华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学七年级下册(一)
华师大版七年级数学下册全册教案

七年级下册数学教学工作计划

一、学生的基本情况：

2016级2班数学上期期末考试的成绩不很理想。2016级2班平均分：68分，及格率 30%，优生人数1

人。学生已经开始出现两极分化的苗头。优生的数学思维得到了锻炼和培养，数学知识掌握得较牢固；

而差生的智力和知识发展得较差，数学知识上一些基本的内容还很模糊，课堂上参与度不高，有时还需

要教师提醒。上学期学生学习了有理数及其相关运算，整式的加减，相交线与平行线，学生数学上的计

算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑

思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好

的发展，但有一部分同学没有达到应该达到的发展高度，学生课外自主拓展知识的能力几乎没有，学生

手中的与数学有关的课外辅导书甚少，学生不能自行拓展与加深自己的知识面；通过教育与训练培养，

绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问

题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，课堂整体表现活跃，积极开动脑筋，学生乐于合

作学习，分享交流自己的发现，学生喜欢动手实验，对老师布置的思考题表现出较浓厚的兴趣，部分学

生撰写小论文，提高了学生的素质；学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理

想，这与我在教学中不提倡课前预习，少做笔记有关，我认为课前预习易使学生囿于教材框定的范围和

思考方法，不利于发散思维能力的培养，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课

堂上就把时间有在思考问题上，而不应该用在当“打字员”上，本学期要思考如何克服课前预习、课堂

上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，

课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表

扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法

上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需

要加强训练与培养。

二、教材分析：

本学期的教学内容共计五章，第6章：一元一次方程，第7章：二元一次方程组，第8章：一元一次不等

式，第9章：多边形，第10章：轴对称，平移，旋转

第6章：一元一次方程 本章的内容是在学生学习了有理数的运算，整式的加减之后的学习内容，是初

等数学的基础知识，也是学生进一步学习二元一次方程组、一元一次不等式，及一元二次方程的基础。

一元一次方程在实际问题中的应用，是中学阶段应用数学知识解决问题的开端。重点是一元一次方程的

基本概念及其解法，一元一次方程在实际问题的中的应用，其难点是一元一次方程在实际问题中的应用，

在教学中渗透数学建模思想和类比、化归、归纳等数学思想方法，是学生今后学习和工作必备的数学修

养和素质，增强学生学数学、用数学的意识。

第7章：二元一次方程组 本章是在一元一次方程学习的继续学习。本章的重点是二元一次方程组的解

法和二元一次方程组在实际问题中的应用。在教学中渗透数学建模思想和化归的思想，即化二元为一元，

化未知为已知，化复杂为简单的思想，学生通过经历列方程、解方程的探究过程，培养学生提出问题，

解决问题的能力，增强用数学的意识。提高学生学习的积极性。

第8章：不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，

而且也是学生后继学习的基础.本章是在前三册已经介绍了一元一次方程 、一次函数及二元一次方程组

的基础上展开的，通过具体事例建立不等关系，探索不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解

不等式的概念．其次具体研究一元一次不等式的解、解集、解的数轴表示；解一元一次不等式以及一元

一次不等式的简单应用．再次通过具体事例研究一元一次不等式、一元一次方程、一次函数之间的内在

联系．最后安排的是一元一次不等式组的解、解集、用数轴确定解集，解一元一次不等式组以及一元一

次不等式组的简单应用.

本章的学习由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程，让学生体会建立不等关系及学习一

元一次不等式和一元一次不等式组的意义，教学中应关注学生学习习惯的养成与“数学化”能力等方面

的发展，渗透函数、方程、不等式思想.

