2016年高考数学试题汇编：函数

2016年高考数学试题汇编：函数(一)
2016年高考数学理试题分类汇编：函数

2016年高考数学理试题分类汇编

函数

一、选择题

1、（2016年北京高考）已知x，yR，且xy0，则（ ）

A.

1111

0 B.sinxsiny0 C.(x(y0 D.lnxlny0

22xy

【答案】C

3

2、（2016年山东高考）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)x1 ；当1x1 时，

f(x)f(x)；当x

1 2

时，f(xf(x .则f(6)=

（A）−2 【答案】D

3、（2016年上海高考）设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)g(x)、

（B）−1

（C）0

（D）2

1212

f(x)h(x)、g(x)h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若f(x)g(x)、f(x)h(x)、g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列

判断正确的是（ ）

A、①和②均为真命题B、①和②均为假命题

C、①为真命题，②为假命题D、①为假命题，②为真命题

【答案】D

x2(4a3)x3a,x0,

4、（2016年天津高考）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且

loga(x1)1,x0

关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） （A）（0，【答案】C

223123123] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}

333333444

5、（2016年全国I高考））函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

（A）

（B

）

（C）

【答案】D 【解析】

（D

）

f28e282.820，排除A，f28e282.721，排除B x0时，fx2x2ex

11

fx4xex，当x0,时，fx4e00

44

1

因此fx在0,单调递减，排除C

4

故选D．

0c1，则 6、（2016年全国I高考）若ab1，

cccc

（A）ab（B）abba（C）alogbcblogac（D）logaclogbc

【答案】C

7、（2016年全国II高考）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y像的交点为

x1

与yf(x)图x

(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则(xiyi)（ ）

i1

m

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m 【答案】C

8、（2016年全国III高考）已知a2，b4，c25，则

（A）bac （B）abc （C）bca （D）cab

43

25

13

【答案】A

二、填空题

x33x,xa

1、（2016年北京高考）设函数f(x).

2x,xa

①若a0，则f(x)的最大值为______________； ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________. 【答案】2，(,1).

xm，|x|,

2、（2016年山东高考）已知函数f(x)2 其中m0，若存在实数b，使得关于x的

x2mx4m,xm，

方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_________. 【答案】(3,)

3、（2016年上海高考）已知点(3,9)在函数f(x)1ax的图像上，则f(x)的反函数 f1(x)________【答案】log2(x1)

4、（2016年四川高考）已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，

5

则ff(1)__________.

2

【答案】-2

5、（2016年天津高考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a

满足

f(2

a1

)f(，则a的取值范围是______.

【答案】(,)

1322

0单调递增；0，单调递减 【解析】由fx是偶函数可知，，

a1

f

，ff又f2





5

，ab=ba，则a= ，b= . 2

可得，2

a1

a1

113a 222

6、（2016年浙江高考） 已知a>b>1.若logab+logba=【答案】4 2

三、解答题

1、（2016年上海高考） 已知aR，函数f(x)log2(（1）当a5时，解不等式f(x)0；

（2）若关于x的方程f(x)log2[(a4)x2a5]0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围； （3）设a0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.

