华杯赛专题：构造与论证和制胜策略

华杯赛专题：构造与论证和制胜策略(一)
华杯赛知识点考点分析

华杯赛知识点考点分析：计算问题

一、计算模块命题特点分析结论

1、常考提取公因数与平方差公式

在第十三届、十四届华杯赛决赛中都考察到了提取公因数进行速算的方法，这里需要注意的是：计算会往分数计算方面侧重，整数计算涉及的可能性很小；平方差公式的灵活运用需要熟练掌握。

2、注意估算与取整为难点

以第十四届华杯赛决赛第9题和第15届华杯赛决赛第8题为例，估算是华杯赛计算中常考的题，对于加减符号交替变化的估算题，一般算式的前几项就决定了整个算式的大概范围。另外需要说明的是，对于初中下方的知识点取整，也属于估算的内容，这点是杯赛的热门，可能是考察的新方向，同学们需注意。

二、计算模块考察难度及考生获奖需要达到的程度

1、考察难度

计算题型常常作为第一题，因此难度不会很大，一般为2★难度左右。

对于估算，难度达到了3★，对于估算常用的方法不太熟悉就常常会因此而失分。

2、考生需要达到的程度

考生复习的时候，若提取公因数方法与平方差公式运用没太大问题，侧重点可以放在估算与取整上。要获奖，简单计算题是绝对不能丢分的。

华杯赛知识点考点分析：计数问题

、一、计数模块命题特点分析结论

1、计数在近两年的出题频率降低

2008年及以前的华杯赛试题中，计数在每张试卷中大概出现两题左右，所占分值比例较高，但从09、10两年试题来看，计数的题目明显减少，数论中的整数拆分题目数量开始增多。但为了避免杯赛出现知识点“大年”和“小年”的状况，也避免今年回归到增加计数类型的题目，我们还是把计数中的华杯常考点需要进行梳理。

2、几何计数为常考点

【第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C第12题】

如图所示，图中有__________不同的三角形。

【2007年第十二届华杯赛六年级初赛10分第9题】如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；„做到第四次后，一共去掉了________个三角形。 去掉的所有三角形的边长之和是________。

分析：关于几何计数，很好的综合考查了学生对几何图形的认知以及分类梳理的能力，而且这类题目出错的机率非常大，所以在处理该类问题的时候，建议学生可以放在考试的最后，所有题目处理完了再来做这类题目，免得花了太多时间最后因为一小点地方而得到了错误答案。几何计数的做题技巧：

（1）、从最单一的小图形出发开始计数

（2）、按照图形组合需要的个数来进行分类

（3）、最容易设置陷阱的地方有两点：直接有格点连接构成，图中没有现成的拼接，斜着放的图形。

3、对于枚举以及简单加乘要求高

【2009年第14届华杯赛初赛】按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5.那么，可供每支球队选择的号码共（）个。

【2008年第13届华杯赛初赛】已知图是一个轴对称图形，若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称图形共有（）个。

分析：其实如果真的考察到这类题目，那么对于考生来说应该是无比幸运的一件事情。华杯赛的试题难度虽然大，但还是有20%-30%的题目属于比较基础的题目。对于小学阶段学生必须要具备思维的逻辑性、条理性和有序性的考察，计数是最合适的考查形式，所以对于基本的枚举法、简单的加乘原理学生必须要掌握的非常好。

二、计数模块考察难度及考生获奖需要达到的程度

1、考察难度：

几何计数，4★；枚举及加乘，1★。

2、考生需要达到的程度：

如果华杯赛想要获奖：

对于枚举以及简单加乘考察的题型必须全对，同时对于基础数论、容斥原理也要非常熟悉。计数往往不会以单独的知识点出题，会和其他模块稍作综合，但往往难度也不会很大，只要细心应该没有问题。

如果华杯赛想要获得一等奖：

一般几何计数以及排列组合能够学的非常好的同学，对于其他专题的学习能力也不会差。同时计数和数论、最值结合的题目往往难度较大，也会涉及到构造等5★题型，因此如果想要确保华杯赛一等奖，需要对计数综合题进行训练。