第9章：多边形 本章是在学习了相交线与平行线的基础上的深入学习，是对图形的进一步认识。

主要内容涉及三角形、一般多边形的边角关系。本章的重点是三角形的主要线段(中线、高线、角平分

线)的概念，三角形外角的性质及外角和，三角形三边的关系，多边形内、外角和的公式，正多边形铺

满地面的道理及其组合。难点是一般三角形、多边形的边角关系的应用和说理。本章由瓷砖的铺设导入，

研究一般三角形、多边形的性质，到运用相关性质探索拼地板的问题结束，体现了数学来源于实践，又

应用于实践的特点，采用“问题――探究――发现”的研究方法，让学生多探究学习，自主探索，合作

学习。

第10章：轴对称、平移、旋转 本章的主要内容是从现实生活中的图形入手，学习轴对称、平移、

旋转及其基本性质，欣赏并体验轴对称、平移、旋转在现实生活中的广泛应用。能利用轴对称性去探索

等腰三角形等简单图形的性质。本章的重点是轴对称平移、旋转的概念，常见图形的轴对称性，“线段

垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，“角平分线上的点到角两边的距离相等”及其逆定理，探索

轴对称的基本性质，能够按要求画轴对称图形并利用轴对称进行图案设计，探索并掌握等腰三角形的性

质与判定，等边三角形的性质与判定，并能进行说理。其难点是说理。在教学的过程中，充分挖掘有关

的说理题，使学生能得到较为充分 的训练，过好说理的入门关。教材的教学内容上，呈现力求生动有

趣、贴近现实生活，对知识的陈述，不仅注重结果，而且尽量给学生提供一定的探索空间和手段，让学

生自己去发现结论，教学中要充分应用好教材，实现教材编写者的意图，让学生在探索过程中，培养学

生的各种能力。教学中要根据教材内容设计相应的让学生动手操作实践的内容，利用轴对称进行图案设

计这一内容，是让学生在动手操作的过程中体现轴对称变换和数学美在现实生活中的广泛应用，等腰三

角形中引入了较多的动手操作和直观感知，通过折纸、观察、归纳等方法去探索和发现等腰三角形的相

关性质，教学中要充分进行实验。通过本章的教学，让学生体会数学的和谐与美感，提高审美情趣。

三、本期教学任务：

本期的教学任务主要在知识与技能上：是在“一元一次方程”与“二元一次方程组”中，使学生

了解方程是反映现实世界数量关系的有效的数学模型，体现了知识与生活的密切相关，学会寻找所给问

题中隐含的数量之间的关系，掌握基本的解决方法；会正确熟练的解一次方程(组)，实践与探索中，与

学生一起分析、尝试解决问题，逐步提高各种能力。“多边形”与“轴对称”中，掌握一般三角形边、

角和多边形边、角的关系，并会运用解决实际问题，认识特殊的图形――轴对称图形中隐含着的数学不

变量之间的关系，学生能应用相关知识合理的推理，掌握等腰三角形的特征与性质。“统计的初步认识”

