九年级上册数学期末考试试卷 九年级上册数学期末试卷及答案
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九年级上册数学期末考试试卷 九年级上册数学期末试卷及答案
题号 一 二 三 总分
1-10 11-18 19 20 21 22 23 24 25 26
分数
亲爱的同学，请注意：
★ 本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器
得分 评卷人
一、选择题(本大题共有10个小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内).
2.若使二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
3.下列说法中正确的是 ( )
A.“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件;
B.某次抽奖活动中奖的 概率为 ，说明每买100张奖券，一定有一次中奖;
C.想了解台州市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查.
D.我市未来三天内肯定下雪;
4.若 ，则 的值等于 ( )
A. B. C. 或2 D.0或
5.如图，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕B点
按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在
同一条直线上，那么这个角度等于 ( ).
A.120° B.90°
C.60° D.30°
6.将方程 化为 的形式，则 ， 的值分别是 ( )
(A) 和 (B) 和 (C) 和 (D) 和
7..如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是 ( )
A.110° B.70° C.55° D.125°
8.如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为 ( )
A.6cm B. cm C.8cm D. cm
9.同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 到 的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为 的概率为( )
(A) (B)
(C) (D)
10.如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是
一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂
上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是
A. B. C. D.
得分 评卷人
二、填空题(本大题共有8小题，每小题4分，共32分.请把答案填在题中的横线上.)
11.关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 .
12. 当a_______ 时，二次根式 在实数范围内有意义.
14.如图，在同心圆⊙O中，AB是大圆的直径，AC是大圆的弦，AC与小圆相切于点D，若小圆的半径为3cm，则BC= cm.
15.在一元二次方程 中，若 、 、 满足关系式 ，则这个方程必有一个根值为 .
16.布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 .
17.若两圆相切,圆心距为 ,其中一个圆的半径为 ,则另一个圆的半径为____ _.
18.已知a，b，c为三角形的三边，则
= 。
三、解答题：本大题共8个小题，满分78分，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明。
得分 评卷人
19、 本题每小题6分，满分12分
(1)解方程：
20、本题满分8分
已知：关于x的方程
⑴求证：方程有两个不相等的实数根;
⑵若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.
得分 评卷人
21、本小题8分
如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F且AB=9cm，BC=14cm，CA=13 cm，求AF，BD，CE的长。
23、(本小题10分)
随着人们对物质生活的追求，加上资源的紧缺和原材料价格的上涨，房价不断攀升。某地房价由每平方米售价1600元，经过连续两次涨价后，变为每平方米3600元。求平均每次涨价的百分率是多少?
得分 评卷人
24、本小题10分
小明为研究反比例函数 的图象，在-2、-1、1中任意取一个数为横坐标，在-2、-1、2中任意取一个数为纵坐标组成点P的坐标。
(1)求出点P坐标所有可能结果的个数。(用列表或画树状图求解)
(2)求点P在反比例函数 的图象上的概率。
25、本小题10分
如图，已知： 是⊙ 的直径，⊙ 过 的中点 ，且 .
求证： 是⊙ 的切线。
26、本小题12分
某学校规定，该学校教师的每人每月用电量不超过A度，那么这个月只需交10元电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度 元交费.
⑴胡老师12月份用电90度，超过了规定的A度，则超过的部分应交电费多少元?(用含A的代数式表示)
⑵下 面是该教师10月、11月的用电情况和交费 情况：
月份 用电量(度) 交电费总额(元)
10月份 45 10
11月份 80 25
根据上表数据 ，求A值，并计算该教师12月份应交电费多少元?
