2016?长沙二模数学

2016?长沙二模数学(一)
2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题

1．已知复数z=，则对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（ ） A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或

3．双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（ ）

A． B． C．1 D．

4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（ A．9 B．10 C．8 D．6

5．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．函数f（x）=log2，等比数列{an}中，a2•a5•a8=8，f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=（ A．﹣9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣10

7．若sin（+α）=，则cos（﹣2α）=（ ）

A． B． C． D．﹣

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则∫f（x）dx的值为（ ）

） ）

A．2﹣

9．设 B． C．2 D．1 的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为（ ）

A．﹣150 B．150 C．300 D．﹣300

10．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ）

A． B． C． D．2

与向量的11．已知向量，是夹角为60°的单位向量．当实数λ≤﹣1时，向量

夹角范围是（ ）

A．[0°，60°） B．[60°，120°） C．[120°，180°） D．[60°，180°）

12．如图所示，直线y=m与抛物线y2=8x交与点A，与圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是（ ）

A．（6，8） B．（4，6） C．（8，12） D．（8，10）

二、填空题

13．设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9=72，则a2+a4+a9=

14．抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过的概率为 ．

15．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为 cm．

16．已知R上的奇函数f（x），f（x+2）=f（x），x∈[0，1]时f（x）=1﹣|2x﹣1|，定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x）），n≥2，n∈N，则f3（x）=在[﹣1，3]内所有不等实根的和为

三、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的最大值． ．

18．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．

（1）假设某顾客一次性花15元购买三张彩票，求其至少有两张彩票中奖的概率； （2）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．

19．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；

（2）当三棱锥C﹣ADE的体积最大时，求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．

20．已知F1（﹣，0），F2（，0），点M是圆x2+y2=4上的动点，动点G满足=，过点M作直线l⊥F2G并交直线F1G于点N．

（1）求点N的轨迹方程E；

（2）设P是（1）中轨迹E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

21．已知不等式ex≥1+ax对一切x∈R恒成立，求a的值．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F．

（1）求证：EC=EF；

（2）若ED=2，EF=3，求AC•AF的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知曲线C1的参数方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）求曲线C2的动点M到曲线C1的距离的最大值．

[选修4-5:不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．

（1）解不等式f（x）＞1；

（2）当x＞0时，函数g（x）=

a的取值范围．

（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数

2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．已知复数z=，则对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】化简已知复数，可得其共轭复数，由复数的几何意义可得．

【解答】解：化简可得z=

=

=

=﹣2+i，

∴=﹣2﹣i，

对应的点为（﹣2，﹣1），在第三象限，

故选：C

2．若集合

A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或

【考点】集合关系中的参数取值问题．

【分析】由已知中集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（ ） ，解根式方程可得A={2}，结合B={1，m}，及A⊆B，结合集合包含关系的定义，可得m的值．

【解答】解：∵集合

又∵B={1，m}

若A⊆B

则m=2

故选A

3．双曲线

A． B．=1的焦点到渐近线的距离为（ ） C．1 D． ={2}

【考点】双曲线的简单性质．

b2=1，【分析】由a2=m，利用

用点到直线的距离公式即可得出．

可得右焦点F．取渐近线y=x．利

2016?长沙二模数学(二)
2016届湖南省长沙市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（ ）

A．（0，4） B．（﹣3，4） C．（0，3） D．（3，4）

2．已知复数z=，则对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知=（sinα，cosα），=（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（ ）

A．﹣2 B．2 C． D．

4．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”

B．“x=1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．

C．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”

D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

5．双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（ ）

A． B． C．1 D．

6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（A．11 B．10 C．9 D．8.5

7．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．

7 ）

8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当0＜x＜时，f（x）=4x，则f（﹣）=（ ）

A．﹣B．﹣C．﹣1 D．

sinxcosx，则下列结论正确的是（ ）

，0）成中心对称

个单位即得②的图象 9．已知函数①y=sinx+cosx，②y=2A．两个函数的图象均关于点（﹣B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移