中，学会数据处理的抽样调查方法，使学生学会统计数据，分析处理数据，合理使用平均数、中位数、

众数描述一组数据的集中趋势，警惕平均数、中位数、众数的误用，让学生体会随机事件的内在规律，

体会随机事件中偶然中的必然，会分析简单的机会均等与不等的问题，会游戏规则是否公平。在过程与

方法上：让学生经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，探究方程(组)的解法，经历和体

会解方程(组)中“转化”的过程与思想，通过实践与探索经历“问题情境—建立数学模型—解释应用与

拓展”的过程，体会消元化归思想，体验探究、归纳多边形的内角和与外角和公式及过程，学会合情推

理的数学思想方法，经历“问题—探究—发现”的研究过程得到相关性质，在轴对称中，经历动手操作

和直观感知，通过自主学习，提高学习能力，增强合作意识，提高解决问题的意识与能力，经历通过折

纸、观察、归纳等方法去探索和发现等腰三角形的有关性质。在统计的认识中，经历抽样调查，数据的

分析处理，平均数、中位数、众数的选用，体验随机事件中偶然中的必然。学生的解决问题的能力，动

手实践能力，逻辑思维与逻辑推理能力在学生的自主探究、合作、交流中得到锻炼与提高，选择生动活

泼、贴近生活的实例，激发学生学习数学的兴趣，感受数学来源于实践，又应用于实践，提高学生审美

情趣，体验数学的和谐与美感，这是情感与态度目标。

四、提高学科教育质量的主要措施：

1、认真做好教学六认真工作。把教学六认真做为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻

研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也

让学生学会认真学习。

2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相

应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。

3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现

快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写小论文，写复习提纲，使知识

来源于学生的构造。

4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高

学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如

泉涌的状态。

5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带

来不同的教育效果。

6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发

展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。

7、成立课外兴趣小组，开展丰富多彩的课外活动，开展对奥数题的研究，课外调查，操作实践，

带动班级学生学习数学，同时发展这一部分学生的特长。

8、开展分层教学，布置作业设置A、B、C三等分层布置，课堂上照顾好好、中、差在三类学生。

9、进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，

为差生以后的发展铺平道路。

10、站在系统的高度，使知识构筑在一个系统，上升到哲学的高度，八方联系，浑然一体，使学生

学得轻松，记得牢固。

11、开展课题学习，把学生带入研究的学习中，拓展学生的知识面。

五、全期教学进度安排

章节 课时 教学时间

上学期期末考试试卷分析与总结 第一周

第6章 一元一次方程 第二周、第三周

6.1从实际到方程 1 6.2解一元一次方程 7 6.3实践与探索

4 复习与检测

第7章 二元一次方程组 12 第四周、第五周

7.1二元一次方程组和它的解 7.2二元一次方程组的解法 5 7.3实践与探索

2 复习与检测 4

第8章 一元一次不等式 13 第六周、第七周

8.1 认识不等式 1

8.2解一元一次不等式 5

8.3一元一次不等式组

3 复习与检测 4

第9章 多边形 13 第八周、第九周

9.1瓷砖的铺设 1 9.2三角形

4 9.3三边形的内角和与外角和 2 9.4用正多边形拼地板

2 复习与检测 4

期中复习 第十周、第十一周

期中考试 第十二周 五一放假

第10章 轴对称 平移 旋转 第十三周 第十四周十五周、第十六周

10.1生活中的轴对称 1 10.2轴对称的认识 4 10.3等腰三角形

3 复习与检测

期末复习一 第十七周、第十八周

第十九周 试题统一练习、讨论及讲解

第二十周 期末复习二

第二十一周 期末考试

第六章 一元一次方程

第一课时

学习过程

一、自主学习

（一）自学教材P 1—P 3。

（二） 导学练习

1、完成下列问题:

(1)一本笔记本1.2元，买x本需要___________元。

（2）一支铅笔a元，一支钢笔b元，小强买两支铅笔和三支钢笔，一共需要 元。

（3）长方形的宽为a,长比宽长3，则该长方形的 面积为___________.

（4）x辆44座的汽车加上2辆23座的汽车最多可以_________ 人?

2、问题1中，你有哪些解决的方法？

3、问题2中，你还有其他的方法来解决吗？

4、通过XX解决问题的方法，你怎样找到一个方程的解？

二、合作探究、小组展示

1．教科书第3页练习1、2.

2．补充练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解.

(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)

3 (2)2y(y－1)＝3 (y＝－1，y＝2

(3)5(x－1)(x－2)＝0 (x＝0，x＝1，x＝2)

三、检测反馈

(一)、判断题

1、x=2是方程x－10=－4的解-----------------（ ）

22、x=1与x=－1都是方程x－1=0的解-------（ ）

3、方程12(x－3) －1=2x+3的解是x=－4------ （ ）

(二)、选择题

1、方程2(x+3)=x+10的解是 ( )

A x=3 B x=-3 C x=4 D x=－4

2、已知x=2是方程2(x－3)+1=x+m的解，则m=（ ）

A 3 B 2 C －3 D －2

四、拓展提升

1、设某数为x，根据题意，列出方程。

（1）某数的4倍等于某数的3倍与7的差。

华东师大版数学七年级下册(二)
华东师大版数学七年级下册导学案(全册)

第6章 一元一次方程

6．1从实际问题到方程

学习目的

1．通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问

题的数学模型的作用。

2．使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

3．会判断一个数是不是某个方程的解。

学习重点、难点

1．重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

2．难点：弄清题意，找出“相等关系”。

学习过程

一、复习与预习

小学里已经学过列方程解简单的应用题，让我们回顾一下，如何列方程

解应用题?

例如：一本笔记本1．2元。小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样

的笔记本呢?

解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得

1.2x＝6

因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。

二、新知：

我们再来看下面一个例子：

问题1：某校初中一年级416名师生乘车外出春游，已有2辆校车可以乘

坐64人，还需租用44座的客车多少辆?

问：你能解决这个问题吗?有哪些方法?

