泰州一模2015数学

泰州一模2015数学(一)
泰州市2015届高三一模数学试题

2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．（5分）（2015•泰州一模）已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=

【考点】： 交集及其运算．

【专题】： 集合．

【分析】： 由A与B，求出两集合的交集即可．

【解析】： 解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，

∴A∩B={3，4}．

故答案为：{3，4}

【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2015•泰州一模）函数f（x）=2sin（

3x+

【考点】： 三角函数的周期性及其求法．

【专题】： 计算题．

【分析】： 由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=

【解析】： 解：函数f（x）=2sin（

3x+

∵ω=3，∴T=

故答案为： ．

）， ，即可求出函数的最小正周期． ）的最小正周期T=

．

【点评】： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．

3．（5分）（2015•泰州一模）复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=．

【考点】： 复数代数形式的乘除运算．

【专题】： 数系的扩充和复数．

【分析】： 利用复数的运算法则即可得出．

【解析】： 解：∵iz=3+4i，

∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），

∴z=4﹣3i，

故答案为：4﹣3i．

【点评】： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

4．（5分）（2015•泰州一模）函数

y=

的定义域为 [2，+∞） ．

【考点】： 函数的定义域及其求法．

【专题】： 计算题；函数的性质及应用．

【分析】： 由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．

【解析】： 解：由2﹣4≥0，得2≥4，则x≥2．

∴函数

y=的定义域为[2，+∞）． xx

故答案为：[2，+∞）．

【点评】： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．

5．（5分）（2015•泰州一模）执行如图所示的流程图，则输出的n为 4 ．

【考点】： 程序框图．

【专题】： 图表型；算法和程序框图．

【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．

【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得

S=511，n=1

满足条件S＞63，S=255，n=2

满足条件S＞63，S=127，n=3

满足条件S＞63，S=63，n=4

不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．

故答案为：4．

【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．

6．（5分）（2015•泰州一模）若数据2，x，2，2的方差为0，则x

【考点】： 极差、方差与标准差．

【专题】： 概率与统计．

【分析】： 由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．

【解析】： 解：因为数据2，x，2，2的方差为0

，由其平均数为

=0，解得x=2；

故答案为：2． ，得到

【点评】： 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题

7．（5分）（2015•泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为

【考点】： 古典概型及其概率计算公式．

【专题】： 排列组合．

【分析】： 从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可

【解析】： 解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，

故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；

故答案为：．

【点评】： 本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题

8．（5分）（2015•泰州一模）等比数列an中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为

【考点】： 等比数列的通项公式．

【专题】： 等差数列与等比数列．

【分析】： 根据a1+32a6=0，求出公比q的值，再根据a3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6．

【解析】： 解：∵等比数列{an}中，a1+32a6=0，

∴q=5 ． =

﹣，

即公比q=

﹣；

又∵a3a4a5=1，

∴a4=1，

∴a1=

==﹣8；

∴该数列的前6项和为

S6

===﹣．

故答案为：﹣．

【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．

9．（5分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）

=

sinα= ﹣1 ．

【考点】： 函数奇偶性的性质．

【专题】： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．

【分析】： 由已知中函数f（x）

=是奇函数，可得cos（x+α）是奇函数，则=sinx恒成立，进而α=

﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．

【解析】： 解：当x＜0时，﹣x＞0，

则f（x）=﹣x+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）+sin（﹣x）=x﹣sinx，

∵函数f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），

∴cos（x+α）=sinx恒成立，

∴α=

﹣+2kπ，k∈Z， 222

∴sinα=﹣1，

故答案为：﹣1

【点评】： 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．

10．（5分）（2015•

泰州一模）双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=

【考点】： 双曲线的简单性质． ．

【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】： 求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．

