八年级数学全等三角形典型例题

八年级数学全等三角形典型例题(一)
八年级上数学 全等三角形典型例题

典型例题： 例1：（2008 威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE

于点F．求证：AF⊥BE．

练习1：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，

如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。

例2： △DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,

求证：（1）AE=BD； (2)CM=CN； (3) △CMN为等边三角形；（4）MN∥BC。 E

C

B

例3：（10分）已知，△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，过A任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系．

⑴如图1，当l经过BC中点时，DE = （1分），此时BD CE（1分）．

⑵如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ，并证明你的结论．（3分） ⑶如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ． 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ．（1分）

l E l

C C C

图1 图2 图3

例4：已知: 在平面直角坐标系中，放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），

B点的坐标为（4，0）. ⑴求C点的坐标；

⑵AD，并以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE，连CD、BE.试判断线段CD、BE的位置及数量关系，并给出你的证明；

⑶旋转△ADE，使D点刚好落在x轴的负半轴，连CE交y轴于M. 求证：①EM=CM；②BD=2AM.

练习2：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。 试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF

C

E

练习3：

如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。

若将 ⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？

例二：如图1，已知，AC⊥CE，AC=CE， ∠ABC=∠CDE=90°，

问BD=AB+ED吗?

[分析] ：

（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；

（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系； （3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：

如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。

图

5

解答过程：得到△ABC≌CDE之后，可得到BC=DE，AB=CD ∴ BC+CD=DE+AB（等式性质） 即：BD=AB+DE

[变形1]：如图7， 如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。 [注意]：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）

图6

图7

位置关系（垂直，平行之类）

[变形2]：（2008 泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F， 求证：DE=BF

[分析]：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。

[变形3]：如图8，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，

如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。

[分析] ：说明相等的边所在的三角形全等，

题中“AB=AC”，发现：AB在Rt△ABD中，AC在Rt△CAE中， 所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等（如图9） 于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角， 再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。

解：由题意可得：在Rt△ABD中，∠1+∠ABD=90°（直角三角形的两个锐角互余） 又∵ ∠BAC=90°（已知）， 即∠1+∠CAE=90° ∴ ∠ABD=∠CAE（等角的余角相等） 故在△ABD与△CAE中，

BDA=∠AEC=90°（垂直定义）

∠ABD=∠CAE（已求）

AB=AC（已知）

E

F

C

C

八年级数学全等三角形典型例题(二)
八年级上数学_全等三角形典型例题

典型例题： 例1：（2008 威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE

于点F．求证：AF⊥BE．【八年级数学全等三角形典型例题】

练习1：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点

A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，

如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。

例2： △DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,

求证：（1）AE=BD； (2)CM=CN； (3) △CMN为等边三角形；（4）MN∥BC。

C

B

例3：（10分）已知，△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，过A任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系．

⑴如图1，当l经过BC中点时，DE = （1分），此时BD CE（1分）．

⑵如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ，并证明你的结论．（3分） ⑶如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ． 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ．（1分） l l

C C C

图1 图2 图3

练习2：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。 试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF

C

E

练习3：

如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。

若将 ⊿ABC的边EC经

AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？

[变形2]：（2008 泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F， 求证：DE=BF

[分析]：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。

[变形4]：在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。 （1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？

E

F

（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图【八年级数学全等三角形典型例题】

具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。

A

图10

A

BA

B

∠2，请问BD=CE吗？ 例三：已知在△ABC中，AB=AC关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等”

[变形1]：如图13，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE， 请说明△ABD≌△ACE.吗？为什么？

B

E

[分析]：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS说明全等， 此题是两组角相等，那么该如何做呢?

B

[变形2]：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。

图14

[分析]：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD看成在△ABD的一边，CE看成△ACE的一边，自然就得到了证明的方向。

B

图15

[变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD，CE，请说明它们相

这里仅以图17进行说明

解：∵ △ABC与△ADE是等边三角形， B

B

∴ AB=AC， AD=AE

B

A

∠BAC=∠DAE=60°

∴∠BAC∠CAD=∠DAE∠CAD【仅这步有差别】 即：∠BAD=∠BAD=∠CAE ∴ 在△ABD与△ACE中，【八年级数学全等三角形典型例题】

AB=AC（已知） ∠BAD=∠CAE（已求） AD=AE

B

A

∴ △ABD≌△ACE（SAS）

B

A

∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）

B

A

[变形4]：（2008 怀化）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与

AD相交于点N．求证：AECG；

[分析]：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60

B

C

八年级数学全等三角形典型例题(三)
人教版八年级上全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题

一、全等在特殊图形中的运用

1、如图，等边△ABC中，D、E分别是AB、CA上的动点，AD＝CE，试求∠DFB的度数．

2、如下图所示，等边△ABC中，D、E、F是AB、BC、CA上动点，AD＝BE＝CF，试判

断△DEF的形状．

A

3、如下图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、D在同一直线上，AC、BE相交于点G，AE、CD相交于点F，试说明△AGF是等边三角形．

BA

Ex、如图，四边形ABCD与BEFG都是正方形，AG、CE相交于点O，AG、BC相交于点M，BG、CE相交于点N，请你猜测AG与CE的关系(数量关系和位置关系)并说明理由．

A

4、△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，D是底边BC的中点，DE⊥DF，试说明BE、CF、EF为边长的三角形是直角三角形。

二．证明全等常用方法（截长法或补短法）

5、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D．请你试说明AB＋BD＝AC．

BC

Ex1，∠C＋∠D＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD＋BC＝AB．

Ex2、五边形ABCDE中,AB＝AE,∠BAC＋∠DAE＝∠CAD,∠ABC＋∠AED＝180°,连结AC，AD．请你用补短法说明BC＋DE＝CD．（也可用截长法，自己考虑）

B

6、如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，F是BC上的点，且∠EDF＝45°．请你试用

补短法说明AE＋CF＝EF． C

F

AB

Ex1.、如图所示，在△ABC中，边BC在直线m上，△ABC外的四边形ACDE和四边形ABFG均为正方形，DN⊥m于N，FM⊥m于M．请你说明BC＝FM＋DN的理由．(分别用截长法和补短法) （连结GE，你能说明S△ABC＝S△AGE吗？）

m

三．全等在探究题中的运用

7、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90，

且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

(1) 请你写出△ABC≌△ECF的理由； 在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（2）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． D D A A D A

F

图1

G

图2

F G

C G

图3

8、已知，△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，过A任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系．

⑴如图1，当l经过BC中点时，DE = ，此时BD CE.

⑵如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ，并证明你的结论． ⑶如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ． 证明你的结论，并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ． l l

C B C C

图1 图2 图3

四．动点问题中的全等、

9、如图，已知△ABC中，ABAC20厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以6厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A

点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全

等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动 速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多 长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

八年级数学全等三角形典型例题(四)
人教版八年级数学全等三角形经典例题

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八年级数学全等三角形典型例题(五)
人教版八年级数学全等三角形经典例题

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