算术法：

列方程解应用题：

设需要租用x辆客车，那么这些客车共可乘44x人，加上乘坐校车的64

人，就是全体师生416人，可得 （1）。

解这个方程，就能得到所求的结果。

问：你会解这个方程吗?试试看?

问题2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同

学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的：

1年后，老师46岁，同学们的年龄是14岁，不是老师的三分之一。

2年后，老师47岁，同学们的年龄是15岁，也不是老师的三分之一。

3年后，老师48岁，同学们的年龄是16岁，恰好是老师的三分之一。

你能否用方程的方法来解呢？

通过分析，列出方程： （2）

问：你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发？

这个方程不像例l中的方程(1)那样容易求出它的解，小敏同学的方法启

发了我们，可以用尝试，检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将

x＝1，

2，3，4，„„代人方程(2)的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就

是这个方程的解。

11 把x＝3代人方程(2)，左边＝13+3＝16，右边＝ (45+3)＝ ×48＝16， 33

因为左边＝右边，所以x＝3就是这个方程的解。

这种通过试验的方法得出方程的解，这也是一种基本的数学思想方法。也

可以据此检验一下一个数是不是方程的解。

问：若把例2中的“三分之一”改为“二分之一”，那么答案是多少?

同学们动手试一试，大家发现了什么问题?

同样，用检验的方法也很难得到方程的解，因为这里x的值很大。另外，

有的方程的解不一定是整数，该从何试起?如何试验根本无法入手，又该怎么

办? 这正是我们本章要解决的问题。

三、巩固练习

1．教科书第3页练习1、2。

2．补充练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。

(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)

3(2)2y(y－1)＝3 (y＝－1，y＝ 2

(3)5(x－1)(x－2)＝0 (x＝0，x＝1，x＝2)

四、知识小结：

五、作业。教科书第3页，习题6.1第1、3题。

6．1从实际问题到方程（习题课）

1.请同学们课前预习练习册第1页，并预做第1页到第3页的相关题目，将

不会的题目作上重点符号。

2.找出练习册第1页到第3页的相关题目中出现的“相等关系式”，并试找了

相关“关键字”。

3.找出自己不懂的、做作业时产生的疑问，挑选两个你想重点问的问题写在

右边，向同学或者老师请教（以后每节课都请同学们这样做）。

4.试着解决同学的疑问（以后每节课都请同学们这样做）。

5.本节课完后，想一想你是否还有疑问？有的话快点在右边记下来请教同学

或者老师吧（以后每节课都请同学们这样做）。

2、解一元一次方程

第一课时

学习目的

1．了解一元一次方程的概念。 2．掌握含有括号的一元一次方程的解法。

学习重点、难点

1．重点；解含有括号的一元一次方程的解法。

2．难点；括号前面是负号时，去括号时忘记变号。

学习过程

一、复习与预习 1．解下列方程：(1)5x－7＝13 (2)10+2x＝4x

2．去括号法则是什么?“移项”要注意什么?

二、新知识 一元一次方程的概念

1 前面我们遇到的一些方程，例如44x+64＝416 3+x＝3－5＝2y+l 问：大家观察这些方程的未知数的个数和未知数的次数，它们有

什么共同特征?

的方程叫做一元一次方程。

31 例1．判断下列哪些是一元一次方程x＝ 3x－2 42

112x12－ ＝－l 5x－3x+1＝0 2x+y＝l－3y ＝5 353x-1

下面我们再一起来解几个一元一次方程。

例2．解方程(1)－2(x－1)＝4 (2)3(x－2)+1＝x－(2x－1)

补充例题：解方程2x－[2(x+1)－(1+4x)]＝l

说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后

去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

三、巩固练习 教科书第6页，练习l、2、3。第7页，练习

四、小结

五、作业 ．教科书第7页习题6．2，1第l、2、3题。

6．2解一元一次方程（习题课1）

1.请同学们课前预习练习册第4页，并预做第4页到第6页的相关题目，将

不会的题目作上重点符号。

2.找出练习册第4页 到第6页的相关题目中出现的“一元一次方程的形式”，

并试找了相对应的解方程的方法或者注意事项。

6.理解“移项”和“解相同”的本质是什么？

学习目的：掌握去分母解方程的方法，并从中体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程，要注意培养自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