【解析】：

解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），

右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0

的距离为：==b，

右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，

由题意可得，

b=（a+c），

即有4b=a+c+2ac，即4（c﹣a）=a+c+2ac，

即3c﹣5a﹣2ac=0，

由e=，则有3e﹣2e﹣5=0，

解得，

e=．

故答案为：．

【点评】： 本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．

11．（5分）（2015•泰州一模）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ②④ ．（写出所有真命题的序号）

①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．

②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．

③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．

④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．

【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】： 空间位置关系与距离．

【分析】： 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．

【解析】： 解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；

对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；

对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；

对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；

故答案为：②④．

【点评】： 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．

12．（5分）（2015•泰州一模）已知实数a，b，c满足a+b=c，c≠0

，则

．

【考点】： 基本不等式．

【专题】： 不等式的解法及应用． 2222222222222的取值范围为

泰州一模2015数学(二)
江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试数学试题(一模)

泰州市2015届高三第一次模拟考试

数 学 试 题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：朱占奎 张 俊 吴春胜 审题人：丁凤桂 石志群

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． （参考公式：S

2

1

[(x1)2(x2)2n

(xn)2]，

1

(x1x2n

xn)）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1.已知A1,3,4，B3,4,5，则A2.函数f(x)sin(3x

B．



6

) 的最小正周期为．

3.复数z满足iz34i（i是虚数单位），则z

． 4.函数f(x)

的定义域为．

5.执行如右图所示的流程图，则输出的n为 6.若数据2,x,2,2的方差为0，则x

7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．

8.等比数列{an}中，a132a60，a3a4a51，则数列的前6项和为．

x2sinx,x09.已知函数f(x)2是奇函数，则sin ▲ ．

xcos(x),x0

x2y2

10.双曲线221的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的

ab

离心率e ▲ ．

11.若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（写出所有真命题的序号） ①若直线

m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线．

1页 共4页 高三数学试卷第

②若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直． ③若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线． ④若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线． 12.已知实数a,b,c满足abc，c0，则

2

2

2

b

的取值范围为 ▲ ． a2c

2

2

2

13.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B

C且7abc则ABC面积的最大值为 ▲ ．

14.在梯形ABCD中，AB2DC，BC6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足

APBP4DP=0，DACBDADP，Q为边AD上的一个动点，则PQ的最小值

为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点P(3,4)． （１）求sin(



4

)的值；

（２）若P关于x轴的对称点为Q，求OPOQ的值．

16.（本题满分14分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC,BD相交于点O，EF//AB，

AB2EF，平面BCF平面ABCD，BFCF，点G为BC的中点． （1）求证：直线OG//平面EFCD；

（2）求证：直线AC平面ODE．

2页 共4页 高三数学试卷第

17.（本题满分14分）

如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道

ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两B、CD个顶点A、B在半圆上， AB//CD//PQ，且A

的周长为ckm．

（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长； （2）求周长c的最大值．

18.（本题满分16分）

间的距离为1km．设四边形ABCD

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C:221(ab0)的左顶

ab2

点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P,Q两点，直线PA,QA分别

与y轴交于M,N两点．若直线PQ斜率为（1）求椭圆C的标准方程；

时，PQ 2

（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

3页 共4

高三数学试卷第

19.（（本题满分16分）

数列an，bn，cn满足：bnan2an1，cnan12an22，nN*． （1）若数列an是等差数列，求证：数列bn是等差数列；

（2）若数列bn，cn都是等差数列，求证：数列an从第二项起为等差数列； （3）若数列bn是等差数列，试判断当b1a30时，数列an是否成等差数列？证明你的结论．

20.（本题满分16分） 已知函数f(x)lnx















1

，g(x)axb． x

(1)若函数h(x)f(x)g(x)在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围； (2) 若直线g(x)axb是函数f(x)lnx

1

图象的切线，求ab的最小值； x

2

(3)当b0时，若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)，求证：x1x22e． （取e为2.8，取ln2为0.7

1.4）

泰州市2015届高三第一次模拟考试

数 学 试 题(附加题)