九年级(上)试题参考答案
一、选择题(40分)DACDA CDBBA(1—10题)
二、填空题(32分)
三、解答题
19、每小题6分，满分12分
解：(1)因式分解得： 2分
于是： ， 4分
所以： ， 6分
(2)解：原式= 3分
6分
20、解：⑴2x2+kx-1=0，
， 1分
无论k取何值，k2≥0，所以 ，即 ，
∴方程 有两个不相等的实数根. 3分
⑵∵ 是 的一个根为，
∴ 5分
解方程 得 7分
∴ 的另一个根为 ，k的值为1. 8分
22、(8分)
解：(1)A(0,4)，C(3,1) 2分
(2) 4分
(3) 6分
点A旋转到点A'所经过的路线的长度：
弧 8分
23、(10分)
解：设平均每次降价的百分率是x 2分
依题意得： 5分
解此方程得： (不合题意，舍去)， 8分
答：平均每次涨价的百分 率是50% 10分
24、(10分)
解：(1)
6分
所有可能的结果个数为9 7分
(2)P(在图象上)= 10分
25、(10分)
证明：
连接OD， 2分
∵ 是⊙ 的直径
∴ O是AB的中点 4分
∵D是BC的中点
∴OD∥AC 6分
∵DE⊥AC
∴OD⊥DE 8分
∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线 10分
26、(12分)
⑴ 3分
⑵ ，整理得A2-80A+1500=0 5分
解得A1=50，A2=30， 7分
由10月交电费情况可知A≥45， 8分
∴A=50， 9分
12月份应交电费 元 11分
答：12月份应交电费30元。 12分
2014-2015学年浙江省杭州市滨江区九年级(上)期末数学试卷
一、仔细选一选(本题有10个小题，每小题3分，共30分)下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1.如图，已知圆心角∠BOC=76°，则圆周角∠BAC的度数是( )
A. 152° B. 76° C. 38° D. 36°
2.已知 = ，那么下列各等式一定成立的是( )
A. = B. = C. = D. =
3.将抛物线y=2x2先向上平移两个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为( )
A. y=2(x+3)2+2 B. y=2(x+3)2﹣2 C. y=2(x﹣3)2+2 D. y=2(x﹣3)2﹣2
4.从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情是( )
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 很可能事件
5.已知sinα<0.5，那么锐角α的取值范围是( )
A. 60°<α<90° B. 30°<α<90° C. 0°<α<60° D. 0°<α<30°
6.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=8，则CD的长为( )
A. 4 B. 8 C. 8 D. 16
7.下列各组中的两个图形，一定相似的是( )
A. 有一个角对应相等的两个菱形
B. 对应边成比例的两个多边形
C. 两条对角线对应成比例的两个平行四边形
D. 任意两个矩形
8.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1.点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，则这个矩形的面积是( )
A. B. 1 C. D.
9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△ACD=( )
A. 1：5 B. 1：9 C. 1：10 D. 1：12
10.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为( )
①abc>0;②2a﹣3c<0;③2a+b>0;④ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，且x1+x2<0; ⑤9a+3b+c>0;⑥当x<1时，y随x增大而减小.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、认真填一填(本题有6个小题，每小题4分，共24分)要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项线段等于 .
12.如图，正五边形ABCDE的对角线为BE，则∠ABE的度数为 .
13.如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，∠O=60°，则图中阴影弓形的面积为 .
14.如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(﹣1，1)，B(2，3)，C(0，3).现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 .则点A的对应点A′的坐标为 .
15.把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为 .
16.Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若⊙O和三角形三边都相切，则符合条件的⊙O的半径为 .
三、全面答一答(本题有7个小题，共66分)解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
1)求比例式4：3=5：x中x的值.
(2)计算：cos245°+tan60°•sin60°.
18.由地面上A点测得山顶电视塔顶点B和电视塔基地C点的仰角分别为60°和30°，已知山顶C到地平面的垂直高度为50米.求电视塔高BC.
19.如图，在△PAB中，C，D分别为AP，BP上的点，若 = = ，AB=8cm，求CD的长.
20.某校九年级有12个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书的阅读量情况，准备从这12个班中抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n<5时，该学生为一般读者;当5≤n<10时，该学生为良好读者;当n≥10时，该学生为优秀读者.
(1)下列四种抽取方法：①随机抽取一个班的学生;②从这12个班中随机抽取50名学生;③随机抽取50名男生;④随机抽取50名女生，其中最具有代表性的是哪一种?
(2)由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读书的本数数据如下：
阅读本数n 0 2 4 5 6 8 10 12 14 16
人数 1 1 2 3 12 11 5 8 5 2
根据以上数据回答下列问题：
①求样本中优秀读者的频率;
②估计该校九年级优秀读者的人数;
③在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率.
21.如图，△ABC中，AB=4，BC=3，以C为圆心，CB的长为半径的圆和AC交于点D，连接BD，若∠ABD= ∠C.
(1)求证：AB是⊙C的切线;
(2)求△DAB的面积.
22.随着城市高楼的增加，高楼火灾越来越受重视，今年11月9日消防日来临前，某区消防中队开展技能比赛.考官在一废弃高楼距地面10米的M处和正上方距地面13米的N处各设置了一个火源.随后消防甲队出场，来到火源的正前方，估计高度后，消防员站在A处，拿着水枪距地面一定高度C处喷出水，只见水流划过一道漂亮的抛物线，准确的落在M处，待M处火熄灭后，消防员不慌不忙，没有做任何调整，只向着楼房移动到B处，只见水流又刚好落在N处.随后的录像资料显示第一次水流在距离楼房水平距离为2米的地方达到最大高度，且距离地面14米(图中P点).