学习重点：掌握去分母解方程的方法。

学习难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。

学习过程

一、复习与预习

1．去括号和添括号法则。 2．求几个数的最小公倍数的方法。

x-32x+1 二、新知识： 例1－ ＝1 23

11 分析：如何解这个方程呢?此方程可改写成 (x－3)－ ＝1 23

所以可以去括号解这个方程，先自己解。

同学们，想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程，这样，我们就可以用已学过的方法解它了。

解法二；把方程两边都乘以6，去分母。

比较两种解法，可知解法二简便。 想一想，解一元一次方程有哪些步骤? 解一元一次方程，一般要通过去 ，去 ， ，合并 ，未知数的系数化为 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式。解题时，要灵活运用这些步骤。

1 补充例2：解方程 10(x+15)＝3－ (x－7) 3

三、巩固练习：教科书第9页，练习1、2，教科书第10页，练习1、2。

四、小结

1．解一元一次方程有哪些步骤?

2．同学们要灵活运用这些解法步骤，掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。

五、作业： 教科书第13页习题6.2，2第1、2题。

6．2解一元一次方程（习题课2）

1.请同学们课前预习练习册第7页，并预做第7页到第9页的相关题目，将不会的题目作上重点符号。

2.找出练习册第7页 到第9页的相关题目中出现的“一元一次方程的形式”，并试找了相对应的解方程的方法或者注意事项。

学习目的：灵活应用解方程的一般步骤，提高综合解题能力。

学习重点：灵活应用解题步骤。

学习难点：在“灵活”二字上下功夫。

学习过程：

一、 复习与预习：1.一元一次方程的解题步骤。 2.分数的基本性质。

2x-110x+12x+13.解方程。－ = －1 364

二、新知识

例1．解方程示

112(x-1) 例2．解方程x－ (x－1)] 223

n∏D例3：已知公式V＝中，V＝628、D＝50、∏＝3.14，求n的值。 100

三、巩固练习。

0 x0.17-0.2x － ＝1 0.70.03

2、 解方程。

x12x2(2-3x)0.03-3x －4)＝2 －4.5＝ －9.5 3230.010.03

四、小结。

当方程较复习时，应灵活运用解题步骤，若方程的分母是小数，应

先利用分数的性质，把分子、分母同时扩大若干倍，此时分子要作为一个整体，需要补上括号，注意不是去分母，不能把方程其余的项也扩大若干倍。分母由小数化为整数的方法有多种，应根据题目特点寻找最佳方法。

五、作业： 教科书第12页第3题

6．2解一元一次方程（习题课3）

1.请同学们课前预习练习册第10页，并预做第10页到第12页的相关题目，将不会的题目作上重点符号。

2.找出练习册第10页 到第12页的相关题目中出现的“一元一次方程的形式”，并试找了相对应的解方程的方法或者注意事项。

第四课时

华东师大版数学七年级下册(三)
华师大版七年级数学下册全册教案

华师大版七年级数学下册全册教案

第6章 一元一次方程教案

6．1从实际问题到方程

教学目的

1．通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。

2．使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

3．会判断一个数是不是某个方程的解。

重点、难点

1．重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

2．难点：弄清题意，找出“相等关系”。

教学过程

一、复习提问

小学里已经学过列方程解简单的应用题，让我们回顾一下，如何列方程解应用题?

例如：一本笔记本1．2元。小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢?

解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得

1.2x＝6

因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。

二、新授：

我们再来看下面一个例子：

问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有1辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?

问：你能解决这个问题吗?有哪些方法?

(让学生思考后，回答，教师再作讲评)

算术法：(328－64)÷44＝264÷44＝6(辆)

列方程解应用题：

设需要租用x辆客车，那么这些客车共可乘44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体师生328人，可得。【华东师大版数学七年级下册】

44x+64＝328 （1）

解这个方程，就能得到所求的结果。

问：你会解这个方程吗?试试看?