【答案】（1）x,0,．（2）1,23,4．（3）,． 【解析】 （1）由log2

1

a). x

12

1423

11

50，得51，

xx

解得x,0,． （2）



14

1

aa4x2a5，a4x2a5x10， x

当a4时，x1，经检验，满足题意． 当a3时，x1x21，经检验，满足题意． 当a3且a4时，x1

1

，x21，x1x2． a4

x1是原方程的解当且仅当

1

a0，即a2； x1

1

a0，即a1． x2

x2是原方程的解当且仅当

于是满足题意的a1,2．

综上，a的取值范围为1,23,4． （3）当0x1x2时，

1111

aa，log2alog2a， x1x2

x1x2

所以fx在0,上单调递减．

函数fx在区间t,t1上的最大值与最小值分别为ft，ft1．

11

ftft1log2alog2a1即at2a1t10，对任意

tt11

t,1成立． 2

因为a0，所以函数yat2a1t1在区间,1上单调递增，t有最小值

12

1

时，y 2

31312a，由a0，得a． 42423

故a的取值范围为,．

23

2016年高考数学试题汇编：函数(二)
2016年高考数学文试题分类汇编(word含答案)：函数

2016年高考数学文试题分类汇编

函数

一、选择题

1、（2016年北京高考）下列函数中，在区间(1,1) 上为减函数的是 （A）y

1

（B）ycosx （C）yln(x1) （D）y2x 1x

【答案】D

2、（2016年山东高考）已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞

111

时，f(x+)=f(x—).则f(6)= 222

（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2 【答案】D

3、（2016年四川高考）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是

(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B

4、（2016年天津高考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递增，若实数a

满足f(2

|a1|

)f(2)，则a的取值范围是（ ）

（B）(,)(,) （C）(,) （D）(,)

（A）(,) 【答案】C

1

21232132232

5、（2016年全国I卷高考）若a>b>0，0<c<1，则 （A）logac<logbc（B）logca<logcb（C）ac<bc（D）ca>cb 【答案】B

6、（2016年全国I卷高考）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

（A）（B）

（C）【答案】D

（D）

7、（2016年全国II卷高考）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）

（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2x （D

）y【答案】D

8、（2016年全国II卷高考）已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图

像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则学科网

x=（ ）

ii1

m

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B

9、（2016年全国III卷高考）已知a2,b3,c25，则

(A) bac (B)abc 【答案】A

10、（2016年浙江高考）已知函数f(x)满足：f(x)x且f(x)2,xR.（ ） A.若f(a)b，则ab B.若f(a)2，则ab C.若f(a)b，则ab D.若f(a)2，则ab 【答案】B

二、填空题

bb

x

432313

(C) bca (D) cab

1、（2016年江苏省高考）函数y

【答案】3,1

2、（2016年江苏省高考）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，

xa,1x0,

59

其中aR. 若f()f() ，则f(5a)的值是. f(x)2

225x,0x1,



【答案】

25

x,xm,

3、（2016年山东高考）已知函数f(x)=其中m>0．若存在实数b，使得关于

2x2mx4m,xm,

x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______． 【答案】3,

4、（2016年上海高考）已知点(3,9)在函数f(x)1ax的图像上，则 f(x)的反函数f1(x)________【答案】log2(x1)学科网

5、（2016年四川高考）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f（x）=4x，则f（5）+f（2）= 。

-

2

【答案】-2

2

x(4a3)x3a,x0

6、（2016年天津高考）已知函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，

loga(x1)1,x0

且关于x的方程|f(x)|2【答案】[,)

x

恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_________. 3

1233

322

7、（2016年浙江高考）设函数f(x)=x+3x+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)，x∈R，则实数

a=_____，b=______． 【答案】－2；1．

三、解答题

1、（2016年上海高考）已知aR，函数f(x)=log2(a).

（1）当 a1时，解不等式f(x)>1；

（2）若关于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素，求a的值；

（3）设a>0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不超过1，

1

x

12

求a的取值范围. 【解析】 （1）由log2

11

11，得12，解得x|0x1．

xx

（2）log2

1

alog2x20有且仅有一解， x

等价于

1

ax21有且仅有一解，等价于ax2x10有且仅有一解． x

当a0时，x1，符合题意； 当a0时，14a0，a综上，a0或

1

． 4

1． 4

（3）当0x1x2时，

1111

aa，log2alog2a， x1x2

x1x2

所以fx在0,上单调递减．

2016年高考数学试题汇编：函数(三)
2016年高考数学理试题分类汇编：函数

2016年高考数学理试题分类汇编

函数

一、选择题

1、（2016年北京高考）已知x，yR，且xy0，则（）

A.

1x1y11

0B.sinxsiny0 C.()()0D.lnxlny0

22xy

【答案】C

3

2、（2016年山东高考）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)x1；当1x1时，f(x)f(x)；

当x

1

2

时，f(x)f(x) .则f(6)=

（A）−2 【答案】D

3、（2016年上海高考）设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)g(x)、

（B）−1

（C）0

（D）2

1212

f(x)h(x)、g(x)h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若f(x)g(x)、f(x)h(x)、g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列

