三角形的外角的性质(三种语言)

三角形的外角的性质(三种语言)(一)
三角形的外角性质练习题

9.1三角形的外角

一．选择题（共17小题）

1．（2011•泰安）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）

2．（2011•绵阳）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（ ）

3．（2005•烟台）如图所示，一块试验田的形状是三角形（设其为△ABC），管理员从BC边上的一点D出发，沿DC⇒CA⇒AB⇒BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体（ ）

4．（2010•武汉）如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（

）

5．如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C，则∠BDC的度数是（ ）

6．如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（ ）

7．如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=（

）

8．两个直角三角形如图放置，则∠

BFE与∠CAF的度数之比等于（ ）

9．如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分别记为α，β，γ，若α：β：γ，=3：4：5，则∠A：∠B：∠C=（ ）

10．如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，则有（ ）

11．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）

）

13．（2011•临川区模拟）两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ）

）

）

16．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P

发出，经平面镜OB，OA两次反射后回到点P，已知PQ∥OA，PR∥OB，则∠1的度数为（ ）

17．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，则∠H的度数是（ ）

二．填空题（共5小题）

18．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，线段BP、BE

三等分∠ABC，线段CP、CE三等分∠ACB，那么∠BPE的度数是 _________ ．

19．如图，是一个六角星，其中∠AOE=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _________ ．

20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=42°，∠C=70°，则∠DAE= _________ ．

21．如图，平面镜A与B之间夹角为110°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为 _________ ．

22．将两块含30°的直角三角板叠放成如图那样，若OD⊥AB，CD交OA于点E，则∠OED= _________ °．

三．解答题（共8小题）

23．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： _________ ；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： _________ 个；

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P

的度数；

24．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．

（1）求∠DAE的度数；

（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．

（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C＞∠B）

25．已知：如图，E是△ABC的边CA延长线上一点，F是AB上一点，D点在BC的延长线上．试证明∠1＜∠2．

三角形的外角的性质(三种语言)(二)
三角形外角的性质及外角和的教案说明

《三角形外角的性质及外角和》的教案说明 筠连县第三中学 唐世举

总论

本教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析，教学模式与教法、学法，过程设计，课堂小结及评价反思。设计反映了从数学观察、数学猜想、数学证明得到三角形外角的性质定理及三角形外角和等于360°的全过程；设计中结合学生的学习实际情况，从而确定了教学活动的关键点。以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从六个环节进行具体的设计。下面从如下几个方面进行详细说明。

一、本节教学内容的数学本质

本节课位于《义务教育课程标准实验教科书》（华东师大版）七年级数学（下）第9章第一节的第二小节。其教学内容为三角形外角的性质及外角和，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，三角形的外角和等于360°。它是对图形进一步认识的重要内容之一，也是在后面证明中用以研究角相等的重要方法之一，还是计算角的度数的重要依据之一，更是角的不等关系证明的理论依据之一。本节课起着承上启下的作用。本节课的教学目标主要是学生对于三角形的外角性质以及外角和等于360°的理解和运用，并且让学生深刻体会数学说理，学生能简单的写出一些推理过程。

二、本节内容的相关介绍

本节课是基于学生学习了三角形的定义、三角形的表示、三角形的分类、三角形的高、三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的内角、三角形的外角、三角形任意一外角的相邻内角和不相邻内角以及三角形内角和等于180°的内容之后而设计。三角形的外角性质及外角和看似简单，运用却非常的灵活，角的比较、角的计算及其它们之间相互转换是平面几何入门教学的重点及难点，是贯穿于今后平面几何学习的整个过程，本节内容的地位极为重要。很多学生在学习了本节课的内容后在运用过程中仍然捉襟见肘，所以本节课的教学是十分有难度的。本节内容在与后面的有关三角形角的计算、证明、不等关系有着十分紧密的联系，特别是在与等腰三角形、全等三角形、相似三角形的这些知识的联系比较紧密；而且与高中的立体几何和三角函数知识也有一定的联系；它也会应用于物理、土木工程、机电、水利等实际的学科知识中去，从这些方面也体现了数学是一门基础学科，数学来源于生活又应用于生活。

三、教学诊断分析

本节课之前学生通过对三角形内角和定理的学习，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化仍有一定困难. 尤其是几何公理化推理过程的书写，有的学生不能正确使用数学语言表达问题、进行交流，因此在教学中注重训练学生规范的几何证明书写，鼓励学生大胆阐述自己的观点，培养学生数学交流能力，理解从特殊到一般的数学方法和转化数学思想。本节课的难点在于学生对三角形的一个外

角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角这两个性质定理的应用；学生容易出错的地方在于把握不准三角形的外角以及在应用性质定理时容易出现偏差；对于以上两点问题我们主要采取让学生首先练习多种练习题，让学生从不断地变化的图形中找到三角形的外角并且应用三角形外角性质来求角度、证明及角的大小比较。