(学生可能利用逆运算求解，教师加以肯定，同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种方法。) 问题2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的：

1年后，老师46岁，同学们的年龄是14岁，不是老师的三分之一。

2年后，老师47岁，同学们的年龄是15岁，也不是老师的三分之一。

3年后，老师48岁，同学们的年龄是16岁，恰好是老师的三分之一。

你能否用方程的方法来解呢？

通过分析，列出方程：13＋x＝1（45＋x） （2） 3

问：你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发？

这个方程不像例l中的方程(1)那样容易求出它的解，小敏同学的方法启发了我们，可以用尝试，检

边的值相等，这个数就是这个方程的解。

把x＝3代人方程(2)，左边＝13+3＝16，右边＝(45+3)＝×48＝16，

因为左边＝右边，所以x＝3就是这个方程的解。

这种通过试验的方法得出方程的解，这也是一种基本的数学思想方法。也可以据此检验一下一个数

是不是方程的解。

问：若把例2中的“三分之一”改为“二分之一”，那么答案是多少?

同学们动手试一试，大家发现了什么问题?

同样，用检验的方法也很难得到方程的解，因为这里x的值很大。另外，有的方程的解不一定是整数，该从何试起?如何试验根本无法人手，又该怎么办?

这正是我们本章要解决的问题。

三、巩固练习

1．教科书第3页练习1、2。

2．补充练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。

(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)

(2)2y(y－1)＝3 (y＝－1，y＝ 2)

(3)5(x－1)(x－2)＝0 (x＝0，x＝1，x＝2)

四、小结。本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法，解决一些实际问题。谈谈你的学习体会。

五、作业。教科书第3页，习题6.1第1、3题。

6.2解一元一次方程

1．方程的简单变形

教学目的

通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。

重点、难点

1．重点：方程的两种变形。

2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。

教学过程

一、引入

上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。

二、新授

让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。

测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。

如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。

如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗? 让同学们观察图6.2.1的左边的天平；天平的左盘内有一个大砝码和2个小砝码，右盘上有5个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。如果我们用x表示大砝码的质量，1表示小砝码的质量，那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。

问：图6.2.1右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所表示的方程如何由方程x+2＝

学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。

问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢?

让同学们看图6.2.2。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?

把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢?

由图6.2.1和6.2.2可归结为；

方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。

让学生观察(3)，由学生自己得出方程的第二个变形。

即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：

通过对方程进行适当的变形．可以求得方程的解。

例1．解下列方程

(1)x－5＝7 (2)4x＝3x－4

解：(1) 两边都加上5，得x＝7+5 即 x＝12

(2) 两边都减去3x，得x＝3x－4－3x 即 x＝－4

请同学们分别将x＝7+5与原方程x－5＝7；x＝3x－4－3与原方程4x＝3x－4比较，你发现了这些方程的变形。有什么共同特点?

这就是说把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

注意：“移项’’是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先变号后移项。

例2．解下列方程

(1)－5x＝2 (2) 31x＝ 23

这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。

以上两个例题都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的形式。

练习：

课本第6页练习1、2、3。

练习中的第3题，即第2页中的方程①先让学生讨论、交流。

鼓励学生采用不同的方法，要他们说出每一步变形的根据，由他们自己得出采用哪种方法简便，体会方程的不同解法中所经历的转化思想，让学生自己体验成功的感觉。

三、巩固练习

教科书第7页，练习

四、小结

本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形：

1．把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。

2.把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程的解不变。第①种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。

五、作业

教科书第7—8页习题6.2.1第1、2、3。

2、解一元一次方程

1．了解一元一次方程的概念。

2．掌握含有括号的一元一次方程的解法。

重点、难点

1．重点；解含有括号的一元一次方程的解法。

2．难点；括号前面是负号时，去括号时忘记变号。

教学过程

一、复习提问

1．解下列方程：

(1)5x－2＝8 (2)5+2x＝4x

2．去括号法则是什么?“移项”要注意什么?

二、新授

一元一次方程的概念

前面我们遇到的一些方程，例如44x+64＝328 3+x＝(45+x) y－5＝2y+l 问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征?

(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。)

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是l，这样的方程叫做一元一次方程。

例1．判断下列哪些是一元一次方程

x＝3x－2 x－3＝－l

5x2－3x+1＝0 2x+y＝l－3y＝5

下面我们再一起来解几个一元一次方程。

例2．解方程 (1) －2(x－1)＝4

(2) 3(x－2)+1＝x－(2x－1)

方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括号求解，也可以看作关于(x－1)的一元一次方程进行求解。

第(2)题可由学生自己完成后讲评，讲评时，强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项，若括号前面是“－”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符号。

补充例题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4)]＝l

方程中有多重括号，你会解这个方程吗?