判断正确的是（）

A、①和②均为真命题B、①和②均为假命题

C、①为真命题，②为假命题D、①为假命题，②为真命题【2016年高考数学试题汇编：函数】

【答案】D

x2(4a3)x3a,x0,

4、（2016年天津高考）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且

loga(x1)1,x0

关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（） （A）（0，【答案】C

223123123] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}

333333444

5、（2016年全国I高考））函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

（A）

（B）

（C）

【答案】D 【解析】

（D）

f28e282.820，排除A，f28e282.721，排除B x0时，fx2x2ex

11

fx4xex，当x0,时，fx4e00

44

1

因此fx在0,单调递减，排除C

4

故选D．

0c1，则 6、（2016年全国I高考）若ab1，

cccc

（A）ab（B）abba（C）alogbcblogac（D）logaclogbc

【答案】C

7、（2016年全国II高考）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y像的交点为

x1

与yf(x)图x

(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则(xiyi)（）

i1

m

（A）0 （B）m（C）2m（D）4m 【答案】C

8、（2016年全国III高考）已知a2，b4，c25，则

（A）bac（B）abc（C）bca（D）cab

43

25

13

【答案】A

二、填空题

x33x,xa

1、（2016年北京高考）设函数f(x).

2x,xa

①若a0，则f(x)的最大值为______________； ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________. 【答案】2，(,1).

xm，|x|,

2、（2016年山东高考）已知函数f(x)2其中m0，若存在实数b，使得关于x的方

x2mx4m,xm，

程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_________. 【答案】(3,)

3、（2016年上海高考）已知点(3,9)在函数f(x)1ax的图像上，则f(x)的反函数 f1(x)________【答案】log2(x1)

4、（2016年四川高考）已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，

5

则ff(1)__________.

2

【答案】-2

5、（2016年天津高考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a

满足

f(2

a1

)f(，则a的取值范围是______.

【答案】(,)

1322

0单调递增；0，单调递减 【解析】由fx是偶函数可知，，

a1



f，f

f又f2





5

，ab=ba，则a=，b=. 2

可得，2

1

即a1

113a 222

6、（2016年浙江高考） 已知a>b>1.若logab+logba=【答案】42

三、解答题

1、（2016年上海高考） 已知aR，函数f(x)log2(（1）当a5时，解不等式f(x)0；

（2）若关于x的方程f(x)log2[(a4)x2a5]0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围； （3）设a0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.

【答案】（1）x,0,．（2）1,23,4．（3）,． 【解析】 （1）由log2

1

a). x

12

1423

11

50，得51，

xx

解得x,0,． （2）



14

1

aa4x2a5，a4x2a5x10， x

当a4时，x1，经检验，满足题意． 当a3时，x1x21，经检验，满足题意． 当a3且a4时，x1

1

，x21，x1x2． a4

x1是原方程的解当且仅当

1

a0，即a2； x1

1

a0，即a1． x2

x2是原方程的解当且仅当

于是满足题意的a1,2．

综上，a的取值范围为1,23,4．

（3）当0x1x2时，

1111

，aalog2alog2a，

x1x2

x1x2

所以fx在0,上单调递减．

函数fx在区间t,t1上的最大值与最小值分别为ft，ft1．

11

ftft1log2alog2a1即at2a1t10，对任意

tt1t1

2,1

成立． 因为a0，所以函数yat2

a1t1在区间1

12,1

上单调递增，t

2

时，有最小值

34a13122，由4a20，得a3

． 故a的取值范围为2,3

．

y

2016年高考数学试题汇编：函数(四)
2016年高考数学理试题分类汇编：三角函数

2016年高考数学理试题分类汇编

三角函数

一、选择题

1、（2016年北京高考）将函数ysin(2x



图象上的点P(,t)向左平移s（s0） 个单位长度得到34



点P'，若P'位于函数ysin2x的图象上，则（ ）

A.t

1，s的最小值为

B.t，s的最小值为 2661，s的最小值为

D.ts的最小值为 233C.t

【答案】A

2、（2016年山东高考）函数f（x）=

x+cos x

x –sin x）的最小正周期是

（A）

π

2

（B）π （C）

3π

2

（D）2π

【答案】B

3、（2016年四川高考）为了得到函数ysin(2x)的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点