(考试时间：30分钟 总分：40分)

21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前

4页 共4页 高三数学试卷第

两题记分．

A．（本小题满分10分，几何证明选讲）

如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B,C，连结EC． 求证：DEBDCE．

B．（本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵A

10121

，，若矩阵AB对应的变换把直线l变为直线B

0201

l:xy20，求直线l的方程．

C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为

x2cos

（为参数）．以原点O为

y2sin

极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(sincos)1，直线l与圆M相交于A,B两点，求弦AB的长． D．（本小题满分10分，不等式选讲） 已知正实数a,b,c满足abc3，求证：

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（(本小题满分10分)

如图，在长方体ABCDABCD中，DADC2，DD1，AC与BD

相交于

5页 共4页 高三数学试卷第

bca3． a2b2c2

泰州一模2015数学(三)
江苏省泰州市2015届高三一模数学试卷【名师解析】

2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．（5分）（2015•泰州一模）已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=

【考点】： 交集及其运算． 【专题】： 集合．

【分析】： 由A与B，求出两集合的交集即可． 【解析】： 解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}， ∴A∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}

【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2015•泰州一模）函数f（x）=2sin（

3x+）的最小正周期T=

．

【考点】： 三角函数的周期性及其求法． 【专题】： 计算题．

【分析】： 由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期． 【解析】： 解：函数f（x）=2sin（

3x+），

∵ω=3，∴T=．

故答案为：

【点评】： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．

3．（5分）（2015•泰州一模）复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=．

【考点】： 复数代数形式的乘除运算． 【专题】： 数系的扩充和复数．

【分析】： 利用复数的运算法则即可得出． 【解析】： 解：∵iz=3+4i， ∴﹣i•iz=﹣i（3+4i）， ∴z=4﹣3i， 故答案为：4﹣3i．

【点评】： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

4．（5分）（2015•泰州一模）函数

y=

的定义域为 [2，+∞） ．

【考点】： 函数的定义域及其求法． 【专题】： 计算题；函数的性质及应用．

【分析】： 由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式． 【解析】： 解：由2x

﹣4≥0，得2x

≥4，则x≥2． ∴函数

y=

的定义域为[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

【点评】： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．

5．（5分）（2015•泰州一模）执行如图所示的流程图，则输出的n为

【考点】： 程序框图．

【专题】： 图表型；算法和程序框图．

【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．

【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得 S=511，n=1

满足条件S＞63，S=255，n=2 满足条件S＞63，S=127，n=3 满足条件S＞63，S=63，n=4

不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4． 故答案为：4．

【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．

6．（5分）（2015•泰州一模）若数据2，x，2，2的方差为0，则x

【考点】： 极差、方差与标准差． 【专题】： 概率与统计．

【分析】： 由已知利用方差公式得到关于x的方程解之． 【解析】： 解：因为数据2，x，2，2的方差为0，

由其平均数为，

得到=0，

解得x=2； 故答案为：2．

【点评】： 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题

7．（5分）（2015•泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为

．

【考点】： 古典概型及其概率计算公式． 【专题】： 排列组合．

【分析】： 从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可

【解析】： 解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，

故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率

P=

=；

故答案为：．

【点评】： 本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题

8．（5分）（2015•泰州一模）等比数列an中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为

【考点】： 等比数列的通项公式． 【专题】： 等差数列与等比数列．

【分析】： 根据a1+32a6=0，求出公比q的值，再根据a3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6． 【解析】： 解：∵等比数列{an}中，a1+32a6=0， ∴q5

