异面直线

异面直线(一)
异面直线练习题

异面直线练习题

一、选择题：

1.已知a,b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b A.一定是异面直线

B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

C.不可能是平行直线

2.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形的各边中点，所成的四边 形是 A.梯形

B.矩形

C.平行四边形

D.正方形

3.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心， E,F分别是CC1,AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为

A.

5

B.

5

C.

4 5

D.

2 3

4.空间四边形ABCD中，M,N分别是AB和CD

的中点，ADBC6,MN, 则AD和BC所成的角是 A.120

B.90

C.60

D.30

5.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的 矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为

5 2

C．4 D．5

A．2 B．

A1在底面ABC6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，

上的射影为 BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

7.已知正三棱柱ABC

A1B1C1 AB1与C1B所成的角为

A.60 B.90 C.105 D.75 8．（2007•福建）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、

9在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ）

第1页，总4页







10．（2003•北京）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE、DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ

13．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角

余弦值是 （ ）．

第2页，总4页

14．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线A1D与直线

二、填空题：

15一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该 几何体的侧面积为_______cm.

16在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC

中点，F是BB1的 中点，则直线D1E与AF所成角的大小为___________. 17如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若

2

俯视图

A

E

D

ACCDDA8，

ABBD5,BC7，则BE与CD所成角的余弦值为_________. C 18在空间四边形ABCD,M,N分别是AB,CD的中点,

则AD与BC所成的角的大小是___________.

19直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12, BAC120，则此球的表面积等于___________.

20.已知ABCA1B1C1是直三棱柱，BCA90，点D1,F1分别是A1B1,AC11，的中点， 若BCCACC1，则BD1与AF1

所成角的余弦值是___________. 三、解答题：

21.如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点，求异面直





第3页，总4页

线AE和BF所成的角的余弦值.

22.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M,N分别 是BC和AC11的中点求MN与CC1所成角的余弦值.

23.S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，且

A1

A

C

N

C1

ASBBSCCSA



2

，M,N分别是AB和SC的中点.

C

求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.

B 第4页，总4页

异面直线(二)
异面直线及其夹角

【异面直线】

异面直线(三)
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

异面直线间的距离

求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、 定义法

2、 垂直平面法（转化为线面距） 3、 转化为面面距 4、 代数求极值法 5、 公式法 6、 射影法 7、 向量法 8、 等积法

1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成

1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。

思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得

CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，

可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。在⊿ADE中，∠ADE=120，AD=DE=a，DH=

a2

。即异面

直线CD与AE间的距离为

a。 2

2 垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。

例1 如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间

的距离。

思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两

个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖ AE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，

即为A到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，

过A作

AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，连结CD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VA-BCD=VC-ABD，得 h=

dsinsincoscos

2

2

3转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β。

求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。

例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的距离。

思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x、y、z，

C A

B

x2y2AB21522222则yzAC14 z2x2BC2132

解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA‖平面BC，平面SA、平面BC间的距离是2，所以异面直线AS与BC的距离是2。

4 代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。

例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求A1B与

D1B1的距离。

1

思路分析：在A1B上任取一点M，作 MP⊥A1B1，PN⊥B1D1，则MN⊥B1D1，只要求出MN的 A22

最小值即可。设A1M=x，则MP=x，A1P=x。所以PB1=a 22

–

122

x，PN=（a–x）sin450=（

222

C

2a–x），MN=

PM2PN2

=

2

2233222

a时，MNmin=a。 (x)a。当x=33233

AB2m2n22mncos

求

5公式法异面直线间距离公式：d=

得异面直线间的距离。

例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两 底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。

思路分析：在圆柱底面上AO⊥OO/，BO/⊥OO/，又OO/是圆柱的高，AB=5，所以d=

33。即异面直线AB与轴OO/之间的距离为。 22

6 射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。

例6 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，M、N分别是棱AB、CC1的中点，E是BD的中点。求异面直线D1M、EN间的距离。 1

思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距 离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线D1M、EN 射影到同一平面BC1内，转化为BC1、QN的距离，显然， N