在教学中，遵循了范.希尔夫妇几何学习模式，通过情景创设、数学观察、数学猜想、数学证明、数学应用、数学感悟六个环节来实现整堂课的构建，在不同的环节注意数学思想与方法的渗透和提炼，例如三角形外角的性质的猜想过程就渗透了数学中从特殊到一般的研究方法，对于从不同角度证明“三角形外角和等于360°”，是将“新”的问题转化为所熟悉的“旧”的问题，让学生在问题反思中不断提高自身数学素养。

四、预期效果分析

本课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。运用问题逐步引导，给学生创造一种具体问题情境、思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中发现问题、解决问题、获取新知识、提高能力、促进思维发展。因此，采用“问题驱动”的教学方式。

为突出重点，充分展现三角形的外角性质及外角和等于360°的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程：在创设情景中，要马上抓住学生的兴趣，进而快速调动学生学习本节课的热情和激情，使

其充分参与到后续内容的学习，从而形成学生愿意参与的心态。通过学生自己观察和联想，成功地猜想出2个命题，并由学生自己证明这2个命题，使猜想上升为推论。在遇到解决问题过程中的困难时，要将学生独立思考、自主探究和表达交流结合起来，通过老师由浅入深的“问题驱动”，让学生经历“不会——会——熟——巧”的学习历程，并通过问题的创设形成教师与学生、学生与学生的多向交流、多角思考，促进思维火花不断闪现。

本节课实现了因材施教的目的。一方面通过完整的例题讲解，为学生起到了很好的示范作用，规范了全体学生的几何书写，通过习题的梯度设置，及时反馈和诊断了不同学生掌握知识的情况，通过一题多解和一题多变的创设，拓展了学生的思维，提升了学生的学习能力。另一方面在解题过程中注意培养学生合理地思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的学习习惯。同时随时注意纠正学生在学习过程中的偏差，对学几何有困难的学生给予及时的帮助和鼓励。不仅如此，我还根据学情不同，学生能力的高低，以及学生的特点和兴趣，以适应不同学生的认知过程。尊重了学生的个体差异，让不同的学生在数学学习上取得不同的效果。

三角形的外角的性质(三种语言)(三)
三角形外角的性质及外角和教案

第9章 多边形 9.1.2（2）《三角形的外角性质及外角和》

教学设计

华东师范大学出版社 初中数学（2012版）

筠连县第三中学 唐世举

【教学目标】

1、再次理解什么是三角形的外角，正确辨别一外角的相邻内角和不相邻内角

2、能回忆起三角形的内角和

3、三角形的一个外角与它相邻的内角的关系

4、三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系

5、三角形的一个外角与它不相邻的一个内角的关系

6、三角形的外角和

【教学重点】

1、三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系

2、三角形的一个外角与它不相邻的一个内角的关系

3、三角形的外角和

【教学难点】

1、能够证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”.

2、了解“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的应用范围，并能解决简单问题

3、能够应用“三角形的外角和等于3600 ”进行简单的计算.

【教学方法】

在学生自主探索的基础上加以引导，在合作交流的过程中给予完善与补充．

【教具准备】直角三角板

【教学过程】

一、复习旧知，提出问题

（设计说明：利用问题回顾三角形内角、外角及内角和，并利用旧知识，发现新知识．） 问题1、口述三角形的内角、外角定义和三角形的内角和.

答：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角.

三角形中一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.

三角形的内角和等于1800.

问题2、在下图中指出△ＡＢＣ的所有外角，它的外角共有几对呢? 它们分别是什么关系？

答：外角有：∠MCA、∠NCB、∠GBC、∠FBA、∠EAB、∠DAC

共有三对

从位置关系：∠MCA与∠NCB、∠GBC与∠FBA、∠EAB与∠DAC分别是对顶角. 从数量关系：∠MCA=∠NCB、∠GBC=∠FBA、∠EAB=∠

DAC

问题3、在上图中指出其中任意一个外角的相邻内角和不相邻内角.

答：例如，与∠DAC相邻内角是∠CAB，与∠DAC不相邻内角是∠ACB、∠ABC

（教学说明：在教科书中并没有这个环节，但在教学时，这个环节是必不可少的，因为这是为探索外角的性质及外角和打基础．所以，在问题2中，首先要强调的是图形之间的关系．图形与图形之间的关系有两种，一种是位置关系，一种是数量关系．所以，当问题中只问到两个图形之间有什么关系时，学生要从两方面回答．而对于三角形的外角，教师要说明，虽然三角形一共有6个外角，但我们只取其中的三个，而这三个外角必须分别从三对对顶角中取，且每对只取一个，不能重复．）

二、探索新知，解决问题

（设计说明：学生通过计算、讨论、证明的方式探索三角形外角的性质及外角和，培养学生合作交流及逻辑思维能力．）

问题1、观察上图，三角形的一个外角和它相邻的内角的和是多少？

0答：三角形的一个外角和它相邻的内角的和是180.