3、短时间如何备战：

对于基础中等的学生：以创新杯、希望杯、世奥等杯赛中的计数题作为训练就足以应付华杯赛中常规的计数题，只要考试时细心（要注意怎么打草稿哦）就ok了。

对于奥数程度非常好的学生：做计数、数论、构造的综合题型，同时对于几何计数这一块加强训练，平均每天训练1题5★甚至以上难度的题目，增强思维的训练就足够了。同时需要对过程的表达进行适度的训练，避免计数作为解答题出现。

华杯赛知识点考点分析：数论问题

一、数论模块命题特点分析结论

1、问题考察频率较高

十四届第11题，十五届第10题连续两届对于约倍问题进行考察，且全部涉及最大公约数与最小公倍数的性质，可以预测约倍问题是今年备考的一个重点方向。

【第十四届华杯赛决赛第11题】已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270，求b与c的最小公倍数。

【第十五届华杯赛决赛第10题】右图是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连接B或者C。小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道周长是3米。开始时，A连接C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接。若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了____秒钟。

2、质合问题命中度高

十四届第6题，十五届第12题两次涉及质数合数与分解质因数的考点，有较大的预测意义。第一次简单考察分解质因数，第二次考察质数判别法，需要考生认真整理这一部分知识框架。

华杯赛专题：构造与论证和制胜策略(二)
2011年第15届华杯赛初赛试题详解

第15届华杯赛决赛小学组试题

（一） 填空题

（2010年第15届华杯赛决赛第1题）

1. 在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5

的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球。

【分析】考虑极端情况：11121416171819212223173

（2010年第15届华杯赛决赛第2题）

2. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3

元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格。 【解析】有序枚举，枚举与筛选：

2，5，8，11，141，1，1，1，13，6，9，12，15 2，5，8，11，147，7，7，7，7

2，5，8，1，1143，3，，3，3

3

2，5，8，1，1145，5，，5，5

5

5，8，1，11，4 110，1，3，16 19 77，2，5，8，1，114

9，9，9，，99

，1，41，7，20239，12，15，18，21 11

删去重复数字，共19种

（2010年第15届华杯赛决赛第3题）

3. 汽车A从甲站除法开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途

中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90千米，80千米，60千米，那么甲乙两站的路程是千米。 【解析】

设A，B相遇于D，此时C到达E，DE间距是AC20min的相遇路程，

1

906050km，这也是在A、B相遇这段时间内B把C拉开的距离：这段时间为

3

5080602.5h

∴甲、乙间距：90802.5425km （2010年第15届华杯赛决赛第4题）

111111

4. 将,,,,,和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第 位。

234567

223

0.2655，排第5位 840

（2010年第15届华杯赛决赛第5题）

5. 将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后

可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为 ，这些“好数”的最大公约数是 。 【解析】这6个数平均值：

【解析】一个数与其各位数字之和模9同余，显然这个数除以9余6，这是一个同余类，其内部的数从小到大排成一个等差数列，公差为9首项为6，末项为2004，其个数为2004691223．其最大公约数为3．

（2010年第15届华杯赛决赛第6题）

6. 右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成。这个立体图形的表面积为

【解析】上视图：5，侧视图：6，俯视图：5；表面积：565232．

（2010年第15届华杯赛决赛第7题）

7. 数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有

张是卡片“3”。 【解析】设卡片“3”有a张，其余卡片数字和为b．

3ab33，显然b|3，a≤8

从a8，7，经枚举尝试，发现当a3时，b2455554

5张卡片

∴最多有3张卡片“3”．

（2010年第15届华杯赛决赛第8题）

111111

的值化为小数，则小

123456782007200820092010

数点后第1个数字是 。

111111

【解析】令a 

12345678200720082009201011111

b

3456789102009201011115

aba，又a0.4

22123412

∴小数点后第1个数字是4．

（二） 解答题：需要写出简要过程。 8. 若将算式

（2010年第15届华杯赛决赛第9题）

9. 如图有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成

图中的45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。【华杯赛专题：构造与论证和制胜策略】

【解析】不能，对45长方形作黑白染色

黑格数白格数，但若对

①

、

②

、

③

、

、

④

②③⑤这五个图形进行黑白染色，图①黑格白格

⑤

但图④黑白，

∴办不到．

（2010年第15届华杯赛决赛第10题）【华杯赛专题：构造与论证和制胜策略】

10. 长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分成8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？