π3

ππ

个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 33ππ

（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度

66

（A）向左平行移动【答案】D

4、（2016年天津高考）在△ABC

中，若AB，C120 ,则AC= （ ）

（A）1 【答案】A

（B）2

（C）3

（D）4

5、（2016年全国I高考）已知函数f(x)sin(x+)(0yf(x)图像的对称轴，且f(x)在(

πππ

x为f(x)的零点，x为244

π5π

单调，则的最大值为 1836

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】B

6、（2016年全国II高考）若将函数y2sin2x的图像向左平移（ ）



个单位长度，则平移后图象的对称轴为12

kk(kZ) （B）x(kZ) 2626kk(kZ) （D）x(kZ) （C）x

212212

（A）x【答案】B

[

7、（2016年全国III高考）若tan

(A)

3

，则cos22sin2 4

644816 (B) (C) 1 (D) 252525

π1

，BC边上的高等于BC,则cosA= 43

【答案】A

8、（2016年全国III高考）在△ABC中，B=

（A

（B

（C

）- （D

）-

【答案】C

9、（2016年浙江高考）设函数f(x)sin2xbsinxc，则f(x)的最小正周期 A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 【答案】B

10、（2016年全国II高考）若cos(

3

)，则sin2（ ） 45

7117（A） （B） （C） （D）

552525



【答案】D

二、填空题

1、（2016年上海高考）方程3sinx1cos2x在区间0,2上的解为___________ 【答案】

5 66

2、（2016年上海高考）已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________

3、（2016年四川高考）cos2

ππ

–sin2

88

45，cosC，a1，513

4、（2016年全国II高考）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA则b ． 【答案】

21

13

5、（2016年全国III

高考）函数ysinx

x的图像可由函数ysinxx的图像至少向右平

移_____________个 单位长度得到． 【答案】

 3

6、（2016年浙江高考）已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．

1

三、解答题

1、（2016年北京高考） 在ABC【2016年高考数学试题汇编：函数】

中，acb. （1）求B 的大小；

（2

cosAcosC 的最大值. 【解析】⑴

∵a2c2b2

∴a2c2b2

a2c2b2∴cosB

2acπ

∴B

4

⑵∵ABCπ

3

∴ACπ

4

A

cosC

A(A)A 2

2

2

πAAsin(A)

43

∵ACπ

43

∴A(0,π)

4ππ∴A(,π)

44

π

∴sin(A)最大值为1

4

上式最大值为1



2、（2016年山东高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanAtanB)

（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值.

tanAtanB

. cosBcosA

tanAtanB

+【解析】(Ⅰ)由2(tanA+tanB)=得 cosBcosA

2

sinCsinAsinB

，

cosAcosBcosAcosBcosAcosB

所以2sinCsinBsinC，由正弦定理，得a+b=2c．

a2b2c2(ab)22abc2

（Ⅱ）由cosC

2ab2ab

3c23c231

111．

22ab222()2

所以cosC的最小值为

3、（2016年四川高考）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且（I）证明：sinAsinBsinC； （II）若bca

2

2

2

1． 2

cosAcosBsinC

. abc

6

bc，求tanB. 5

【解析】（I）证明：由正弦定理

abc

可知 sinAsinBsinCcosAcosBsinC

1 原式可以化解为

sinAsinBsinC

∵A和B为三角形内角 , ∴sinAsinB0

则，两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosAsinAcosBsinAsinB 由和角公式可知，sinBcosAsinAcosBsinABsinCsinC 原式得证。

6b2c2a23

 （II）由题bcabc,根据余弦定理可知，cosA

52bc5

∵A为为三角形内角，A0,，sinA0

2

2

2

cosA34



则sinA，即sinA45cosAcosBsinCcosB11

1，∴ 由（I）可知

sinAsinBsinCsinBtanB4

∴tanB4

4、（2016年天津高考）已知函数f(x)=4tanxsin(

(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[



2

x)cos(x



3



,]上的单调性

. 44

解：令z2x3,函数y2sinz的单调递增区间是

由



2

2k,



【2016年高考数学试题汇编：函数】

2k,kZ. 2



2

2k2x



3





2

2k,得



12

kx

5

k,kZ. 12

设A

5

,,Bxkxk,kZ，易知AB,.