说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

三、巩固练习

教科书第9页，练习，l、2、3。

四、小结

本节课我们学习了一元一次方程的概念，并学习了含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。

五、作业

教科书第12页习题6．2，2第l题。

使学生掌握去分母解方程的方法，并从中体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程，要注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

重点、难点

1、 重点：掌握去分母解方程的方法。

2、难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。

教学过程

一、复习提问

1．去括号和添括号法则。

2．求几个数的最小公倍数的方法。

二、新授【华东师大版数学七年级下册】

例1：解方程 x32x1－＝1 23

分析：如何解这个方程呢?此方程可改写成

3(x3)2(2x1)＝1 6

所以可以去括号解这个方程，先让学生自己解。

同学们，想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程，这样，我们就可以用已学过的方法解它了。

解法二；把方程两边都乘以6，去分母。

比较两种解法，可知解法二简便。

想一想，解一元一次方程有哪些步骤?

先让学生自己总结，然后互相交流，得出结论。

解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式。解题时，要灵活运用这些步骤。

补充例2：解方程 x151x7＝－ 523

问：如果先去分母，方程两边应同乘以一个什么数?

应乘以各分母的最小公倍数，5、2、3的最小公倍数。

三、巩固练习

教科书第10页，练习1、2。

(练习第1题是辨析题，引导学生进行分析、讨论，帮助学生在实践中自我认识和纠正解题中的错误)

四、小结

1．解一元一次方程有哪些步骤?

2．同学们要灵活运用这些解法步骤，掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。

五、作业

教科书第12页习题6.2.2第2题。

华东师大版数学七年级下册(四)
华师大版(新)七年级数学下册教案(全册)

第七章 二元一次方程组

7.3 实践与探索

第一课时

教学目的

通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

重点、难点

1，重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。

2．难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。

教学过程

一、复习

列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?其中什么是关键?

二、新授

问题1．第35页实践与探索中的第一个问题。

学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新。

学生有困难，教师加以引导：

1．本题有哪些已知量?

(1)共有白卡纸20张。

(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个。

(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套。

2．求什么?

(1)用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖?

3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。

那么可做盒身多少个?盒底盖多少个?

[2x个盒身，3y个盒底盖]

4．找出2个等量关系。

(1)用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数：20。

(2)已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身和盒底盖正好配套。

根据题意，得

x+y＝20

3y=2×2x

解出这个方程组。

以上结果表明不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。

如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢?

用8张白卡纸做盒身，可做8×2二16(个)

用1l张白卡纸做盒底盖，可做3×11＝33(个)

将余下的l张白卡纸剪成两半，一半做盒身，另一半做盒底，一共

可做17个包装盒，较充分地利用了材料。

三、巩固练习

某农场300名职工耕种5l公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：

已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?

先让学生自主探索，与伙伴交流。

对有困难的学生教师加以引导。(提问式)

1．本题中有哪些已知量?

(1)安排种三种农作物的人数共300名；

(2)安排种三种农作物的土地共51公顷；

(3)每种农作物每公顷所需要的职工数；

(4)每种农作物每公顷需要投入的资金；

(5)三种农作物需要的资金和为67万元。

2．求什么?

分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?

如果设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，那么由已知(2)可知，种蔬菜有(51-x-y)公顷。

这样根据已知，(3)可得种水稻4x人，棉花8y人，蔬菜5(51-x-y)人. 根据已知(4)可得，种三种农作物所需的资金分别为x万元、y万元 2(51-x-y)万元已知量中的(1)、(5)就是两个等量关系 因此，列方程组

4x+8y+5(51-x-y)＝300

x+y+2(51-x-y)=67

本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应 给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。

四、作业

教科书习题7.3，第1题。

第二课时

教学目的

让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流．去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展。

重点、难点

1．重点：让学生实践与探索，运用方程或方程组解决几何图形中的数量关系。

2．难点：寻找相等关系。

教学过程

一、复习提问

列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么?

二、新授

上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决。今天我

们再宋探索一个有趣的问题。

请同学们打开课本第35页，阅读问题2。

让学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可以提出以下问题：

这里讲的“其中的奥秘”，是指什么?