L

【解析】红记号个数：7个，红点间距：

8L

蓝记号个数：11个，蓝点间距：

12L

黑记号个数：17个，黑点间距：

18

LLL

红蓝线重合点间距：，红蓝重合线条数：413；

8124

LLL

红黑线重合点间距：，红黑重合线条数：211

8182LLL

蓝黑线重合点间距：，蓝黑重合线条数：615

12186

LLLL

红蓝黑线三者重合点间距，点数211

812182

∴共有线：71117315127条 ∴能切成27128段．

12，1872 8，

若分成72段，则至少有1段在上述红、蓝、黑线的某两条之间，再短的就没有了．

L

∴最短的一段长．

72

（2010年第15届华杯赛决赛第11题）

11. 足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0

分，平局两队各得1分。若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？ 【解析】设A、B、C、D、E五队总分分别为a、b、c、d、e，

五队总和Sabcde20e

2

五队总循环赛共C5最多30分，每增加一场平局，总分少1分． 10场，∴

a1000，b431001111 c7310，d83311

至少3场平局：

胜平负A013B112

C211D220E211

至多5场平局：

胜平负A013B040

C211D222E121

∴25≤20e≤275≤e≤7

注意这种论证与构造相结合的解题思路． （2010年第15届华杯赛决赛第12题）

12. 华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成

19101112116316424。请问这两个数1163和16424中有质数吗？ 【解析】1163是质数。详见五年级讲义《质数与合数》经典精讲部分．

（三） 解答题：需要详解。

（2010年第15届华杯赛决赛第13题）

13. 图中六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米。已知

ABC,BCD,CDE,DEF,EFA,FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形

面积之和为670平方厘米，求六边形A1B1C1D1E1F1的面积。 【解析】

由容斥原理：

x3356①+③+⑤+⑦+⑨+⑪2010 x①+③+⑤+⑦+⑨+⑪



①+③=335-②



③+⑤=335-④①+③++⑪

⑤+⑦=335-⑥33566702x670

⑦+⑨=335⑧670⑨+⑪=335-⑩

⑪+①=335⑫



E

（2010年第15届华杯赛决赛第14题）

14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数。

【解析】

设这个两位数为ab

101

kN ba

（1）b|10且a1，b1，2，5 ab|10ab设10abkab

这样的两位数有11，12，15

10时，a1 （2）bŒ10abkN

ab

a|b且b|10a

11

①若b|a：则ba，k1or11

a

k1时，a11（舍去）

k11时，a1与（1）重复．

aba时， ②bŒ

则b是a的倍数， 设bma（m1）

10mkN

ma

10m10

（1）m|10m1Nm|10m1，2，5，10

mm

显然m10，m1

126

m2时，kN

2aa

∴a2或3

当a2时，b224 当a3时，b236

153

m5时，kNa3b5315（舍去）

5aa

综上，合题意的数有11，12，15，24，36．

华杯赛专题：构造与论证和制胜策略(三)
华杯赛

华杯赛是广州小升初杯赛中含金量最高的杯赛，其获奖可与小升初的升学直接挂钩。因此参加“华杯赛”成了广州小升初家长和学生有志于拼搏各大名校的一大途径。

刚考完期末考试的同学们在接下来的一个寒假里又要开始忙碌起来，因为第十八届华杯赛初赛即将在今年的3月18日举行，有志于参加华杯赛的同学们必须利用这个寒假专心备考，以便在3月的时候可以全力冲刺。

很多学生和家长已经开始进入了华杯赛的备考工作，但是相信很多家长对于华杯赛哪个模块是考查重点?考前的不同阶段如何安排复试时间和内容?冲刺备考究竟要准备哪个难度的题目?考场如何确保得分避免无谓失分等等问题存在着很多的疑问。

面对以上的疑问及华杯赛一些常见的问题，小编们请到了华杯赛的资深老师曹争老师来为你解答!同时解析了近几年华杯赛真题，教你如何掌握重点知识点，让你华杯赛冲刺备考尽在掌握!下面我们一起来看看关于华杯赛备考这些常见问题及知识点剖析：

(1)准备华杯赛家长应该做些什么?

