圆的极坐标方程。,习题讲解

圆的极坐标方程。,习题讲解(一)
直线和圆的极坐标方程练习题_

直线和圆的极坐标方程

1在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程。

1）圆心在A（1

4

），半径为1的圆。

2）圆心在A（3,

2

）,半径为3的圆。

2求满足下列条件的极坐标方程： 1)求经过点A(a,0),(a>0)且和极轴垂直的直线l的极坐标方程。

2）求圆心是点C(0,0),，半径是a的圆的极坐标方程，并在极坐标系中画出该圆的图形；

3.求圆心是点C(a,0),，半径是a的圆的极坐标方程，并在极坐标系中画出该圆的图形；

4.求圆心是点C(a,),，半径是a的圆的极坐标方程，并在极坐标系中画出该圆的图形

5.化成直角坐标方程，并画出下列极坐标方程的图形 （1）



4

(0)

（2）2

（3）2sin(

4

)

6将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指明是什么曲线： （1）23cos4sin （2）2cos0

（3）cos2cos2

3

（4）

54(R)

（5）(2cos5sin)40

（6） sin(

3)4

7.将直角坐标方程化为极坐标方程： （1）x2y21 （2）y3x （3）xcosysinp0 8如何表示过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？

过点A(a,0)(a0)，平行于极轴的直线l的极坐标方程呢？

9已知点P的极坐标为(2,)，直线l过点P且与极轴所成的角为3

，求直线l的极坐标方程。

10求适合下列条件的直线或圆的极坐

标方程：

1）过点A（3，

6）且垂直于极轴的直

线；

（2）垂直于极轴且极点到它的距离是5的直线；

（3）过极点，倾斜角是

12

的直线

4）在极坐标系中，过点A(2,

2

)且与极

轴平行的直线l的极坐标方程是

5）在极坐标系中，过点A(2,3

4

)且垂直

于极轴的直线l的极坐标方程是

11

判断直线sin(4)2

与圆

2cos4sin的位置关系。

12在极坐标系中，过圆4cos的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 。

13已知直线的极坐标方程

为

sin(



42

，求点A(2,74)到

这条直线的距离。

圆的极坐标方程。,习题讲解(二)
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解

知识点回顾

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即

xf(t)



yf(t)

并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：

1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：

xx0tcosyy0tsin

（t为参数）

其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论．

1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝tBtA＝○

(tBtA)24tAtB．

2．线段AB的中点所对应的参数值等于○

2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

tAtB

． 2

xx0rcosyy0rsin

（为参数）

3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：

xacosxbcos

（为参数） （或

）

ybsinyasin

中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程

xx0acos,

(为参数）

yy0bsin.

4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：

xasecxbtg

（为参数） （或

）

ybtgyasec

5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

x2pt2

（t为参数，p＞0）

y2pt

直线的参数方程和参数的几何意义

0过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是  （t为参数）． yytsin0

xxtcos

（三）极坐标系

1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长

度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。【圆的极坐标方程。,习题讲解】

图1

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋2k)或（，＋

(2k1)），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则

除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜2或<0，＜≤等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，

点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．

3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0 ⑵⑷

aa

⑶ coscos

aaa

⑸ ⑹ sinsincos()





a

cos



acos【圆的极坐标方程。,习题讲解】

图4

图5



a



sin

asin



acos()

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a0)： ⑴a ⑵2acos ⑶2acos ⑷2asin ⑸ 2asin ⑹2acos()

图1

a

图2



2acos

2acos

图4

2asin

图5

2a

sin

图6

2acos()

5、极坐标与直角坐标互化公式：

 x

（直极互化 图）

[基础训练A组]

一、选择题

1．若直线的参数方程为

A．

x12t

(t为参数)，则直线的斜率为（ ）

y23t

2233 B． C． D． 3322

xsin2

2．下列在曲线(为参数)上的点是（ ）

ycossin

A

．(, B．(

1231

,) C

． D

．(1 42

2

x2sin

(为参数)化为普通方程为（ ） 3．将参数方程2

ysin

A．yx2 B．yx2 C．yx2(2x3) D．yx2(0y1) 4．化极坐标方程cos0为直角坐标方程为（ ）

2

A．x2y20或y1 B．x1 C．x2y20或x1 D．y1 5．点M

的直角坐标是(1，则点M的极坐标为（ ）

A．(2,



2

) B．(2,) C．(2,) D．(2,2k),(kZ)