问题2、观察上图，三角形的一个外角与它相邻的内角是什么关系？

答：三角形的一个外角与它相邻的内角是互补的.

问题3、三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系

（1）下图中若∠ A ＝70º ∠ B=60º, 你能求出∠ACD吗?∠ACD与 ∠A, ∠B有什么关系?

答：能求出，∠ACB=180°—70°—60°=50°(三角形内角和是180º）

即：∠ACD=180°—50°=130°（三角形的一个外角与它相邻的内角是互补的）

又∵∠ A ＝70º， ∠ B=60º（已知）

即：∠ A+∠ B=130º（等式的性质）

∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）.【三角形的外角的性质(三种语言)】

（2）想一想：任何三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系?

答：任何三角形的一个外角与它不相邻的两个内角都有这种关系.

（3）证明你的猜想：∠ ACD = ∠A + ∠B

证明：∵∠ ACB+∠A + ∠B=180°（三角形内角和等于180°）

即：180°—∠ ACB =∠A + ∠B

又∵∠ ACD+∠ ACB=180°（三角形的一个外角和它相邻的内角的和是180°）

即：180°—∠ ACB =∠ ACD

∴∠ ACD= ∠A + ∠B（同角的补角相等）

（4）填一填：如上图

∠ACD > ∠A (<、>)；∠ACD > ∠B (<、>)

三角形的外角性质：

1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

结合上图,外角的性质用几何语言叙述：

几何语言叙述性质1：∠ACD=∠A+∠B

几何语言叙述性质2：∠ACD >∠A、∠ACD >∠B

问题4、三角形的外角和等于多少？

（1）三角形的一个外角和它相邻的内角的和是多少？有几对这样的角？

0答：三角形的一个外角和它相邻的内角的和是180.

有6对这样的角.

（2）求证：∠1＋∠2 ＋∠3 ＝360°

(方法1）证明：∵∠1＋∠BAC=180°，∠2 ＋∠ABC=180°，

∠3+∠ACB=180°(三角形的一个外角和它相邻的内角的和是180°)

∴∠1＋∠2+∠3+∠BAC ＋∠ABC+∠ACB=540°(等式的性质)

∵∠BAC ＋∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和等于180°）

∴∠1＋∠2+∠3=360°（等式的性质）

（方法2）证明：∵∠1=∠ABC+∠ACB，∠2 =∠BAC+ ∠ACB

∠3=∠BAC+ ∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∴∠1＋∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+ ∠ACB+

∠BAC+ ∠ABC(等式的性质）

即：∠1＋∠2+∠3=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°（三角形内角和等于180°）

∴∠1＋∠2+∠3=360°（等量代换）

结论：三角形的外角和是360°.

（教学说明：在学生的自主探究过程中，教师要关注学生之间的交流合作，并适时加以引导，同时对学生所得出的正确结论要给肯定．同时还要强调定理证明的基本步骤，并要求学生独立完成证明过程．还体现了学生从不同角度去证明推理，不仅体现了学生的对于性质定理的应用还体现了学生的发散思维）

三、巩固训练，熟练技能

（设计说明：通过基础练习，加深对三角形外角的认识，熟练基本技能．）

1、如图所示,∠CAB的外角等于120°,∠B等于40°,则∠C 的度数是多少？

.

解析：∵∠CAD=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）

又∵∠CAD=120°，∠B=40°（已知）

∴∠C=∠CAD—∠B=120°—40°=80°.（等式的性质）

2、如下图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,∠BAC=70°. 求：（1）∠B的度数；

（2）∠C的度数.

解：（1）∵∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和） 又∵∠B＝∠BAD（已知）

∴∠ADC＝2∠B（等量代换）

∵∠ADC＝８0°（已知）

∴∠B＝40°（等式的性质）

（2）由（1）知：∠B＝40°

∵∠BAC+∠B+∠C=1８0°（三角形内角和等于180°）

∠BAC=70°（已知）

∴∠C=1８0°—∠BAC—∠B（等式的性质）

∠C=1８0°—70°—40°（等量代换）

即：∠C=70°

3、如图，AB∥CD ,∠A=40°,∠D=45°，求∠1和∠2.

解： ∵AB∥CD(已知）

∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）

又∵∠A=40°（已知）

∴∠1=40°（等量代换）

∵∠D+∠1=∠2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）

又∵ ∠D=45°（已知）

∴∠2=40°+45°（等量代换）

即：∠2=85°

4、求下列各图中∠1的度数.

图 图 图

图中： ∠1=180°—60°—30°=90°

图中： ∠1=120°—40°=80°

图中： ∠1=45°+50°=95°【三角形的外角的性质(三种语言)】

5、 把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列.