(1)根据图中建立的平面直角坐标系(x轴在地面上)，写出P，M，N的坐标;
(2)求出上述坐标系中水流CPM所在抛物线的函数表达式;
(3)请求出消防员移动的距离AB的长.
23.如图，AB=3，∠A=∠B=30°，动点O从A出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t(秒)(0<t≤1.5).以O为圆心，OA长为半径的⊙O与射线AB，AC的另一个交点分别为P，Q，连接CP，PQ.
(1)当t为何值时⊙O和直线BC相切;
(2)若线段PC和⊙O只有一个交点，请求出t的取值范围;
(3)设△QCP的面积为S，试求S与t之间的函数表达式，并求S的最大值.
2014-2015学年浙江省杭州市滨江区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选(本题有10个小题，每小题3分，共30分)下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1.如图，已知圆心角∠BOC=76°，则圆周角∠BAC的度数是( )
A. 152° B. 76° C. 38° D. 36°
考点： 圆周角定理.
分析： 直接根据圆周角定理进行解答即可.
解答： 解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=76°，
∴∠BAC= ∠BOC= ×76°=38°.
故选C.
点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
2.已知 = ，那么下列各等式一定成立的是( )
A. = B. = C. = D. =
考点： 比例的性质.
分析： 根据比例的性质，可得ad=bc，再根据等式的性质，可得答案.
解答： 解：由比例的性质，得
ad=bc.
由等式的性质，得
= ，故B正确;
故选：B.
点评： 本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质.
3.将抛物线y=2x2先向上平移两个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为( )
A. y=2(x+3)2+2 B. y=2(x+3)2﹣2 C. y=2(x﹣3)2+2 D. y=2(x﹣3)2﹣2
考点： 二次函数图象与几何变换.
分析： 先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为(3，2)，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式.
解答： 解：抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为(3，2)，
所以平移后抛物线的解析式为y=2(x﹣3)2+2.
故选：C.
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
4.从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情是( )
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 很可能事件
考点： 随机事件.
分析： 根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断.
解答： 解：从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，是必然事件，故选A.
点评： 本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
5.已知sinα<0.5，那么锐角α的取值范围是( )
A. 60°<α<90° B. 30°<α<90° C. 0°<α<60° D. 0°<α<30°
考点： 锐角三角函数的增减性.
分析： 根据锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案.
解答： 解：由sinα=0.5，得α=30°，
由锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，得
0°<α<30°，
故选：D.
点评： 本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大.
6.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=8，则CD的长为( )
A. 4 B. 8 C. 8 D. 16
考点： 垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理.
分析： 根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE= OC=4 ，然后利用CD=2CE进行计算.
解答： 解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE= OC=4 ，
∴CD=2CE=8 .
故选B.
点评： 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.
7.下列各组中的两个图形，一定相似的是( )
A. 有一个角对应相等的两个菱形
B. 对应边成比例的两个多边形
C. 两条对角线对应成比例的两个平行四边形
D. 任意两个矩形
考点： 相似图形.
分析： 根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断利用排除法求解.
解答： 解：A、有一个角对应相等，其他三个角一定对应相等，对应边成比例，所以这两个菱形一定相似，故本选项正确;
B、对应边成比例的两个多边形对应角不一定相等，故本选项错误;
C、两条对角线对应成比例的两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故本选项错误;
D、任意两个矩形，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，故本选项错误.
故选A.
点评： 本题考查了相似图形，熟记概念并从对应角与对应边两个方面考虑求解是解题的关键.
8.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1.点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，则这个矩形的面积是( )
A. B. 1 C. D.
考点： 垂径定理;等边三角形的性质;矩形的性质.
分析： 过点O作OF⊥BC于点F，连接BD、OC，根据垂径定理可得出BF的长，故可得出OB的长，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2;由△ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD= BD= ，然后根据矩形的面积公式求解.
解答： 解：过点O作OF⊥BC于点F，连结BD、OC，
∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1，
∴BF= BC=1，∠OBC=30°，
∴OB= = = .
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD= ，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD= BD= ，
∴矩形BCDE的面积=BC•CD= .
故选C.