1)帮助孩子制定学习计划

孩子的自学能力、自主学习的意识和对时间的规划管理能力还不够，需要家长帮忙做好计划。

2)监督并激励孩子

让孩子每天跟自己说说收获，讲几道题;督促孩子不会解答的题目及时跟老师答疑;孩子取得进步的时候带孩子享受一顿大餐，不仅能增加亲子关系对孩子的学习很有帮助。

3)收集资料和咨讯

及时和教师沟通，上网收集最新的咨询是对孩子最大的帮助;此外，为孩子收集一些经验分享、试题、书籍等资料，带孩子参加讲座、课程都是家长非常有必要去做的事。

(2)现在开始如何做好复习计划?

1)知己知彼

在总复习前，和孩子老师一起聊一聊华杯赛的考点，再花半天时间整理手头资料(各种讲义、参考书、练习题)，并且通过整理明确哪些知识模块相对来说自己比较薄弱;查漏补缺是这一阶段的重点。也可以做几套真题或者模拟练习题来了解自己的薄弱项，找到自己的失分点，失分点也就是自己可以突破的地方。用好错题本可以加速自己的进步!

2)确定自己要做的所有事情所需要的时间;

距离华杯赛决赛还有100天左右，时间紧迫，好好计算一下自己能够利用的时间并且安排好必须做的事情，比如做模拟练习，复习专题，整理错题及讲义等，适当权衡取舍，做最要紧的事。

3)计划一下从今天开始到4月15日前的复习安排;

定计划最主要是要可行性高，千万不要眼高手低，一下子非常热血地给自己安排太多的任务。每天做5题100天就是500道，足够复习完所有知识点!细水长流，在杯赛前一定能够取得很大的进步。切记复习的时候不仅要注意知识点的练习，模拟综合的演练也非常重要。

4)等到决赛前最后几天，我们重点做两件事：

一是翻看自己的错题本，重新整理以下错题;

二是适当的再做一套卷子用于寻找考试最佳状态(不要做太难的题)!

(3)复习要点有哪些?

1)加强数论、几何、组合问题的学习。

数论、几何、组合问题三个专题的考察比重都接近30%，时间紧迫复习要抓重点，好钢用在刀刃上，以上几个专题是重中之重切忌要重视，其中数论中的整除、位值原理、不定方程，几何中的平面直线型模型，组合问题中的图形计数、最值与构造等是考察的绝对重点;

2)加强代数与方程思想的培养。

算术思维是小学数学核心，但这并不等于否定代数思想。国内现有其它教学体系大多将两者割裂开来，以偏盖全。多年的经验说明，若想在杯赛，特别是高端杯赛中得高分，养成系统严密的代数思维习惯至关重要，要将算术思维的精巧构造与代数思维的逻辑清晰结合起来。

(4)除了知识点的掌握，参加杯赛还要重视那些方面的准备?

1)强化数学思想的训练。

“华杯赛”的题目来源于我们体系中的基本题目但又高于基本题目，有花样繁多的变形，但其本质是不变的，作为学生，解题能力的强弱取决于能否在考场上及时精准的把遇到的复杂题目转化为学过的基本数学模型。此外，华杯赛的题目一般都是把一些经典的数学背景经过综合改造而成适合小学生思维模式的较为开放的题目。因此要求学生不仅对知识体系更扎实的掌握，探索解决问题的常用方法和思想也相当重要，比如从简单情况思考、从反面情况思考、从特殊情况思考、分类有序思考、图表与数形结合方法等。

2)培养好的解答习惯。

华杯赛与其它杯赛不同，强调数学逻辑思维的考察，题目具有很强的学术性与严谨性。因此，考生务必做到概念清楚，基础问题考不倒;习惯优秀，解答题过程不失分。良好的审题、分析、答题习惯表现如下：能找到题目的关键词“题眼”;能读懂题意，分析清楚题目出现的数量关系、逻辑关系;能通过自己的语言或者数学符号清晰、完整并且简洁的解答问题。

(5)比较好的参考资料有哪些?

1)历年真题

这个不用多说，最能体现华杯赛命题难度和方向的珍贵资料。建议学生成套按考试时间把近五年真题完成，并且把所有涉及的知识点和方法完全掌握。

2)华杯赛赛前教程

组委会官方出版的材料。部分题目难度等同于总决赛，所以在使用的时候，不用花太多时间在最难的题目上。每年决赛中都会有一两道题《教程》中的题目通过改编或者更改数据结构出现在试卷上。

3)数学思维训练汇编

华杯赛组委会推荐参考书。目前最新、最全的汇编题集。书中题目逻辑关系更清楚，更贴近杯赛命题，解析非常清楚。

(6)准备华杯赛的孩子能得到哪些收获?

