3元1次方程组

3元1次方程组(一)
3元一次方程组解法

次

本周目标：

会解三元一次方程组．通过解三元一次方程组的学习，提高逻辑思维能力.培养抽象概括的数学能力．

重点、难点：

三元一次方程组的解法．解法的技巧．

重点难点分析：

1.三元一次方程的概念

三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念

一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.

例如， 等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是：

3.三元一次方程组的解法

（1）解三元一次方程组的基本思想

解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.

（2）怎样解三元一次方程组？

解三元一次方程组例题

1.解方程组

法一：代入法

分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解．

解：由（2），得 x=y+1． （4）

将（4）分别代入（1）、（3）得

解这个方程组，得

把y=9代入（4），得x=10．

因此，方程组的解是

法二：加减法

解：（3）-（1），得 x-2y=-8 （4）

由（2），（4）组成方程组

解这个方程组，得

把x=10，y=9代入（1）中，得 z=7．

因此，方程组的解是

法三：技巧法

分析：发现（1）＋（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组

解：由（1）＋（2）-（3），得 y=9．

把y=9代入（2），得 x=10．

把x=10，y=9代入（1），得 z=7．

因此，方程组的解是

注意：

（1）解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出.

（2）从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确

求解方程组．

2.解方程组

分析：在这个方程组中，方程（1）只含有两个未知数x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组．

解：（2）×3＋（3），得11x＋7z=29， （4）

把方程（1），（4）组成方程组

解这个方程组，得，

把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y=

因此，方程组的解是

3.解方程组 分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数. 解：（1）＋（3），得 5x+5y=25．（4） （2）＋（3）×2，得 5x+7y=31．（5）

由（4）与（5）组成方程组

解这个方程组，得

把x=2，y=3代入（1），得3×2+2×3＋z=13，

所以 z=1．

因此，方程组的解是

4.解方程组

分析：题目中的y:x=3:2,即y=

法一：代入法

解：由（2）得x=y (4)

由（3）得z= (5)

将（4），（5）代入（1），得+y+y=111

所以 y=45．

把y=45分别代入（4）、（5），得x=30，z=36．

因此，方程组的解是

法二：技巧法【3元1次方程组】

分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12．因此，可设x=10k，y=15k，z=12k．将它们一起代入（1）中求出k值，从而求出x、y、z的值．

解：由（2），得x∶y=2∶3，

即x∶y=10∶15．

由（3），得y∶z=5∶4，

即y∶z=15∶12．

所以 x∶y∶z=10∶15∶12．

设x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111，

所以 k=3．

故x=30，y=45，z=36．

因此，方程组的解是

5.解方程组 分析：

1) 观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数？

2) 为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)中z一项的系数是-1，所以未

知数z易消.

3) 怎样在(1)和(2)中消去z?

4) 解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少？

5) 怎样去求z的值？能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z？

解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 … (4)

(3)×3-(2) 得7x-y=35 … (5)

(4)、(5)组成方程组

解得

把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18,

所以z=-3, 所以

总结：解三元一次方程组的一般步骤：

1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程

组；

2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；

3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；

4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

5.将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起，即可.

练习：

1．解方程组

3元1次方程组(二)
3元1次方程组阮灏锦

三元一次方程解法举例

---波利亚的解题思路

三元一次方程组是人教版七年级下册第八章的内容，在此之前学生已学习二元一次方程组的概念、解法、应用.在学习这些知识的过程中，学生已经感受到二元一次方程组和上学期所学一元一次方程都能作为一种工具来应用于实际问题的解决，也能深刻的体会解二元一次方程组中的“消元”思想.本节在此基础上，拓展学生的视野，通过实际问题引入三元一次方程组，让学生进一步体会“消元”思想，掌握三元一次方程组的求解，为认识利用三元一次方程组这一数学模型解决问题打下基础.因此，为了培养学生独立思考、发现创造以及如何解题等能力，本文基于波利亚的解题思路下对三元一个方程组的解法举例进行教学设计。

教学设计

教学目的：

1.通过本小节内容进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法。

2.使学生会解简单的三元一次方程组。

3.提高学生解题能力，养成良好的思维习惯。

教学重点：1.会解简单的三元一次方程组。2.学会数学解题的一个基本思维过程。 教学难点：解法技巧性强，认真观察方程组中各方程系数的特点，选择最好方法。 教学过程：

三元一次方程组例题引入

甲、乙、丙三个数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，

求这三个数。

按波利亚的解题思路-----怎样解题表

以下是老师和学生的对话：

1.弄清问题

求什么？

甲，乙，丙三个数

已知的条件是什么？

甲，乙，丙3者之间的数量关系

我们之前对于这类已知未知数的数量关系，求未知数的应用题是怎么做的啊？ 设未知数，列方程组求解

没错，如果我们将甲数，乙数，丙数分别设为x,y,z，那么我们的方程组应如何列？ xyz26 xy1

2xzy18

2.拟定计划

你以前见过这类方程组吗？

好像见过

那么，你能想到它和我们以前学习的什么方程组很像？

二元一次方程组！

对了，如果把舍去一条方程，再去掉一个元，xy26方程组就变成我们熟悉的二

xy1

元一次方程组，当时我们是通过什么方法求解的？

通过代人消元法、加减消元法，将二元一次方程组变换成一元一次方程，从而得到求解结果。

xyz26相对于现在遇到的问题，xy1三元一次方程的求解，你会吗？尝试一下！

2xzy18

3.实现计划

解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z根据题意得：

(1)xyz26  (2)xy1

2xzy18 (3)