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△ACD=( )
A. 1：5 B. 1：9 C. 1：10 D. 1：12
考点： 相似三角形的判定与性质.
分析： 设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为3a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出 ，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可.
解答： 解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴ = ，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：16，
∴S△ACD=16a﹣a﹣3a=12a，
∴S△BDE：S△ACD=a：12a=1：12.
故选：D.
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键.
10.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为( )
①abc>0;②2a﹣3c<0;③2a+b>0;④ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，且x1+x2<0; ⑤9a+3b+c>0;⑥当x<1时，y随x增大而减小.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
考点： 二次函数图象与系数的关系.
分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
解答： 解：①∵开口向下，∴a>0，
∵与y轴交于负半轴，∴c<0，
∵﹣ =1>0，a>0，
∴b<0，
∴abc>0，
∴正确;
②∵a>0，c<0，
∴2a﹣3c>0故②错误;
③∵﹣ =1，
∴2a+b=0，故③错误.
④由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，
∵﹣ =1，x1+x2=﹣ ，
∴x1+x2= >0故④错误.
⑤因为不知抛物线与x轴的交点坐标，所以无法确定当x=3时的函数值，
故9a+3b+c>0无法确定对错，故⑤错误;
⑥由图象可知，在对称轴的左侧y随x增大而减小，
故⑥正确;
故选A.
点评： 本题考查了二次函数的图象与其系数的关系，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力.
二、认真填一填(本题有6个小题，每小题4分，共24分)要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项线段等于 ±4 .
考点： 比例线段.
分析： 根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决.
解答： 解：设a、b的比例中项为λ，
∵a=4，b=8，
∴λ2=ab=32，
∴λ=± ，
即a、b的比例中等于± .
点评： 该题主要考查了比例中项等基本概念问题;解题的关键是灵活变形、准确计算.
12.如图，正五边形ABCDE的对角线为BE，则∠ABE的度数为 36° .
考点： 正多边形和圆.
分析： 先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，求出一个内角的度数，根据△ABE是等腰三角形，一个三角形内角和180°，即可求出∠ABE的大小.
解答： 解：∵360°÷5=72°，180°﹣72°=108°，
∴正五边形每个内角的度数为108°，即∠A=108°，
又∵△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE= (180°﹣108°)=36°.
故答案为36°.
点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键.
13.如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，∠O=60°，则图中阴影弓形的面积为 π﹣ .
考点： 扇形面积的计算.
分析： 过点O作OD⊥AB于点D，根据∠O=60°，OA=OB可知△OAB是等边三角形，故∠OAB=60°，由锐角三角函数的定义求出OD的长，再根据S弓形=S扇形AOB﹣S△OAB即可得出结论.
解答： 解：过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠O=60°，OA=OB=2，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OD=OA•sin60°=2× = ，
∴S弓形=S扇形AOB﹣S△OAB= = = π﹣ .
故答案为： π﹣ .
点评： 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.
14.如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(﹣1，1)，B(2，3)，C(0，3).现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 .则点A的对应点A′的坐标为 (﹣ ， )或( ，﹣ ) .
考点： 位似变换;坐标与图形性质.
分析： 位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是(x，y)，则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是(kx，ky)或(﹣kx，﹣ky).
解答： 解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是(kx，ky)或(﹣kx，﹣ky)
∴A'的坐标为：(﹣ ， )或( ，﹣ ).
故答案为：(﹣ ， )或( ，﹣ ).
点评： 此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.
15.把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为 (1+ )：2 .
考点： 相似多边形的性质.
分析： 由题意，把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，先画出图形，根据相似多边形的性质即可解答.
解答： 解：根据题意，一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，
∴得 = ，
整理得 ﹣ ﹣1=0
设 =t则原方程可化为：
t﹣ ﹣1=0，
即t2﹣t﹣1=0，
解得，t= (负值舍去)或t= .
∴原矩形长边与短边的比为
=t=(1+ )：2.
点评： 本题考查相似多边形的性质及对应边长成比例的应用，还考查相似多边形周长之比等于相似比.
16.Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若⊙O和三角形三边都相切，则符合条件的⊙O的半径为 1 .
考点： 三角形的内切圆与内心.
分析： 利用勾股定理求得斜边的长，根据直角三角形三边的长和内切圆的半径之间的关系求解.
解答： 解：Rt△ABC的斜边AC= = =5，
则符合条件的⊙O的半径为： =1.
故答案是：1.