=

=

﹣，

即公比q=

﹣；

又∵a3a4a5=1， ∴a4=1， ∴a1

=

=

=﹣8；

∴该数列的前6项和为

S6=

==﹣．

故答案为：﹣．

【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．

9．（5分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）

=是奇函数，则sinα= ﹣1 ．

【考点】： 函数奇偶性的性质．

【专题】： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 【分析】： 由已知中函数f（x）=

是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=

﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．

【解析】： 解：当x＜0时，﹣x＞0，

则f（x）=﹣x2

+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2

+sin（﹣x）=x2

﹣sinx， ∵函数f（x）是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），

∴cos（x+α）=sinx恒成立， ∴α=

﹣

+2kπ，k∈Z，

∴sinα=﹣1， 故答案为：﹣1

【点评】： 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．

10．（5分）（2015•

泰州一模）双曲线

﹣

=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离

心率e=

．

【考点】： 双曲线的简单性质．

【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】： 求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、

b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．

【解析】：

解：双曲线

﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），

右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0

的距离为：

==b，

右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c， 由题意可得，

b=（a+c），

即有4b2

=a2

+c2

+2ac，即4（c2

﹣a2

）=a2

+c2

+2ac， 即3c2

﹣5a2﹣2ac=0， 由

e=，则有3e2

﹣2e﹣5=0， 解得，e=．

故答案为：．

【点评】： 本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．

11．（5分）（2015•泰州一模）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ②④ ．（写出所有真命题的序号）

①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线． ②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直． ③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线． ④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．

【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】： 空间位置关系与距离．

【分析】： 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．

【解析】： 解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；

对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误； 对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确； 故答案为：②④．

【点评】： 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．

12．（5分）（2015•泰州一模）已知实数a，b，c满足a2

+b2

=c2

，c≠0

，则的取值范围为

．

【考点】： 基本不等式．

【专题】： 不等式的解法及应用．

【分析】： 实数a，b，c满足a2+b2=c2

，c≠0

，化为

=1，令=cosθ

，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得

k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2

=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即

可得出．

【解析】： 解：∵实数a，b，c满足a2

+b2

=c2

，c≠0， ∴

=1，

令=cosθ

，=sinθ，θ∈[0，2π）．

∴

k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2

=1上的点连线的直线的斜率．

设直线l：y=k（x﹣2）， 则

，

化为，

解得．

∴

的取值范围为

．

故答案为：【泰州一模2015数学】

．

【点评】： 本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13．（5分）（2015•泰州一模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2

+b2

+c2

=4，

则△ABC的面积的最大值为

．

【考点】： 余弦定理；正弦定理． 【专题】： 解三角形．

【分析】： 由∠B=∠C得b=c，代入7a2

+b2

+c2

=4

化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三

角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值． 【解析】： 解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2

+b2

+c2

=4得，

7a2

+2b2

=4

，即2b2

=4

﹣7a2

，

由余弦定理得，

cosC=

=，

所以

sinC=【泰州一模2015数学】

=

=

，

则△ABC的面积

S=

=

=a

==×

≤××

=

=，

当且仅当15a2

=8

﹣15a2

取等号，此时a2

=

，

所以△ABC的面积的最大值为，

故答案为：

．

【点评】： 本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．

14．（5分）（2015•泰州一模）在梯形ABCD

中，

=2

，

=6，P为梯形ABCD

所在平面上一点，且满足

+

+4

=，•

=•，Q为边AD

上的一个动点，则的最小值为

．

【考点】： 向量的加法及其几何意义． 【专题】： 平面向量及应用． 【分析】： 画图，

根据向量的几何意义和

+

+4

=，

可求出

=2，|

|=4，设∠ADP=θ，

根据

•

=

•

，

求出cosθ，继而求出sinθ

，再根据射影定理得到的最小值

【解析】： 解：取AB的中点，连接PE， ∵

=2， ∴

=2

，

∴=，

∴四边形DEBC为平行四边形，

∴=， ∵

+=﹣2

，

+

+4

=，

∴

=2

，

∵=6，

∴

=2，||=4，

设∠ADP=θ， ∵

•

=

•

，

∴

•=|||

|cosθ=•，

∴cosθ=， ∴

sinθ=

，

当

⊥时，最小，

∴

=|DP|sinθ|=2×=

故答案为：

【点评】： 本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（14分）（2015•泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）． （1）求sin（