这三个方程都有三个未知数，每个方程未知数的次数都是一，并且一共有三个方程，这

就是三元一次方程组。

由（2）得 x=1+y （4）

把（4）分别代入（1）、（3）得

2yz25yz16

解这个二元一次方程组得y9

z7

把y=9代入（2）得 x=10

x10

所以方程组的解是y9

z7

4.回顾反思

如何检验你算出的结果是否正确？

代回方程里检验

解三元一次方程的方法是什么，它们的实质是什么？

你能不能将这种方法用于其他题目呢？

问题 在等式yax2bxc中，当x＝－1时y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a、b、c的值．

分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．

解：根据题意得三元一次方程组

abc0,

4a2bc3,

25a5bc60.① ② ③

②-①，得

a＋b＝1； ④

③-①，得

4a＋b＝10． ⑤

④与⑤组成二元一次方程组

ab1, 4ab10.

解之

把a3,

b2.代入①，得

因此，

答：a＝3，b＝－2，c＝－5． a3,2. bc＝－5． a3,b2, c5.

3元1次方程组(三)
三元一次方程组计算专项练习90题(有答案)ok

三元一次方程组专项练习90题（有答案）

1．

．

2．． 3． 4．

．

5.

6．．

三元一次方程组--- 1

7． 8．． 9．． 三元一次方程组--- 10．．

11．．

12．．

2

14．． 15．． 三元一次方程组---

17．．

18．．

3【3元1次方程组】

20．． 21．

． 三元一次方程组---

23．．

24．已知方程组

的解能使等式

4x﹣6y=10成立，求m的值．

4【3元1次方程组】

25．当a为何值时，方程组的解x、

y的值互为相反数．

26．

27．

．

三元一次方程组---

28．

．

29．已知方程组的解x、y的和为12， 求n的值．

30．已知方程组

的解满足3x﹣

4y=14，

求a的值．

（1）31．

5

3元1次方程组(四)
三元一次方程组解法复习讲义附习题[1]

三元一次方程组解法和利用方程组解决实际问题知识归纳

(1)、三元一次方程的概念

三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。

(2)、三元一次方程组的概念

一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。

(3)、三元一次方程组的解法

（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。

（2）三元一次方程组解题的基本步骤：

①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。

②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。

典例剖析：

2x6y3z6①

例 解方程组3x15y7z6②

4x9y4z9③

思路探索：此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x，由①和②，①和③两次消元，得到关于y,z的二元一次方程组，最后求x。

解析：①×3,得 6x＋18y＋9z=18④

②×2,得 6x＋30y＋14z=12⑤

⑤－④,得 12y＋5z=－6⑥

①×2，得4x＋12y＋6z=12⑦

⑦－③, 得21y＋2z=3⑧

112y5z6y由⑥和⑧组成方程组， 解这个方程组，得3 21y2z3z2

把y=1

3, z=－2代入①，得2x＋6×1

3＋3×(－2)=6, ∴ x=5

x5

1 ∴y 3

z2

规律总结：解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的一步是由三“元”化为二“元”，特别注意两次消元过程中，方程组中每个方程至少要用到1次，并且(1)，(2)，(3)3个方程中先由哪两个方程消某一个未知数，再由哪两个方程（一个是用过的）仍然消这个未知数，防止第一次消去y，第二次消去z或x，仍然得到三元一次方程组，没有达到消“元”的目的。

课时训练试题：

解下列方程组



4x9y12y2x7

 （1）5x3y2z2 （2）3y2z1

3x4z437x5z44

3xy74x9z17

（3）y4z3 （4）3xy15z18

2x2z5x2y3z2

7x6y7z1002x4y3z9

（5）x2yz0 （6）3x2y5z11

3xy2z05x6y8z0

3x2yz32x6y3z6

（7）2xyz4 （8）3x12y7z3

4x3y2z104x3y4z11

xy1x:y:z1:2:3（9） （10）yz2

2xy3z15zx3

（三）实际问题与二元一次方程：

1.利用二元一次方程组解决问题的基本过程：

2.实际问题向数学问题的转化：

3.设未知数有两种设元方法——直接设元、间接设元.

当直接设元不易列出方程时，用间接设元.在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元

4. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案.

5.常见题型有以下几种情形：

（1）和、差、倍、分问题。

此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。

• 例1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5

辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

• 分析：等量关系一次运货的总吨数。

（2）行程问题（基本关系：路程＝速度×时间。）

相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

① 同时不同地：甲的时间=乙的时间

甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程

② 同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差

甲的路程=乙的路程

环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是：

顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；

逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。

车上（离）桥问题：

①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。 ②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个成长 ③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长

④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长

行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

例2、张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行。如果张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；如果他

3元1次方程组(五)
6.10(1) 三元一次方程组及其解法

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