除了知识上的收获以外，如果经过准备而最终获奖，会是对孩子非常大的激励，让孩子真正体验到竞赛数学的无穷魅力和带来的成就感。如果没能获奖，在准备的过程中，克服困难，坚持不懈的经历，调整心态，面对失败的勇气是孩子在未来学习中能够受益良久的。此外，华杯赛真题是很多小升初考试题目的主要来源，冲刺杯赛对准备小升初益处不言而喻。 老师，根据往届的考试题型，能帮分析下，重点需要注意哪些，哪些容易失分的地方? 官方有月月练和很多套的模拟练习，您可以让孩子做做看。容易失分的地方在专题上来看主要是组合问题中的计数、构造与论证、最值等问题，数论也是难点所在，经常以压轴题出现。

(7)在华杯赛笔试答题时，需要注意些什么吗?

以前有不少实力卓越的孩子在最终答题时没能够得到一等奖，最主要的原因就在不会答题!

建议注意以下几点：

1、填空题一定要注意单位，分清题目问的是分钟还是小时，条件给的是米还是千米;

2、草稿纸一定要写明题号，像答题一样写草稿纸，尽量避免从草稿到答题过程中的出

错，也更方便检查;

3、解答题一定要尽可能的清楚，突出关键步骤，简答题也要写清关键步骤，必要的文字叙述;

4、不要列综合算式，分部的去计算，过程分的细一些增加自己得分的机会。

(9)老师，能根据近几年“华杯赛”命题特点及考察重点，给一个复习的建议吗?

复习建议之前已经回答过，具体的建议还要更了解您孩子的老师能给您。不过复习时注重思维习惯的培养是很重要的。

再补充两条

1)加强数论、几何、组合问题的学习。

数论、几何、组合问题三个专题的考察比重都接近30%，时间紧迫复习要抓重点，好钢用在刀刃上，以上几个专题是重中之重切忌要重视，其中数论中的整除、位值原理、不定方程，几何中的平面直线型模型，组合问题中的图形计数、最值与构造等是考察的绝对重点;

2)加强代数与方程思想的培养。

算术思维是小学数学核心，但这并不等于否定代数思想。国内现有其它教学体系大多将两者割裂开来，以偏盖全。多年的经验说明，若想在杯赛，特别是高端杯赛中得高分，养成系统严密的代数思维习惯至关重要，要将算术思维的精巧构造与代数思维的逻辑清晰结合起来。

(10)华杯赛的题型有哪些?

近5年华杯赛初赛高年级组试题题型及分值分值，初赛包括选择题共6道题每题10分共60分填空题共4道题每题10分共40分(个别城市会有不同)

决赛包括

1)填空题共8道80分，难度较大的题目一般有1-2道，直接写答案，对于学生的基础知识水平要求很高;

2)简答题共4道40分，皆为中等难度或有1道难题。要求写出简要过程，注重考查学生的核心知识掌握程度;

3)详答题共2道30分，难度相对很大，有很强的区分度，要求学生平时学习时注重拔高题和高难题的训练。

(11)老师，孩子的余数问题一直不太好，请问题该如何训练?

余数问题是数论的半壁江山，想学好余数问题建议注意以下几点：

1、熟练掌握余数部分的常见题型，如：余数周期问题、同余问题、剩余定理、带余除法中的数量关系等，可以做一下《数学思维训练汇编》这本书上的余数问题;

2、余数问题主要涉及到的两个思想：

转化：把余数问题想办法通过一些方法转化为整除中的约倍问题;

从简单情况思考：体现在余数周期和逐步满足法，从简单的数字出发去探索余数中的规律，解决问题。

一、图书书目

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华罗庚金杯少年数学辅导教程.初一年级

第21届华罗庚金杯少年数学邀请赛初一教程

华罗庚金杯少年数学邀请赛1～18届试题和解答汇编（初一册）

填空题

将长度为13厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米.如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，6和6，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的截法有（ ）种.

【答案】5

【解答】

因为将长度为13厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米的情况，分别是： 1，1，11； 1，2，10； 1，3，9； 1，4，8；

1，5，7； 1，6，6； 2，2，9； 2，3，8；

2，4，7； 2，5，6； 3，3，7； 3，4，6；

3，5，5； 4，4，5.