点评： 本题考查了直角三角形的内切圆，直角三角形的三边分别是a、b、c，其中c是斜边，则内切圆的半径是 .
三、全面答一答(本题有7个小题，共66分)解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
1)求比例式4：3=5：x中x的值.
(2)计算：cos245°+tan60°•sin60°.
考点： 比例的性质;特殊角的三角函数值.
分析： (1)根据比例的性质，可得x的值;
(2)根据特殊角三角函数值，可得实数，根据实数的运算，可得答案.
解答： 解：(1)由比例的性质，得4x=3×5，
解得x= ;
(2)原式=( )2+ ×
= +
=2.
点评： 本题考查了比例的性质，(1)利用了比例的性质，(2)要熟记特殊角三角函数值.
18.由地面上A点测得山顶电视塔顶点B和电视塔基地C点的仰角分别为60°和30°，已知山顶C到地平面的垂直高度为50米.求电视塔高BC.
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
分析： 在Rt△ACD中，求出AD，在Rt△ABD中求出BD，继而根据BC=BD﹣CD，即可得出电视塔BC的高度.
解答： 解：在Rt△ADC中，∠D=90°，∠CAD=30°，CD=50m，
∵cot∠CAD= ，
∴AD=CD•cot30°=50× =50 米，
在Rt△ADB中，∠D=90°，∠BAD=60°，
∵tan∠BAD= ，
∴BD=AD•tan60°=50 × =150米，
∴BC=BD﹣CD=150﹣50=100米.
答：电视塔的高度是100米.
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，要求同学们熟练掌握锐角三角函数的定义，难度一般.
19.如图，在△PAB中，C，D分别为AP，BP上的点，若 = = ，AB=8cm，求CD的长.
考点： 相似三角形的判定与性质.
分析： 由相似三角形的判定方法易证△CPD∽△BPA，利用三角形相似的性质：对应边的比值相等即可求出CD的长.
解答： 解：∵ = = ，∠P=∠P，
∴CPD∽△BPA，
∴ ，
∵AB=8cm，
∴CD= ×8=6cm.
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
20.某校九年级有12个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书的阅读量情况，准备从这12个班中抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n<5时，该学生为一般读者;当5≤n<10时，该学生为良好读者;当n≥10时，该学生为优秀读者.
(1)下列四种抽取方法：①随机抽取一个班的学生;②从这12个班中随机抽取50名学生;③随机抽取50名男生;④随机抽取50名女生，其中最具有代表性的是哪一种?
(2)由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读书的本数数据如下：
阅读本数n 0 2 4 5 6 8 10 12 14 16
人数 1 1 2 3 12 11 5 8 5 2
根据以上数据回答下列问题：
①求样本中优秀读者的频率;
②估计该校九年级优秀读者的人数;
③在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率.
考点： 列表法与树状图法;抽样调查的可靠性;用样本估计总体;频数与频率.
分析： (1)根据抽取方法的代表性可求得答案;
(2)①由样本中优秀读者20人，即可求得样本中优秀读者的频率;
②由①可求得该校九年级优秀读者的人数;
③首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的情况，再利用概率公式即可求得答案.
解答： 解：(1)∵①③④不具有全面性，
∴最具有代表性的是②.
故选：②;
(2)①∵样本中优秀读者20人，
∴样本中优秀读者的频率为： = ;
②该校九年级优秀读者的人数为：10×50× =200(人);
③画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的有2种情况，
∴抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率为： = .
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
21.如图，△ABC中，AB=4，BC=3，以C为圆心，CB的长为半径的圆和AC交于点D，连接BD，若∠ABD= ∠C.
(1)求证：AB是⊙C的切线;
(2)求△DAB的面积.
考点： 切线的判定.
专题： 证明题.
分析： (1)由CB=CD得∠CBD=∠CDB，根据三角形内角和定理得到∠C=180°﹣2∠CBD，由于∠ABD= ∠C，则2∠ABD=180°﹣2∠CBD，即可得到∠ABD+∠CBD=90°，于是可根据切线的判定得到AB是⊙C的切线;
(2)作BE⊥AC于E，如图，先根据勾股定理计算出AC=5，则AD=AC﹣CD=2，再利用面积法计算出BE= ，然后根据三角形面积公式求解.
解答： (1)证明：∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠C=180°﹣2∠CBD，
∵∠ABD= ∠C，
∴2∠ABD=180°﹣2∠CBD，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB是⊙C的切线
(2)解：作BE⊥AC于E，如图，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴AC= =5，
∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，
∵ BE•AC= BC•AB，
∴BE= ，
∴△DAB的面积= ×2× = .
