
A、53 B、67 C、85 D、91
10、满足且， 不等式M恒成立，则M的最大值是 ( )
A、 B、 C、 D、
第II卷(非选择题，共100分)
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。
11、设集合A={(x，y) }，B={(x，y)|y=}，则A∩B的子集的个数是_______在R上定义运算 ，若成立，则的集合是_________
13、函数在内单增，的取值范围是
考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，
E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与
AE、BE相交于C、D，若∠AEB=,则∠PCE
等于(为参数,)与圆(为参数)相交所得的弦长的取值范围是 .
16、已知函数f (x)=|x-2|-|x-5|，则不等式f (x)≥x2-8x+15的解集为________.
三、解答题：本大题6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(13分)已知命题p:(x+1)(x-5)≤0，命题q:
(1)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围;
(2)若m=5，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数x的取值范围。
18、(13分)为了应对新疆暴力恐怖活动，重庆市警方从武警训练基地挑选警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士(分别记为、、、)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、的概率分别为这三项测试能否通过相互之间没有影响.求能够入选的概率;
规定：按入选人数得训练经费每入选1人，则相应的训练基地得到000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望.19、(13分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.
(1)求证：平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
20、(12分)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex其中e是自然对数的底数a∈R.
(1)若a=1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;
(2)若a<0，求f(x)的单调区间;
(3)若a=-1，函数f(x)的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围.的椭圆C：的左、右焦点，抛物线与椭圆C在第一象限的交点到的距离为.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F2，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由。
22、(12分)重已知正项数列{}满足
判断数列{}的单调性;
求证：
2014年重庆一中高2015级高二期末考试
数学答案(理科)
一.选择题
1-5CCBD 6-10CCDBD
二.填空题
11.412.(-4,1)13.(1,2)14. 15. 16.[5-√3,6]
三.解答题
17.解:(1)A=,B=
(1)B=Ф,1-m>1+m,m<0
(2)BФ,m
1-m且1+m 综上，
“ ”为真命题，“ ”为假命题 则p与q一真一假
P真q假，Ф。 P假q真，
所以
18.解：(I)设A通过体能、射击、爆破分别记为事件M，N，P则能够入选包含以下几个互斥事件：
.
(Ⅱ)记表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为，又可能的取值为0，1，2，3，4.
， ，
， ，
0 1 2 3 4 P
∴训练经费的分布列为：
5000 10000 15000 20000
19.证明：(Ⅰ)连结和交于，连结，
为正方形，为中点，为中点，
，
平面，平面
平面.
(Ⅱ)平面，平面，，
为正方形，，
平面，
平面，
平面，
以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，
则，，，
平面，平面，
，
为正方形，，
由为正方形可得：，
设平面的法向量为
，
由，令，则
设平面的法向量为，
，
由 ，令，则，
设二面角的平面角的大小为，则
二面角的平面角的余弦值为
20.(1)a=1时，f(x)=(x2+x-1)ex，
所以f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex，
所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.
又因为f(1)=e，
所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)，即4ex-y-3e=0.
(2)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=[ax2+(2a+1)x]ex，
f′(x)<0,所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为
(2)若a=，则f′(x)= 当 f′(x)<0，所以f(x)的递减区间单调递增区间为
(3)由(2)已知f(x)=(x2+x-1)ex递减，在递增，在上单调递减，所以f(x)在x= -1处取得极小值，在x=0取得极大值-1
g(x)经过分析在在递增，在递减，在上单调递增
故g(x)在x=-1取得极大值在，在x=0取得极小值m
因为函数f(x)与g(x)图像有3个不同的交点。
所以
所以
21.解：(Ⅰ)由离心率可设椭圆C的方程为：，
设抛物线和椭圆C的交点为
则：，
代入椭圆方程：，解得
∴椭圆C的方程为.
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为，
此时，，，不合题意.
当直线AB不垂直于x轴时，设存在点，.
设直线AB的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得，
则，故，此时，直线PQ的斜率为k1=﹣4m，
PQ的直线方程为y﹣m=﹣4m(x+)，即y=﹣4mx﹣m.
联立，消去y，整理，得(32m2+1)x2+16m2x+2m2﹣2=0.
∴，x1x2=，
由题意=0， ∴=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2
=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)
=(1+16m2)x1x2+(4m2﹣1)(x1+x2)+1+m2
=++1+m2
==0，∴m=.
∵M在椭圆内，∴，∴m=符合条件.
综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M(﹣，﹣)和M(﹣，).
22解：重已知正项数列{}满足
判断数列{}的单调性;
求证：
分析：(1)，即
故数列{}为递增数列.
(2) 不妨先证
再证：
.
当时，
.
易验证当n=1时,上式也成立.
综上,故有成立.