解：∵∠1是△BDE的一外角（已知）

∴∠1>∠2（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）

同理可得：∠2>∠3

综上所述：∠1>∠2>∠3

6、如下图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .

解：∵∠1是△BAN的一外角（已知）

∴∠1= ∠A＋∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）

同理： ∠2= ∠C＋∠D，∠3= ∠E＋∠F

∵ ∠1、∠2、∠3是△PMN的三外角（已知）

∴ ∠1+∠2+∠3 =360°（三角形的外角和是360°） 即：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=∠1+∠2+∠3 =360° （等式的性质）

（教学说明：这六道练习题主要是考查学生对三角形外角的性质、外角和的应用，具有一定的难度，所以教师应给学生充足的思考时间，并让学生以所学的基础知识为出发点进行充分的合作交流，共同解决问题．）

四、反思总结，情意发展

（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。） 问题1：本节课你学习了什么?

问题2：本节课你有哪些收获?

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）

五、课堂小结，巩固知识

1．本节主要学习三角形的外角的性质及外角和．

2．注意的问题：

（1）三角形的外角是由三角形一边的反向延长线与另一边所组成的角．

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

三角形的外角的性质(三种语言)(四)
三角形外角的性质及应用

三角形外角的性质及应用

蔡志武 阮正法

角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征

如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。

图1

外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质

1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。

2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用

1. 求角的度数

例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（ ） A. 115°

B. 120°

C. 125°

D. 130°

解析：如图2，∠A的外角为：180°55=125°。 ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。

图2

例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（A. 23°

B. 42°

C. 65°

D. 19°

图3

）

解析：延长BE交CD于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED是△EDF的外角

则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C。

例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（A.

1

112

 B.

3

 C.

4

 D.

2

3



图4

解析：设∠EDC=x° 因为∠ADC是△ABD的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+

（1）

因为AB=AC，AD=AE 所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED

）

而∠AED是△DEC的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2）

将（2）代入（1）得： xCxABC

所以x

12

 所以选A。

2. 判定三角形的形状

例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

D. 以上三种情况都有可能

解析：如图5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD<∠BAC 而∠CAD+∠BAC=180° 即：∠CAD=180°－∠BAC 所以180°－∠BAC<∠BAC 所以∠BAC>90° 故选C

）

图5

3. 证明两角相等

例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=∠B，AD=DE。求证：△ADB≌△DEC。

图6

分析：因为∠ADC是△ADB的外角 所以∠ADC=∠B+∠BAD

而∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE 所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD 因此∠BAD=∠CDE 又AB=AC，可得∠B=∠C 而AD=DE

三角形的外角的性质(三种语言)(五)
三角形外角的性质及应用

三角形外角的性质及应用

蔡志武 阮正法

角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征

如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。

图1

外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质

1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。

2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数

例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（ ） A. 115°

B. 120°

C. 125°

D. 130°

解析：如图2，∠A的外角为：180°55=125°。 ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。

图2

例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（A. 23°

B. 42°

C. 65°

D. 19°

图3

解析：延长BE交CD于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED是△EDF的外角

则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C。

例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（ A.

1

 112

B.

3

 C.

4

 D.

2

3

 ） ）

图4

解析：设∠EDC=x° 因为∠ADC是△ABD的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+ （1）

因为AB=AC，AD=AE 所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED 而∠AED是△DEC的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2）

将（2）代入（1）得： xCxABC【三角形的外角的性质(三种语言)】

所以x

12

 所以选A。

2. 判定三角形的形状

例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

D. 以上三种情况都有可能

解析：如图5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD<∠BAC 而∠CAD+∠BAC=180° 即：∠CAD=180°－∠BAC 所以180°－∠BAC<∠BAC 所以∠BAC>90° 故选C

）

图5

3. 证明两角相等

例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=∠B，AD=DE。求证：△ADB≌△DEC。

图6

分析：因为∠ADC是△ADB的外角 所以∠ADC=∠B+∠BAD

而∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE 所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD 因此∠BAD=∠CDE 又AB=AC，可得∠B=∠C 而AD=DE

所以△ADB≌△DEC

例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD则△ABC的边长为（ ） A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

2

，3

图7

分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠B=∠C=60° 又因为∠APC是△ABP的外角 所以∠APC=∠B+∠BAP 而∠B=∠APD=60° 所以∠BAP=∠CPD

又∠B=∠C，所以△ABP∽△PCD 所以

ABBP

。 

PCCD

x1 x12

3

设△ABC边长为x，则

解得x=3 故选A

4. 证明角度不等关系

例7. 已知，如图8，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC。

图8

证明：延长BD交AC于E 在△ABE中，∠BEC>∠A 在△CDE中，∠BDC>∠BEC 所以∠BDC>∠A