2易知BC1、QN的距离为。所以异面直线D1M、EN C

4

间的距离为

2。 4

7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在 公共法向量上的射影长。

例7 已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 求异面直线DA1与AC的距离。

思路分析：此题是求异面直线的距离问题，这个距离可看作是

在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。

此题教师引导，学生口述，教师在课件上演示解题 过程，总结解题步骤。

解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz

∴D(0,0,0) A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) ∴DA1(1,0,1)AC(1,1,0) 设异面直线DA1与AC的法向量(x,y,1)∴n1,且n



x10x1∴n 0,n0∴1

xy0y1

1|n|n(1,1,1)(1,0,0)d |n|

3

∴异面直线DA1与AC的距离为3

3

步骤小结：求异面直线间的距离:

⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标，求出向量坐标；

例8 已知：SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜, SA=AB=BC=a,AD=2a，

求A到平面SCD的距离。

解：如图所示建立空间直角坐标系A—xyz

∴A（0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴=(0,2a,0)SC=(a,a,-a) SD=(0,2a,-a) 设面SCD的一个法向量=(x,y,1)∴⊥且⊥ ∴•=0 且•=0

∴axaya0

2aya0

xy

d

22【异面直线】

1

∴=(11) ,,

∴点A到面SCD

的距离为



6a

3

∴点A到面SCD的距离为

6a3

八等积法把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高的长度。

例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)． 求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．

设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为

而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为

异面直线(四)
证明异面直线的几种方法

证明异面直线的几种方法

范文哲

异面直线在立体几何中占有重要地位，很多同学在证明两条直线是异面直线时往往只证不共面的一面，或只证无公共点的一面，这样的证明是不全面的，必须根据异面直线的定义，证明这两条直线无公共点，同时不在任何一个平面内，这样才算完整。在这里讲几种常用的方法，供同学们学习。

一. “判定定理”法

判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

例1. 如图1，空间四边形ABCD，，AE是的边BC上的高，DF

是

的边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线。

图1

证明：由题设条件可知点E、F不重合，设所在的平面为

。因为

，所以AE和DF是异面直线。

二. 反证法

例2. 已知a//b//c，且a，b，c不在同一平面内，A、B

证：AD与BC是异面直线。

证明：因为a//b，所以a，b确定平面。又A，Ba，Cb，所以A、B、C不

，而，c//a，，，求共线，且A，B，Cα。假设AD与BC共面，则从而，此与a，b，c不在同一平面内矛盾，故AD与BC是异面直线。

三. 排除法

例3. 如图2，已知

面直线。

，求证：a，b是异

图2

证明：（1）因为，所以b与只有一个公共点。 而

故a与b无公共点。

（2）上只有一个点在平面上的点都在平面面内。 内，又， 内，其他点都在平面内，不在

内，故a，b不在同一平

综合（1）（2）可知，a，b是异面直线。

异面直线(五)
异面直线典型例题

典型例题一

例1 若a//b，bcA，则a，c的位置关系是（ ）．

A．异面直线 B．相交直线【异面直线】

C．平行直线 D．相交直线或异面直线

分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．

解：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1B1a，ABb，则a//b． 若设B1Bc，则a与c相交．若设BCc，则a与c异面．

故选D．

说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a，b相交，b，c相交，则a，c的位置关系是相交、平行或异面．类似地；a，b异面，b，c异面，则a，相c的位置关系是平行、交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．

典型例题二

例2 已知直线a和点A，A，求证：过点A有且只有一条直线和a平行．

分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．

存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的．．

对象．

因此，这是否定性命题，常用反证法． ．．．

证明：（1）存在性．

∵ Aa，∴ a和A可确定一个平面，

由平面几何知识知，在内存在着过点A和a平行的直线．

（2）惟一性

假设在空间过点A有两条直线b和c满足b//a和c//a．根据公理4，必有b//c与bcA矛盾，

∴ 过点A有一条且只有一条直线和a平行．

说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．

典型例题三

例3 如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AEAHCFCG，，求证： ABADCBCD

（1）当时，四边形EFGH是平行四边形；

（2）当时，四边形EFGH是梯形．

分析：只需利用空间等角定理证明EH//FG即可．

证明：连结BD，

在ABD中，AEAH，∴ EH//BD，且ABAD

EHBD．

在CBD中，CFCG，∴ FG//BD，且FGBD． CBCD

∴ EH//FG，

∴ 顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内．

（1）当时，EHFG，故四边形EFGH为平行四边形；

（2）当时，EHFG，故四边形EFGH是梯形．

说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况． 特别地，当1时，E，F，G，H是空间四边形各边中点，以它们为顶点的2