C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数

D．两个函数的最小正周期相同

10．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ）

A． B． C． D．2

11．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（ ）

A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥0

12．如图所示，直线y=m与抛物线y2=8x交与点A，与圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是（ ）

A．（6，8） B．（4，6） C．（8，12） D．（8，10）

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．b，抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，那么直线bx+ay=1的斜率k≥﹣的概率是 ．

14．a2•a5•a13•a16=256，a7=2， 已知正项等比数列{an}中，则数列{an}的公比为．

15．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为 cm．

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别a、b、c，且满足b2+c2﹣a2=bc， •＞0，a=，则边b的取值范围是

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．等差数列{an}中，a2=8，S6=66

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）设bn=，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．

18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），

[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．【2016?长沙二模数学】

（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率； （2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，

90%“”？

附：K2=【2016?长沙二模数学】

． 19．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；

（2）当三棱锥C﹣ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．

20．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 21．已知关于x的函数f（x）=．

（1）当a=0时，

①求函数y=f（x）的单调区间；

②若方程f（x）=k有两个不同的根，求实数k的取值范围；

（2）若f（x）≥恒成立，求实数a的取值．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F．

（1）求证：EC=EF；

（2）若ED=2，EF=3，求AC•AF的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．

（1）解不等式f（x）＞1．

（2）当x＞0时，函数g（x）=

a的取值范围．

（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数

2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（ ） A．（0，4） B．（﹣3，4） C．（0，3） D．（3，4）

【考点】并集及其运算．

【分析】利用并集的性质求解．

【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，

B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，

∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．

故选：B．

2．已知复数z=，则对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】化简已知复数，可得其共轭复数，由复数的几何意义可得．

【解答】解：化简可得z=

=

=

=﹣2+i，

∴=﹣2﹣i，

对应的点为（﹣2，﹣1），在第三象限，

故选：C

3．已知=（sinα，cosα），=（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（ ） A．﹣2 B．2 C． D．

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

=﹣2sinα+cosα=0，从而cosα=2sinα，由此能求出【分析】由向量垂直的性质得

tanα==．

【解答】解：∵=（sinα，cosα），=（﹣2，1），⊥，

=﹣2sinα+cosα=0， ∴

∴cosα=2sinα，

∴tanα=

故选：C．【2016?长沙二模数学】

=．

2016?长沙二模数学(三)
2016届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷 二 数学(文)试题

数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项 是符合题目要求的.

1. 设集合Ax|x22x0,By|yx22x,xA,则AB（ ） A．0,2 B．1,2 C．,2 D．0, 2. 如果复数z



3bi

bR的实部和虚部相等，则z等于（ ） 2i

A

．

． C．3 D．2 3. 下列函数既是偶函数,又在0,上单调递增的是（ ）

23x

A．yx B．yx C．y3 D．ylog2x

4. 已知公差不为0的等差数列an满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列an的前n项和，则

S3S2

S5S3

的值为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．3



5. 已知平面向量a1,2,b2,k，若a与b共线，则3ab（ ）

A

．

．．5 6. 函数ysin2x0,0的最小正周期为，且函数图像关于点



,0对称，则此函数的解析式为（ ） 6

A．ysin4x



2323



B．ysin4x

3

D．ysin2x

3

C．ysin2x

7. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（ ）

A．a1x0a3x0a0a2x0的值 B．a0x0a1x0a2a3x0的值 C．a3x0a2x0a1a0x0的值 D．a2x0a0x0a3a1x0的值









8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器 铜方升,其三视图如图所示(单位：寸),若取3其体积为12.6(立方寸),则图中的x为（ ）

A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 9. 如图,圆C内切于扇形AOB,AOB圆内的点的个数估计值为（ ）

A．100 B．200 C．400 D．450



3

若向扇形AOB内随机投掷600个点,则落入

x2y2

10. 已知双曲线C1:221a0,b

0,若抛物线

ab

C2:x22pyp0的焦点到双曲线C1 的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为

（ ）

A．x4y B．x8y C

．x2 D

．x2

11. 在四棱锥 PABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点,且BED90，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（ ）