α+

）的值；

（2）若P关于x轴的对称点为Q

，求

•

的值．

【考点】： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数． 【专题】： 平面向量及应用．

【分析】： （1）由已知的α的三角函数值，然后利用两角和的正弦公式求值； （2）由已知求出Q

的坐标，明确

，

的坐标，利用数量积公式解答．

【解析】： 解：（1）∵角α的终边经过点P（3，4

），∴，…（4分） ∴

．…（7分）

（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q， ∴Q（3，﹣4）．…（9分） ∴，

∴

． …（14分）

【点评】： 本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算．属于基础题．

16．（14分）（2015•泰州一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点． （1）求证：直线OG∥平面EFCD； （2）求证：直线AC⊥平面ODE．

【考点】： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】： 空间位置关系与距离．

【分析】： （1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可． 【解析】： 证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点， ∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）

又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（7分） （2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，

∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…（9分）

∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC， ∵

，

，∴OG∥EF，OG=EF，

∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）

∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO， ∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内， ∴AC⊥平面ODE．…（14分）

【点评】： 本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．

17．（14分）（2015•泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm． （1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长； （2）求周长c的最大值．

【考点】： 三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．

【专题】： 计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值．

【分析】： （1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质， 结合勾股定理计算即可得到AB的长；

（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（

sinθ+cosθ+

），

再由

≤

（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．

【解析】： （1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，

泰州一模2015数学(四)
高三数学-泰州市2015届高三数学一模试卷

2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B= ．

2．函数f（x）=2sin（3x+

3．复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z= ．

4．函数y=

5．执行如图所示的流程图，则输出的n为．

的定义域为． ）的最小正周期T=．

6．若数据2，x，2，2的方差为0，则x．

7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ．

8．等比数列an中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为．

9．已知函数f（x）=

10．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心是奇函数，则sinα=． 率e= ．

11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．

②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．

③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．

④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．

12．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则

13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4则△ABC的面积的最大值为 ．

14．在梯形ABCD中， =2， =6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足+，的取值范围为 ． +4

=， •=•，Q为边AD上的一个动点，则 的最小值为．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．

（1）求sin（α+）的值；

•的值． （2）若P关于x轴的对称点为Q，求

16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．

（1）求证：直线OG∥平面EFCD；

（2）求证：直线AC⊥平面ODE．

17．如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．

（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；

（2）求周长c的最大值．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论． 时，PQ=2．

19．数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an﹣2an+1，cn=an+1+2an+2﹣2，n∈N*．

（1）若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；

（2）若数列{bn}，{cn}都是等差数列，求证：数列{an}从第二项起为等差数列； （3）若数列{bn}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．

20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．

（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值； （3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．

（取e为2.8，取ln2为0.7，取

三、选做题共4小题，满分20分

为1.4）

【几何证明选讲】

21．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．

求证：∠DEB=∠DCE．

【矩阵与变换】

22．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l的方程．

【坐标系与参数方程选讲】

23．己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．

【不等式选讲】

24．已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：

四、解答题（共2小题，满分20分）

++≥3．

泰州一模2015数学(五)
江苏省泰州市2015届高三一模数学试题(含答案)

江苏省泰州市2015届高三一模数学试题

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．（5分）（2015•泰州一模）已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=