四边形是平行四边形．

如果再加上条件ACBD，这时，平行四边形EFGH是菱形．

典型例题四

例4 已知a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点

C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N且MN5，求异面直线a、b所成的角．

分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造

成和异面直线a、b平行的两条相交直线，然后把它们归纳

到某一三角形中求解．

解：如图，连结BC，并取BC的中点O，连结

OM、ON，

∵OM、ON分别是ABC和BCD的中位线，

∴OM//AB，ON//CD，即

OM//a，ON//b．

∴OM、ON所成的锐角或直角是异面直线a、b所成的角．

又∵ AB6，CD8，

∴OM3，ON4．

在OMN中，又∵MN5，

∴MONMN，

222

∴MON90．

故异面直线a、b所成的角是90．

说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点O一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的． 

典型例题五

例5 已知四面体SABC的所有棱长均为a．求：

（1）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长；

（2）异面直线EF和SA所成的角．

分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC、AB的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．

解：（1）如图，分别取SC、AB的中点E、F，连结

SF、CF．

由已知，得SAB≌CAB．

∴SFCF，E是SC的中点，

∴EFSC．

同理可证EFAB

∴EF是SC、AB的公垂线段．

在RtSEF中，SF∴EFSF2SE2

13a，SEa． 2232122aaa． 442

（2）取AC的中点G，连结EG，则EG//SA．

∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角．

连结FG，在EFG中，EG由余弦定理，得 112a，GFa，EFa． 222

122212aaaEGEFGF2． cosGEF2EGEF2122aa22222

∴GEF45．



故异面直线EF和SA所成的角为45．

说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．



典型例题六

例6 如图所示，两个三角形ABC和ABC的对应顶点的连线AA、BB、CC交于同一点O，且''''''AOBOCO2． A'OB'OC'O3

''''''(1)证明：AB//AB，AC//AC，BC//BC；

(2)求SABC的值． SA'B'C'

分析：证两线平等当然可用平面几何的方法．而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明．

证明：(1)当ABC和ABC在O点两侧时，如图甲

∵AA与BB相交于O点，且

''''''''AOBO， A'OB'O'∴AB//AB（因为AA、BB共面）．

同理AC//AC，BC//BC．

''''''''(2)∵AB//AB，且AC//AC，AB和AB，AC和AC的方向相反，∴''''

BACB'A'C'，同理ABCA'B'C'．

因此，ABC∽ABC． '''

SABAO242又'''，∴ABC． ABAO3SA'B'C'39

当ABC和ABC在O点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)．

说明：此题ABC与ABC是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明． ''''''2

典型例题七

例7 S是矩形ABCD所在平面外一点，SABC，SBCD，SA与CD成60角，SD与BC成30角，SAa，求：

(1)直线SA与CD的距离；

(2)求直线SB与AD的距离．

分析：要求出SA与CD、SB与AD的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离．

解：如图所示，在矩形ABCD中，BC//AD．

∵SABC，∴SAAD．

又CDAD，∴AD是异面直线SA、CD的公垂线段，

其长度为异面直线SA、CD的距离．

在RtSAD中，∵SDA是SD与BC所成的角，

∴SDA30．又SAa，∴ADa．

(2)在矩形ABCD中，AB//CD，SBAD，

∴SBAB，又ABAD，

∴AB是直线SB、AD的公垂线段，其长度为异面直线SB、AD的距离．

在RtSAB中，SAB是异面直线SA与CD所成的角，∴SAB60．

又SAa，∴ABacos60

∴直线SB与AD的距离为a， 2a． 2

说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：①找（作）线段；②证线段是公垂线段；③求公垂线段的长度．

(2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段．

典型例题八

例8 a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，判断a与c的位置关系，并