2

2

3216164

B． C． D． 3393

k

12. 已知函数 fx的定义域为R，若存在常数k0，使fxx对一切实数x

2016

A．均

成立,则称fx为“期盼函数”,给出下列函数：①fxx；②

fxxcosx；

3

③fx

x

；④fxlnx1.其中fx是“期盼函数”的个数为（ ） x

21

A． B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图,根据标准,产品长度在区间20,25上为一等品,在区间15,20和25,30上为二等品,在区间

10,15和30,35上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取件,

则其为二等

品的概率是 ．

x20

14.若实数x,y满足不等式组y10，则函数tx2y的最大值为 ．

x2y20x2y2

1的左、右焦点，A为椭圆上一点，O为坐标原点，且15.F1,F2分别为椭圆

3627

11

OBOAOF1,OCOAOF2，则OBOC ．

22



1log3an1,n2k

kN ，则数列an的前n16.已知数列an满足a181,anan1

3,n2k1

项和Sn的最大值为

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）在ABC中，内角A,B,C的对应边分别为a,b,c

，已知

asinBbcosC.

（1）求AC的值；

（2

）若b

ABCa的值. 18. （本小题满分12分）如图，ABCD为梯形，ABCD,C



3

,点E在CD上，

ABEC

如图2.

1

使得平面DBC平面ABCE，DE2,BDBC,现将ADE沿AE折起，

2

（1）求证：BD平面BCEF； （2）求点C到平面ADE的距离

.

19. （本小题满分12分）某公司2016年15 月份的月销售收入y（单位：万元）和月累积销售收入z（单位：万元）如下表所示：

根据上述数据，经过初步处理得到如下数据：

72.30665.83

为了预测该公司6月份的月销售收入，现在对月销售收入y与月份x，月累计销售收入z与

a 和ydxc. 月份x分别进行线性相关性回归分析，并设相应的回归方程为：ybx

（1）分别计算两组数据的相关系数，并据此回答选择哪个回归方程进行预测更准确； （2）求出（1）中所确定的回归方程，并根据该回归方程预测该公司6月份的销售收入 附：对于一组数据u1,v1,u2,v2,...,un,vn，

其相关系数：r

其回归线v

n



u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为；



uuvv

i

i

i1



i1

n

uiu



2

vu. ,

20. （本小题满分12分）已知圆C1:x2y24与x轴的左右交点分别为A1,A2直线l1经过

A1,直线l2经过

1

A2,D为l1,l2的交点,且l1,l2的斜率乘积为.

4

（1）求D点的轨迹方程；

（2）直线l:xmym0交D的轨迹于P,Q两点,点Q关于x轴的对称点为Q1，直线PQ1与x轴的交点为R，试问RPQ的面积是否存在最大值？若存在,求出最大值；若不存在,说明理由.

2016?长沙二模数学(四)
2016届湖南省郴州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（ ）

A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i

2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．（﹣4，1] B．（1，2） C．[1，2） D．（﹣4，1）

3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A． B． C． D．

4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（ ）

A．55人，80人，45人 B．40人，100人，40人

C．60人，60人，60人 D．50人，100人，30人

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

6．直线=（ ） 与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

7．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（ ）

A．150 B．180 C．240 D．540

8．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（ ）

A．0 B． C． D．﹣

9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（ ）

A． B． C． D．

x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，10．设点P是曲线C：y=x3﹣

则角α的取值范围是（ ）

A．[π，π） B．（，π] C．[0，）∪[π，π） D．[0， ）∪[π，π）11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（ ）

A． B． C．2 D．

12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（ ）

C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，2）

D．（﹣，）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.