3333

6．极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（ ）

A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

二、填空题 1．直线

x34t

(t为参数)的斜率为______________________。

y45t

tt

xee

2．参数方程(t为参数)的普通方程为__________________。 tt【圆的极坐标方程。,习题讲解】

y2(ee)

3．已知直线l1:

x13t

(t为参数)与直线l2:2x4y5相交于点B，又点A(1,2)，

y24t

则AB_______________。

1x2t2

(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为______________。 4．直线

y11t2

5．直线xcosysin0的极坐标方程为____________________。 三、解答题

1．已知点P(x,y)是圆xy2y上的动点， （1）求2xy的取值范围；

（2）若xya0恒成立，求实数a的取值范围。

2

2

x1t

(t为参数

)和直线l2:xy0的交点P的坐标，及点P 2．

求直线l1:

y5

圆的极坐标方程。,习题讲解(三)
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题

1．已知曲线C：

+

=1，直线l：

（t为参数）

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：

，曲线C的参数方程为：

（α为参数）．

（I）写出直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

3．已知曲线C1：

（t为参数），C2：

（θ为参数）．

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=最小值．

，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：

（t为参数）距离的

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为

，直线l的参数方程为

上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标；

（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C

5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为坐标系，直线的极坐标方程为

为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极

．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为 （t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．

（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；

（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．

7．选修4﹣4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为线C的极坐标方程为

．

，曲

（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程； （Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：

（t为参数）距离的最小值．

8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+Q，求线段PQ的长．

）=3

，射线OM：θ=

与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为

（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐

圆的极坐标方程。,习题讲解(四)
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)

极坐标与参数方程测试题

一、选择题

1.直线y2x1的参数方程是（ ）

xt2x2t1A、（t为参数） B、（t为参数）

2

y4t1y2t1

xsinxt1

C、 （t为参数） D、（t为参数） 

y2t1y2sin1

2.已知实数x,y满足x3cosx20，8y3cos2y20，则x2y（ ）

A．0

B．1

C．-2

D．8



3.已知M5,，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )

3

A、5,





 3

B、5,



4 3

C、5,



2

 3

D、5,



5 3

4.极坐标系中，下列各点与点P（ρ，θ）（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线

对称的是（ ）

A．（-ρ，θ）B．（-ρ，-θ）C．（ρ，2π-θ） D．（ρ，2π+θ）

5.点P1,，则它的极坐标是

A、2,



( )







 3

B、2,



43

 

C、2,





 3

D、2,



4 3

6.直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲

x3cos线C1: （为参数）和曲线C2:1上，则AB的最小值为( ).

ysin

A.1 B.2 C.3 D.4

1

xt

7.参数方程为t(t为参数)表示的曲线是（ ）

y2

A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线

x12t

8.若直线t为参数与直线4xky1垂直，则常数k（ ） 

y23t

A.-6 B.

11

C.6 D.

66

9.极坐标方程4cos化为直角坐标方程是( )

A．(x2)2y24 B.x2y24 C.x2(y2)24 D.(x1)2(y1)24

10.柱坐标（2，

2

，1）对应的点的直角坐标是（ ）. 3

A.(1,,1) B.(1,,1) C.(,1,,1) D.(3,1,1)

11.已知二面角l的平面角为，P为空间一点，作PA，PB，A，B为垂

足，且PA4，PB5，设点A、B到二面角当变化时，点(x,y)的轨迹是下列图形中的

l的棱l的距离为别为x,y．则

3

3

33

（A） （B） （C） （D）

1x212.