其中能构成三角形的截法是：

1，6，6； 2，5，6；

3，4，6； 3，5，5，

4，4，5；

5种情况.

华杯赛专题：构造与论证和制胜策略(四)
华杯赛赛前专项练习题

1. 汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90km, 80km, 60km，那么甲乙两站的路程是 km。

2. 小兔和小龟从A地到森林游乐园，小兔上午9点出发，1分钟向前跳40米，每跳3分钟就原地玩耍2分钟 ；小龟上午6点40分出发，1分钟爬行只有10米，但途中从不休息和玩耍。已知小龟比小兔早到森林游乐园15秒，那么A地到森林游乐园有 米。

3. 在静水中，甲船的速度是乙船速度的两倍。甲乙二船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比为3：1，如果甲乙分别从B、A同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比为 。

4. 悉尼与北京的时差是3小时，例如：悉尼时间12：00时，北京时间是9:00。某日，当悉尼时间9：15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马于北京时间19：33分到达北京。小马和小杨路途上所用时间之比为7：6，那么小杨到达悉尼时，当地时间是 。

5. 某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分。已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学占全班同学的比例至少是多少？

6. 甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？

7. 如图，正方形跑道ABCD．甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米．若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方．从此时刻算起，又经过21秒，甲乙丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置．请计算出正方形的周长的所有可能值．

对策 操作 游戏 构造

1. 右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

2. 足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分。若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？

3. 15张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6张中，一定有2张，它们上面有共同的汉字。问：这15张卡片上最多有多少个不同的汉字？

4. 有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分。现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（ ）分。

5. 小牛对小猴说：“对一个自然数n进行系列变换：当n是奇数时，则加上2007；当n是偶数时，则除以2．现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008．”小猴说：“你骗人！不可能出现2008．”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？

6. 两人轮流从2开始做加法，每次加上已有数的约数（不能加自身），并擦掉已有数。谁先写出超过20112011的数谁输。

7. 两人轮流从1开始做乘法，每次乘2到9中的某数。谁先得到超过1000的数谁赢。

8. 两堆石子都是11颗，两人轮流取石子。每次可从任意某堆取任意2块，另一堆取1块。无石子可取算输。

9. 有三种阿米巴虫各一条放在试管中。任意两种不同类的能合体变成一条两外一种阿米巴虫。一开始三种类型各有a20、b21、c22条，最后剩1条什么类型？

10. 一堆石子1001颗，每次先从某一堆（不止一颗石子）扔掉一个，然后把某一堆分成分为两堆。若干次之后能否每堆都是三个？

11. 积木盒中的积木有1×4的和2×2的铺满了一层。如果丢了一块1×4的，捡到一块2×2的还能放进盒子里边吗？

12. 在一个1010的方块中，九个11方格被感染了。在单位时间后，只要是某个未感染的格子与两个已感染的格子相邻，这个格子也被感染。问感染是否能传播到每个格子？

13. 五边形的某三个相邻顶点上各放一枚棋子，每次操作将某个棋子移动到对角位置。若干次之后，能否其中一个还在原位置，另外两个位置互换？

14. 试说明多面体必有某个面边数小于6.

15. 圆形游泳池中心有只老鼠，游泳池边上有只猫。猫的速度是老鼠游泳速度的4倍，老鼠是否有办法游上岸不被猫抓到？【华杯赛专题：构造与论证和制胜策略】

16. 一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆车载重1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明。

17. 如图，两只蜘蛛同处在一个正方形的顶点A，而一只爬虫处在A的体对顶点G。假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预测爬虫的爬行方向。试给出一个两蜘蛛必定捉住爬虫的方案。

18. 无限大的正方形格点平面上，有只跳蚤在某格点上。每次这只跳蚤跳跃距离都是5，并且只能落在格点上。这只跳蚤能否跳跃2012次之后到达与出发点相邻的格点上？

数论

8. 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？

9. 王老师给小李、小杨、小刘各一张卡片，上面分别写着19□，81□，67□，小李、小杨和小刘分别在自己卡片上的□中填入一个数码得到一个三位数交给王老师。王老师发现，无论如何排列，这三个三位数形成的九位数除以13的余数都是11，那么他们三人在□中填入的三个数字之和为多少？