【考点】： 交集及其运算．

【专题】： 集合．

【分析】： 由A与B，求出两集合的交集即可．

【解析】： 解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，【泰州一模2015数学】

∴A∩B={3，4}．

故答案为：{3，4}

【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2015•泰州一模）函数f（x）=2sin（

3x+

【考点】： 三角函数的周期性及其求法．

【专题】： 计算题．

【分析】： 由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=

【解析】： 解：函数f（x）=2sin（

3x+

∵ω=3，∴T=

故答案为： ．

）， ，即可求出函数的最小正周期． ）的最小正周期T=

．

【点评】： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．

3．（5分）（2015•泰州一模）复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=．

【考点】： 复数代数形式的乘除运算．

【专题】： 数系的扩充和复数．

【分析】： 利用复数的运算法则即可得出．

【解析】： 解：∵iz=3+4i，

∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），

∴z=4﹣3i，

故答案为：4﹣3i．

【点评】： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

4．（5分）（2015•泰州一模）函数

y=

【考点】： 函数的定义域及其求法．

【专题】： 计算题；函数的性质及应用． 的定义域为．

【分析】： 由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．

【解析】： 解：由2﹣4≥0，得2≥4，则x≥2．

∴函数

y=的定义域为[2，+∞）． xx

故答案为：[2，+∞）．

【点评】： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．

5．（5分）（2015•泰州一模）执行如图所示的流程图，则输出的n为 4 ．

【考点】： 程序框图．

【专题】： 图表型；算法和程序框图．

【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．

【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得

S=511，n=1

满足条件S＞63，S=255，n=2

满足条件S＞63，S=127，n=3

满足条件S＞63，S=63，n=4

不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．

故答案为：4．

【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．

6．（5分）（2015•泰州一模）若数据2，x，2，2的方差为0，则x

【考点】： 极差、方差与标准差．

【专题】： 概率与统计．

【分析】： 由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．

【解析】： 解：因为数据2，x，2，2的方差为0

，由其平均数为

=0，解得x=2；

故答案为：2． ，得到

【点评】： 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题

7．（5分）（2015•泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为

【考点】： 古典概型及其概率计算公式．

【专题】： 排列组合．

【分析】： 从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可

【解析】： 解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，

故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；

故答案为：．

【点评】： 本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题

8．（5分）（2015•泰州一模）等比数列an中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为

【考点】： 等比数列的通项公式．

【专题】： 等差数列与等比数列．

【分析】： 根据a1+32a6=0，求出公比q的值，再根据a3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6．

【解析】： 解：∵等比数列{an}中，a1+32a6=0，

∴q=5 ． =

﹣，

即公比q=

﹣；

又∵a3a4a5=1，

∴a4=1，

∴a1=

==﹣8；

∴该数列的前6项和为

S6

=

==﹣．

故答案为：﹣．

【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．

9．（5分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）

=

sinα= ﹣1 ．

【考点】： 函数奇偶性的性质．

【专题】： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．

【分析】： 由已知中函数f（x）

=是奇函数，可得cos（x+α）是奇函数，则=sinx恒成立，进而α=

﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．

【解析】： 解：当x＜0时，﹣x＞0，

则f（x）=﹣x+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）+sin（﹣x）=x﹣sinx，

∵函数f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），

∴cos（x+α）=sinx恒成立，

∴α=

﹣+2kπ，k∈Z， 222

∴sinα=﹣1，

故答案为：﹣1

【点评】： 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．

10．（5分）（2015•

泰州一模）双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=

【考点】： 双曲线的简单性质． ．

【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】： 求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．

【解析】：

解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），

右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0

的距离为：==b，

右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，

由题意可得，

b=（a+c），

即有4b=a+c+2ac，即4（c﹣a）=a+c+2ac，

即3c﹣5a﹣2ac=0，

由e=，则有3e﹣2e﹣5=0，

解得，

e=．

故答案为：．

【点评】： 本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．

11．（5分）（2015•泰州一模）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ②④ ．（写出所有真命题的序号）

①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．

②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．

③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．

④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．

【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】： 空间位置关系与距离．

【分析】： 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．

【解析】： 解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；

对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；

对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；

对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；

故答案为：②④．

【点评】： 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．

12．（5分）（2015•泰州一模）已知实数a，b，c满足a+b=c，c≠0

，则

．

【考点】： 基本不等式．

【专题】： 不等式的解法及应用． 2222222222222的取值范围为