全国高中数学竞赛试题
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全国高中数学竞赛试题(一)
1、由a2,2-a,4组成的一个集合A,当A中含有3个元素时,实数a的取值可以是( )
A、1 B、-2 C、6 D、22、函数的定义域为( )
A、{x|x≤1} B、{x|x≥0} C、{x|x≥1或x≤0} D、{x|0≤x≤1}
3、若函数为偶函数,则a=( )
A、-2 B、2 C、1 D、-1
4、若函数在区间上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
A、a≥-3 B、a≤-3 C、a≤5 D、a≥3
5、为了得到函数的图象,可以把函数( )
A、向左平移3个单位 B、向右平移3个单位
C、向左平移1个单位 D、向右平移1个单位
6、已知一次函数满足,则的解析式为_____________________
7、若,则m=______________
8、比较,,的大小关系_______________
9、函数的图象与的图象关于直线y=x对称,则函数的单调递增区间是
10、正三棱锥的侧棱两两垂直,且侧棱长为,则它的外接球体积为_____________
数学答案写在此处
1-5
6 、7 、8 、 9 、10 、
全国高中数学竞赛试题(二)
命题教师:1.已知集合,则集合中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
2.有关程序框图的说法中错误的是( )
A程序框图是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形
B程序框图有三种不同的逻辑结构:顺序结构、条件结构和分支结构
C顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构
D在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤
3.已知为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围是( )
A.[-1,3] B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-3,3) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
4.设是定义在R上的奇函数,当x≤0时,,则等于( )
A.B.C.D.,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
6.已知函数,则的值为( )
A. B. C. D.-54
7.幂函数在(0,+∞)上是减函数,且,
则m可能等于( )
A.0 B.1 C.2 D.0或1
8.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
9.高为5,底面边长为的正三棱柱形容器(下有底)内,可放置最大球的半径是( )
A. B.2 C. D.
10.正方体A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于( )
A. B. C. D.
11.已知圆C:x2+y2-2x+4y+1=0,那么与圆C有相同的圆心,且经过点(-2,2)的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x-1)2+(y+2)2=25
C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x+1)2+(y-2)2=25
12.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,
则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.在求方程的正整数解时,某同学给出上述循环
程序框图,其输出结果为_______.
14.已知函数,若函数恰有4个零点,则实数a 的取值范围为___________.
15.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的
体积为___________.
16.设为彼此不重合的三个平面,l为直线,给出下列命题:
①若 ②若
③若直线l与平面内的无数条直线垂直则直线l与平面垂直
④若内存在不共线的三点到的距离相等,则平面平行于平面
其中真命题的序号为___________.
三、解答题
17.(本小题满分10分)
已知直线l:y=-2x+6和点A(1,-1),过点A作直线l1与直线l相交于B点,且|AB|=5,求直线l1的方程.
18.(本小题满分12分)
已知集合A={x|x2-2x-3≤0},集合B={x|(x-m+2)·(x-m-2)≤0}
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若全集U=R,,求实数m的取值范围.
19.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)证明f(x)在定义域上是增函数。
20.(本小题满分12分)
已知的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)结果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知点N(,0),以N为圆心的圆与直线l1:y=x和l2:y=-x都相切
(1)求圆N的方程;
(2)设l分别与直线l1和l2交于A、B两点,且AB中点为E(4,-1),试判断直线l与圆N的位置关系,并说明理由。
22.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D、E、F分别为棱AB、BC、A1C1的中点
(1)证明:EF∥平面A1CD;
(2)证明:平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
全国高中数学竞赛试题(三)
试卷
:时间:120 博平
一.选择题(本题共10小题,每题4分,共40分)
1.已知函数,其中为实数,若对恒成立,
且,则的单调递增区间是
.B.
C.D.
2.设A到B的映射f:xy=(x-1),若集合,则集合B不可能是(▲)
A、 B、 C、 D、
3.已知函数满足,且对任意的,有,设,则的大小关系为
A.
4.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB﹣sinA,sinB﹣cosA)在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.定义运算,如,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
6.已知,且,则的值为 ( )
A. B. C. D.
7.我们定义渐近线:已知曲线,如果存在有一条直线,当曲线上任一点沿曲线运动时可无限趋近于该直线但永远达不到,那么这条直线称为这条曲线的渐近线;下列函数:① ② ③ ④ ⑤,其中有渐近线的个数( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是( )
A. B. C. D. 设函数,对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二.填空题(本题共5个小题,每题4分,共20分)
11.若,则________
12.函数的图象为C,如下结论中正确的是 .
①图象C关于直线对称;
②图象C关于点对称;
③函数f(x)在区间内是增函数;
④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C.
13若函数对于上的任意都有,则实数的取值范围是▲.
14函数,对于任意的
,总存在,使得成立,则实数的
15.关于的不等式对恒成立,则实数的取值范围是.
40分)
16.(8分)已知函数的定义域为,求实数的取值范围。
17.(10分)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数;
(ii)设OP=x(km),将y表示成x的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
18.(10分)已知,设函数的最小值为
()求的表达式;
()是否存在区间,使得函数在区间上的值域为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19)已知函数
(I)判断函数在的单调性并用定义证明;
(II)令,求在区间的最大值的表达式
温州市第二外国语学校2013学年第一学期学科知识竞赛
高一数学参考答案
一.选择题(本题共10小题,每题4分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B C C C D C C 二.填空题(本题共5个小题,每题4分,共20分)
11.
12.
13.
14.
15.
40分)
16.解:的定义域为
18. 解:(Ⅰ)①由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),
则,故,又OP=10﹣10tanθ,
所以,
所求函数关系式为
②若OP=x(km),则OQ=10﹣x,所以OA=OB=
所求函数关系式为
(Ⅱ)选择函数模型①,
令y′=0得sin,因为,所以θ=,
当时,y′<0,y是θ的减函数;当时,y′>0,y是θ的增函数,所以当θ=时,.这时点P位于线段AB的中垂线上,在矩形区域内且距离AB边km处.
19.
()
当时,;
当时,.
综上得;
(),则.
(1)当,函数在此区间递增,则,显然不符;
(2)当,
(ⅰ)当,函数在此区间递增,则,显然不符;
(ⅱ)当,则,显然不符;
(3)当,
(ⅰ)当,则,显然不符;
(ⅱ)当,函数在此区间递增,则,显然不符;
(ⅲ)当,函数在此区间递减,则,符合题意.
综上,存在符合题意的,且.
22.(本小题15分)解:(I)在递增; (证明略).
(II)若,,在递增,,
若,)在递减,,
若,则
当时,函数递增, ,
当时,函数递减,;
,当 时,,当时,
.
综上:时,,当时,.