华杯赛专题：构造与论证和制胜策略(五)
“华杯赛”决赛高分备考方法

“华杯赛”决赛高分备考方法

华杯赛作为国内中小学数学奥林匹克的权威赛事，是杭州优秀中小学生必参与重点中学必关注小升初必参考的重大赛事之一。华杯赛试题知识点覆盖全，非常经典。试题不完全是难，而是巧妙，能帮助孩子开阔思路，对中学的理科学习也有极大帮助。

在此从15届（2010年）华杯赛的决赛试题入手，着力就华杯赛命题特点与大家进行探讨并介绍一下备考华杯赛的策略。

华杯赛题型及试题特点解析

试卷难度分为三类：基础题、中档题和高档题，其中基础题和中档题的比重超过三分之二，只要将基础和中档题全部做对，就可以在华杯赛中得奖！

一．华杯赛命题浅析

按难度分类：

其中基础题和中档题的比重超过三分之二，只要将基础和中档题全部做对，就可以在华杯赛中得奖！

华杯赛的试题近年来主要有一下几个特点：

A.强调数学题概念清晰、过程清楚和答案明确三个要求并重，强调逻辑分析与解答的严密性。这一点在笔者参与阅卷过程中体会非常深刻。以第一个解答题为例，只写得数仅得5分；把图形处理为正六边形没有过程分。

B.考点上侧重数论、几何和组合问题（构造、论证、染色、计数）——即传统意义上的杂题。但是由于种种原因，华杯赛对于几何模块的考察难度还没有其他模块那么大，所以大家可以根据个人情况进行备考。

C.解答题中特别重视对代数思维的考察。这一点在数论模块体现非常明显，

笔者归纳了数论的三大解题法宝：

一是遇到具体数字未知的情况以位值原理的形式展现出来并对应做分类讨论；

二是位值原理展开和分解质因数是数论问题的两大救命稻草；

三是冲刺高端数论题目需要牢牢掌握公式变形。

其中第三点正是应对华杯赛这样的题目的良方。想在华杯赛中取得好成绩，培养缜密的代数思维至关重要，要将算术的精妙技巧与代数的清晰逻辑结合起来。

整体而言，学生想要在华杯赛中取得不俗的成绩，需要重点对数论和组合（构造论证、染色、计数）进行专题击破，并且在平时要非常注重对代数思维的培养，在具体解答过程中一定要注意步骤清晰和答案明确。

如何准备“华杯赛”考试？

首先，建议家长帮助孩子制定一个针对华杯赛的学习规划，包括专门攻克自己的弱项专题，专门研究华杯赛真题等等。当然，毕竟杯赛考察的是孩子的综合实力。所以也不要为了某一种杯赛而耽误正常的学习计划，否则将会得不偿失。

其次，所有的杯赛都有一定的规律性。所以杯赛前一小段时间有必要针对每个杯赛进行一定的相关练习。这里所说的相关练习指的就是杯赛的真题练习与分析。 这里可以考虑给孩子准备一份华杯赛赛前教程，这是华杯赛的官方指导手册，开明出版社，家长们可以去书店看一看。一般会在每年1月出版当年的，可以先买15 届的进行相关准备。

第三，考生借助老师和家长的力量进行历届华杯赛试题分析，通过深入分析看一下有没有规律以及高频考点，比如举个最简单的例子，在13、14和15届华杯赛中均出现了分数相关的缩放类估算问题。因此，在复习中，考生要对这样的考点非常熟悉才行。

上面简要地对华杯赛的相关信息进行了介绍，希望能够给各位家长和考生提供参考！

应该如何备考2014年的华杯赛?