4sin(x

)与曲线

4y1

2

二、填空题

2的位置关系是（ ）

。

2

A、 相交过圆心 B、相交 C、相切 D、相离

13.在极坐标, 02中，曲线2sin与cos1的交点的极坐标为

____________.

14.在极坐标系中，圆2上的点到直线cos3sin6的距离的最小值

是 .



x=1+cosθ

15.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C：(θ为参数)的圆心到直线

y=sinθ

l

：

x=3t

(t为参数)的距离为.

y=13t

16. A：（极坐标参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，已

知曲线

C1、C2的极坐标方程分别为0,



x2cos

，曲线C3的参数方程为（为参数，3y2sin

且



，则曲线C1、C2、C3所围成的封闭图形的面积是,）

22

三、解答题（题型注释）

17.（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

x

（为参数）

ysin ．

（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正 半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，



），判断点P与直线l的位置关系； 2

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

x5cos

18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为(为参数）

y3sin

（Ⅰ）求过椭圆的右焦点，且与直线

x42t

(t为参数）平行的直线l的普通方程。

y3t

（Ⅱ）求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值。

19.坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重

3x1t24cos．合．直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为： 

y1t2

（1）写出曲线C的直角坐标方程，并指明C是什么曲线； （2）设直线l与曲线C相交于P,Q两点，求PQ的值．

xt

20.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是(t为参数)，在极坐标系（与直

y2t1

角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程是2cos

（I）求圆C的直角坐标方程； （II）求圆心C到直线l的距离。

21.（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M

x1,

C

的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．

4y,

（1）求直线OM的直角坐标方程；

（2）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．

22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点P的极坐标

2x2y21所对应的切线经过伸缩变为，直线l过点P，且倾斜角为，方程

336164

1

xx3换后的图形为曲线C

1yy2

（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程 （Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A,B，求PAPB的值。

23.（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在直角坐标系中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C:sin22acos(a0)，已知过点P(2,4)的直线l的参数方程为：

2x2t， 

y42t2

直线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到引用源。分别交于错误！未找到引用源。． （Ⅰ）写出曲线错误！未找到引用源。和直线错误！未找到引用源。的普通方程； （Ⅱ）若错误！未找到引用源。成等比数列,求错误！未找到引用源。的值． 24.（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在直接坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为

x

(为参数） 

ysin

（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以



x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为(4,)，判断点P与直线l的位置关系；

2

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

25.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

2

tx2(t是参数)，已知直线l的参数方程是圆C的极坐标方程为2cos()．

42

yt422

（1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

x2cos

26. 已知曲线C1的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正

y3sin

半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程式2．正方形ABCD的顶点都在C2上，

且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2,．

2

（I）求点A,B,C,D的直角坐标；

（II）设p为C1上任意一点，求PAPBPCPD的取值范围．

2

2

2

2

试卷答案

1.C2.A3.A4.C5.C6.A7.D8.A9.A10.A11.D12.D

23

 13.2, 14.1 15.2

416.3

P(4,)

2化为直角坐标，得P（0，4）17.解：（I）把极坐标系下的点。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程xy40， 所以点P在直线l上，



圆的极坐标方程。,习题讲解(五)
1极坐标知识讲解及典型例题

极坐标

一、直角坐标系、平面上的伸缩变换

1、直角坐标系

（1）一维直角坐标系

（2）平面直角坐标系

（3

注意：我们习2以正弦曲线为例，ysinx曲线上所有点的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的bX=ax ，其中a，b>0，该式是平面上伸缩变换的坐标表达式。 Y=by

二、极坐标系

1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一

条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

练习

A（1也可以

2 极坐标（，）直角坐标（x，y） cos

y=sin

注意：若已知直角坐标，在确定极坐标时，极角的确定光知道极角的正切值是确

定不出来的，还必须知道该点对应在直角坐标的象限。

练习1：将下列直角坐标化为极坐标

A（1，-1） B（1，π）

练习2：将下列极坐标化为直角坐标

A（2，2） B（1，2） 3

练习3：分别求下列条件中AB中点的极坐标

（1）（4，22）（6，-）；（2）（4，）（6，）

3333

1,)满足（12（1

注意：也可以先写出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程。 练习：写出满足下列条件的圆的极坐标方程

（1） 圆心为（3,0），半径为1； （2）圆心为（0，0），半径为1；

（3）圆心为（-2,0），半径为1； （4）圆心为（0,2），半径为1；

（5）圆心为（0，-2），半径为1. 3、直线的极坐标方程

⑴

⑶

aacos

4、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）