13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=

四边形ABCD的面积为 ．

14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则且∠BAD=60°，﹣=，那么a的取值范围是．

15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（给出以下命题：

①a=b；

②f（x+）为偶函数；

，0）对称；

得到； ），③函数y=f（x）的图象关于点（④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移

⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．

其中正确命题的序号是 ．（将所有正确命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．

18．n都有an+m=an•am，已知数列{an}满足a1=3，且对任意的正整数m，若数列{bn}满足bn=n﹣1+log3an，{bn}的前n项和为Bn．

（Ⅰ）求an和Bn；

（Ⅱ）令cn=an•bn，dn=，数列{cn}的前n项和为Sn，数列{dn}的前n项和为Tn，分别求Sn和Tn．

19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．

（Ⅰ）求证：BC⊥PC；

（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为

求出的值；若不存在，说明理由．

？若存在，

20．已知函数

（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；

（2）若恒成立，求实数ab的最大值．

，它的一个顶点恰好21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于

是抛物线y=x2的焦点．

（1）求椭圆Γ的标准方程；

（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点． （1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；

（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．

（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；

（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围．

2016年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（ ）

A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．

【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，

∴z===﹣1﹣i，

故=﹣1+i，

故选：C．

2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．（﹣4，1] B．（1，2） C．[1，2） D．（﹣4，1）

【考点】Venn图表达集合的关系及运算．

【分析】先观察Venn图，由图可知阴影部分表示的集合为（CRB）∩A，根据集合的运算求解即可．

【解答】解：A={x|x2+2x﹣8＜0}=（﹣4，2），

∵B={x|x＜1}，

∴CRB=[1，+∞），

∴（CRB）∩A=[1，2）．

故选：C．

3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

2016?长沙二模数学(五)
2016届湖南省岳阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）=（ ） A．{2，3} B．{5，6} C．{1，4，5，6} D．{1，2，3，4}

2．已知“a∈R，则“a=2”是“复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ）

A．i≤3？B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？

4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A．6π B．7π C．8π D．9π

5．已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx﹣1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（ ） A．﹣

B．

C．﹣

D．

a，则=

6．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=（ ）

A．2 B．2

C． D．

7．若二项式

A．﹣27C93 B．27C93

的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（ ）C．﹣9C94

D．9C94

则目标函数z=3|x|+|y﹣3|的取值范围是（ ）

8．变量x，y满足约束条件

A． B．[，6] C．[﹣2，3] D．[1，6]

9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A．

B．16π C．9π

D．

10．排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

11．设F1、F2分别为双曲线C：

﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左

顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

′

12．fx）f2+x）=fx）定义域为R的函数（对任意x都有（（2﹣x），且其导函数f（满足

＞0，则当2＜a＜4，有（ ） A．f（2a）＜f（log2a）＜f（2） B．f（log2a）＜f（2）＜f（2a） C．f（2a）＜f（2）＜f（log2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．若向量14．计算：

，

，则

= ．

等于．

15．=． 抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为X，则X的期望E（X）

16．直线3x﹣4y+4=0与抛物线x2=4y、圆x2+（y﹣1）2=1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则

的值为

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．公差不为零的等差数列{an}中，a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）令

，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．

．

18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （Ⅰ）证明B1C1⊥CE；

（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．

（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为AM的长．

，求线段

其中z=2ln（y），

，

，，

，

（Ⅰ）根据散点图判断，y与x、z与x哪一对具有较强线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）

（Ⅲ）利润为多少元/kg时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（xn，yn），其回归直线=

+

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，

20．已知动点P与双曲线﹣

=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2

的最小值为﹣．

（1）求动点P的轨迹方程； （2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上，且21．=f+已知函数g（x）（x）

=，求实数λ的取值范围．

=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0﹣bx，函数f（x）

垂直．

（1）求实数a的值；

（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （3）设x1、x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b

，求g（x1）﹣g（x2）的

最小值．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D． （1）求证：

；

（2）若AC=3，求AP•AD的值．

[选修4-4：坐标与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点． （1）求|AB|的长；

（t为参数），它与曲线

（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2求点P到线段AB中点M的距离．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|． （Ⅰ）解不等式f（x）＞3； （Ⅱ）存在x0∈R，使得

，求实数m的取值范围．

，），