点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
22.随着城市高楼的增加，高楼火灾越来越受重视，今年11月9日消防日来临前，某区消防中队开展技能比赛.考官在一废弃高楼距地面10米的M处和正上方距地面13米的N处各设置了一个火源.随后消防甲队出场，来到火源的正前方，估计高度后，消防员站在A处，拿着水枪距地面一定高度C处喷出水，只见水流划过一道漂亮的抛物线，准确的落在M处，待M处火熄灭后，消防员不慌不忙，没有做任何调整，只向着楼房移动到B处，只见水流又刚好落在N处.随后的录像资料显示第一次水流在距离楼房水平距离为2米的地方达到最大高度，且距离地面14米(图中P点).
(1)根据图中建立的平面直角坐标系(x轴在地面上)，写出P，M，N的坐标;
(2)求出上述坐标系中水流CPM所在抛物线的函数表达式;
(3)请求出消防员移动的距离AB的长.
考点： 二次函数的应用.
分析： (1)结合函数图象及题目的实际意义就可以得出结论;
(2)由(1)的结论设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+14，由待定系数法求出其解即可;
(3)设移动的距离AB的长为b米，由(1)的解析式建立方程求出其解即可.
解答： 解：(1)由题意，得
P(2，14)，M(0，10)，N(0，13);
(2)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+14，由题意，得
10=4a+14，
解得：a=﹣1，
∴水流CPM所在抛物线的函数表达式y=﹣(x﹣2)2+14;
(3)设移动的距离AB的长为b米，由题意，得
13=﹣(0﹣2+b)2+14，
解得：b1=1，b2=3>2(舍去).
答：消防员移动的距离AB的长为1米.
点评： 本题考查了点的坐标的运用，待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的平移的性质的运用，解答时将实际问题转化为数学问题求出函数的解析式是关键.
23.如图，AB=3，∠A=∠B=30°，动点O从A出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t(秒)(0<t≤1.5).以O为圆心，OA长为半径的⊙O与射线AB，AC的另一个交点分别为P，Q，连接CP，PQ.
(1)当t为何值时⊙O和直线BC相切;
(2)若线段PC和⊙O只有一个交点，请求出t的取值范围;
(3)设△QCP的面积为S，试求S与t之间的函数表达式，并求S的最大值.
考点： 圆的综合题.
分析： (1)先过点C作CO⊥BC交AB于点O，此时⊙O和直线BC相切，再设AO=x，利用RT△OCB列出方程求解即可，
(2)由图可得分两种情况：当①0<t≤ 时，线段PC和⊙O只有一个交点;②当1<t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点;
(3)分三种情况①当t<1时，②当t=1时，③1<t≤1.5时分别求解即可.
解答： 解：(1)如图1，过点C作CO⊥BC交AB于点O，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵∠OCB=90°，
∴∠OCA=30°，
∴此时⊙O和直线BC相切，
设AO=x，则BO=3﹣x，
∵AO=OC，
在RT△OCB中，3﹣x=2x，
解得x=1.
∴当t=1时，⊙O和直线BC相切;
(2)①如图2，作CD⊥AB交AB于点D，
∵AB=3，∠A=∠B=30°，
∴AD= ，
∴AO= ，
∴当0<t≤ 时，线段PC和⊙O只有一个交点;
②当1<t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点，
综上所述：当0<t≤ 或1<t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点;
(3)①当t<1时，如图3，作CD⊥AB交AB于点D，
∵AB=3，∠A=∠B=30°，
∴AD= ，
∴AC= ，
∵∠AQP=90°，∠A=30°，
∴AQ= AP= AO，QP=AO，
∴QC=AC﹣AQ= ﹣ AO，
∴S= QC•QP= ( ﹣ t)•t=﹣ (t﹣ )2+ ，
∴S的最大值为 ;
②当t=1时，S=0，
③1<t≤1.5时，如图4，
∵∠AQP=90°，∠A=30°，
∴AQ= AP= AO，QP=AO，
∵AC= ，
∴QC=AQ﹣AC= AO﹣ ，
∴S= QC•QP= ( t﹣ )•t= (t﹣ )2+ ，
∴当t=1.5时，S有最大值为 .
点评： 本题主要考查了圆的综合题，涉及切线，等腰三角形，特殊直角三角形及三角形的面积，解题的关键是根据情况正确的讨论求解，不要漏解.