2014年1月～2014年2月：在一月份的时候还是要多做一些综合练习，例如华杯模拟题、真题，或者是一些其他比赛的题目，检查自己薄弱的知识点，查漏补缺，整理公式定理，重做错题本上的题目;到了2月份的时应停止海量的练习，严格模拟近几年的真题。

2014年3月：这时候应该看看公式及定理，加深自己的印象。同时，要扔掉自己的错题本，不要再纠结上面的题目了。

最后，根据近几年“华杯赛”命题特点及考察重点，提出以下复习建议：

1、夯实基础，与其它杯赛不同，“华杯赛”强调数学体系本身的考察，题目具有很强的学术性与严谨性，因此考生务必做到概念清楚，基础问题考不倒。

2、加强数学、几何、组合问题的学习。通过系统学习奥数体系，可以很好的做到这一点;

3、加强代数思想的培养。小学思维的主题是算术思维，但这并不等于否定代数思想。国内现有其它教学体系大多将两者割裂开来，以偏盖全。我们认为，若想 在杯赛，特别是高端杯赛中得高分，养成系统严密的代数思维习惯至关重要，要将算术思维的精巧构造与代数思维的逻辑清晰结合起来。

4、强化数学思想特别是对应与转化思想的训练。“华杯赛”的题目来源于我们体系中的基本题目但又高于基本题目，有花样繁多的变形，但其本质是不变的，作为学生，解题能力的强弱取决于能否在考场上及时精准的把遇到的复杂题目转化为学过的基本数学模型。

第五站：华杯赛模块分析

从华杯赛出题规律上看，在对知识的考察上对学生要求掌握的知识点的面比较多，和其它杯赛可能会略有差别，更加侧重对代数思维、分类思想、构造能力的考察。

从最近5年的试卷来看，在知识的考察上，难点主要集中在数论、几何、组合知识等模块。

几何、组合和数论这三个知识模块是华杯赛的难点所在，也是同学们掌握得最不理想的，是后期备战时候需要重点攻破的！

从上面的对比可以看出，几何、数论、组合问题是得分率最低的模块，也是获奖者的重要砝码。

（1）几何多以华杯赛压轴题和解答题的形式出现，近三年主要注重对平面几何直线型面积和立体几何中表面积的考察，华杯赛中的几何题目由于其具有很大的灵活性，考察的知识点综合性很强，所以是很多学生的难点所在，丢分率很高。

（2）数论问题与几何一样多以华杯赛压轴题和解答题的形式出现，近三年主要考察位值原理、分解质因数以及建立在此基础上的整除问题和约倍问题；带余除法以及建立在此基础上的同余问题、余数性质等。压轴题多以数字谜为主要形式，考查学生的位值原理、分解质因数。整除特性等知识。

（3）组合问题在华杯赛中所占的比重达到了20%左右，一般以中高难度的题目出现。组合问题主要考查构造与论证、最值问题等。组合问题对学生的思维能力和解决综合问题的能力要求很高，丢分率很高，需要学生对组合问题作深入的练习。

下面就数论、几何和组合三大模块做一简要说明。

数论作为华杯赛的绝对重点，考察知识点以最大公约数，最小公倍数，建立在“分解质因数和位值原理”两大工具基础上的整除综合为主；以第14、15届为例，最后压轴题均为此种类型的试题，综合程度很高，需要学生对数论具备一定的沉淀和积累。

第六站：华杯赛备考建议

备考必做一：奥数知识点的查漏补缺——冲击二三等奖不得不做！ 华杯赛主要考查小学奥数中的核心知识模块，例如:计算、数论、几何、计数、行程、组合等。但是每年的华杯赛对于各知识模块中的细分知识点的侧重都有所变 化，这就要求我们对各个知识模块的完整体系和各知识点对应的题型以及解题技巧有很深入的研究。在各知识模块的集中复习工作中，一定要遵循由易到难、循序渐进的原则。

备考必做二：真题全接触——冲击二三等奖不得不做！

在做题过程中要注意以下三点：规定完成试卷的时间，建议和考试时间相同或者略少；做的时候切忌边做题边对答案；做错的题目最好拿一个错题本记录下来，认真分析错误原因，查漏补缺，总结关键解题思路。

通过做历届的杯赛试题需要达到两个目的：

第一、检测和评价自己目前的奥数功底；

第二、查漏补缺，为备战的第二步打下铺垫。

备考必做三：突破难点，冲刺一等奖

决赛中难题是大家冲刺一等奖的关键，为此我们为大家准备了决赛三大专题的难点分析及例题讲解。

（一）突破数论模块

（二）战胜几何难关

（三）拿下组合问题

（四）做全真模拟题和官方发布的权威资料

要冲刺华杯赛的一等奖，必须要做的一件事就是赛前冲刺，这一阶段主要是通过做全真模拟题和官方发布的赛事资料，在短时间内全面提升学生的应试水平和综合能力。