121244412

所以, 当x



,时,fx 在区间,上单调递增, 在区间，上单调递减. 44124412

2016年高考数学试题汇编：函数(五)
2016年高考数学理试题分类汇编：函数

2016年高考数学理试题分类汇编

函数

一、选择题

1、（2016年北京高考）已知x，yR，且xy0，则（ ）

A.

1111

0 B.sinxsiny0 C.(x(y0 D.lnxlny0

22xy

【答案】C

3

2、（2016年山东高考）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)x1 ；当1x1 时，

f(x)f(x)；当x

（A）−2 【答案】D

111

时，f(xf(x .则f(6)= 222

（C）0

（D）2

（B）−1

3、（2016年上海高考）设f(x)、对于命题：①若f(x)g(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，

f(x)h(x)、g(x)h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若

f(x)g(x)、f(x)h(x)、g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T

为周期的函数，下列判断正确的是（ ）

A、①和②均为真命题 B、①和②均为假命题

C、①为真命题，②为假命题 D、①为假命题，②为真命题

【答案】D

x2(4a3)x3a,x0,

4、（2016年天津高考）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递

loga(x1)1,x0

减，且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） （A）（0，【答案】C

5、（2016年全国I高考））函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

223123123] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}

333333444

（A）

（B

）

（C）

【答案】D

（D

）

【解析】f28e282.820，排除A，f28e282.721，排除B

11

x0时，fx2x2exfx4xex，当x0,时，fx4e00

44

1

因此fx在0,单调递减，排除C 故选D．

4

0c1，则 6、（2016年全国I高考）若ab1，

cccc

（A）ab （B）abba （C）alogbcblogac （D）logaclogbc

【答案】C

7、（2016年全国II高考）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y

m

x1

与yf(x)x

图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则

(xy)（ ）

i

i

i1

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m 【答案】C

8、（2016年全国III高考）已知a2，b4，c25，则

（A）bac （B）abc （C）bca （D）cab 【答案】A 二、填空题

43

25

13

x33x,xa

1、（2016年北京高考）设函数f(x).

2x,xa

①若a0，则f(x)的最大值为______________； ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________. 【答案】2，(,1).

xm，|x|,

2、（2016年山东高考）已知函数f(x)2 其中m0，若存在实数b，使得关

x2mx4m,xm，

于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_________. 【答案】(3,)

3、（2016年上海高考）已知点(3,9)在函数f(x)1ax的图像上，则f(x)的反函数f1(x)___ 【答案】log2(x1)

4、（2016年四川高考）已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，

5

则ff(1)__________.

2

【答案】-2

5、（2016年天津高考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a

满足f(2

a1

)f(，则a的取值范围是______.

【答案】(,)

1322

0单调递增；0，单调递减 【解析】由fx是偶函数可知，，

a1

f

，ff又f2





可得，2

a1

a1

113

a 222

6、（2016年浙江高考） 已知a>b>1.若logab+logba=【答案】4 2

三、解答题

5

，ab=ba，则a= ，b= . 2

1、（2016年上海高考） 已知aR，函数f(x)log2(（1）当a5时，解不等式f(x)0；

1

a). x

（2）若关于x的方程f(x)log2[(a4)x2a5]0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；

（3）设a0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.

【答案】（1）x,0,．（2）1,23,4．（3）,．

12

1423

【解析】（1）由log2（2）

111

50，得51，解得x,0,．

x4x

1

aa4x2a5，a4x2a5x10， x

当a4时，x1，经检验，满足题意． 当a3时，x1x21，经检验，满足题意． 当a3且a4时，x1

1

，x21，x1x2． a4

x1是原方程的解当且仅当

1

a0，即a2； x1

1

a0，即a1． x2

x2是原方程的解当且仅当

于是满足题意的a1,2．

综上，a的取值范围为1,23,4． （3）当0x1x2时，

1111

aa，log2alog2a， x1x2

x1x2

∴fx在0,上单调递减 函数fx在t,t1上的最大值与最小值分别为ft、ft1

111

ftft1log2alog2a1即at2a1t10对任意t,1成立．

tt12

2

因为a0，所以函数yata1t1在区间,1上单调递增，t

1

2

131时y有最小值a， 242

由

3122

a0，得a．故a的取值范围为,． 4233