“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2mm的小正方形的洞?其中的道理是什么?

教师可以作以下引导：

1．观察小明的拼图，你能发现小长方形的长xmm与宽ymm之间的数量关系吗?

(根据矩形的对边相等，得3x＝5y)

2．再观察小红的拼图，你能写出表示小矩形的长xmm与宽ymm的另一个关系式吗?

因为AB＝CD+DE+FG，所以有x+25y=2x+2

即2y-x＝2

解方程组 3x=5y

2y-x=2

8个小矩形的面积和＝8xy＝8×10×6=480(mm2)

大正方形的面积=(x+2y)2＝(10+2×6)2＝484(mm2)

484－480＝4＝22

因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm的小正方形。

问题：有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明那样成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？

三、做一做。

把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种，谈谈你的感受。

问题1：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组

y＝x

x＋y＝

问题2：设小明的爸爸前年存了x元，利息税为y元，由题意得：

y＝2.43%·x·2·20%

2.43%x·2－y＝48.6

问题3：设小张家到火车站有x千米，乘公共汽车从小张家到火车站要y小时，由题意得：

40x·2＝80y

40x＋80y＝40（x＋y＋）

四、小结

五、作业

教科书习题7.3第2题

小结与复习(一)

教学目的

1．使学生对方程组以及方程组的解有进一步的理解，能灵活运用代人法和加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组，并能熟练地列出一次方程组解简单的应用题。使学生进一步了解把“二元” 转化为“一元’’的消元思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的思想方法。

2．列方程组解实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。

重点、难点

1．重点：解二元一次方程组以及列方程组解应用题。

2．难点；找出等量关系列出二元一次方程组.

教学过程

一、复习小结

1.知识结构

二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解法。

2．注意事项

(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。

(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。

(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。

二、课堂练习

1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。

分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的x可能是1、2、3、4„但是当x＝4时，y＝ 10-3×4=-2，y却不是正整数，因此x只能取正整数的一部分，即x= 1，x=2，x=3。

2．已知 x=1 2xn－m=5

y=2 是方程组 mx－ny=5的解，求m和n的值。

分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。

根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：

2n-2m=5 ③

m+2n＝3 ④

解这个方程组即可。

3.A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。

分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系：

(1)同向而行：甲3小时的行程＝乙3小时行程十150千米

(2)相向而行：甲1.5小时行程+乙1.5小时行程＝150千米

解设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。

根据题意，得

3x=3y+150

1.5x+1.5y=150

解这个方程组即可。

4.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。

分析：怎样设未知数?直接设可以吗?

这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?

由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.

如何表示原三位数和新三位数?

100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y

2个等量关系是什么?

(1)百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13

(2)新三位数一原三位数=99

根据题意，得

x+(x+2)+y=13

[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99

解这个方程组即可。

三、小结

1．解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一1、l时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。

2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组。

小结与复习(二)

教学目的

通过列二元一次方程组解决实际问题，开发学生智力和培养学生理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造性思维、用数学的意识。

重点：列二元一次方程组解应用题。

难点：间接设元以及找出2个等量关系。

一、复习

1．列二元一次方程组解应用题的步骤是什么?

2．如何设未知数?

我们已经知道，有两种设元方法——直接设元、间接设元。当直接设元不易列出方程时，用间接设元。

在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元。

二、新授

例1．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发?

分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时?

本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。

X公里

A D y公里 B C

甲 上车点 下车点 乙

(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等。

(2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等。

因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里，如图所示。

由以上两个等量关系，得：

=

=

华东师大版数学七年级下册(五)
华师大版(新)七年级数学下册教案(全册)

第6章 一元一次方程

6．1从实际问题到方程

教学目的

1．通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。

2．使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

3．会判断一个数是不是某个方程的解。

重点、难点

1．重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

2．难点：弄清题意，找出“相等关系”。

教学过程

一、复习提问

小学里已经学过列方程解简单的应用题，让我们回顾一下，如何列方程解应用题?

例如：一本笔记本1．2元。小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢?

解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得

1.2x＝6

因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。

二、新授：

我们再来看下面一个例子：

问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?

问：你能解决这个问题吗?有哪些方法?

(让学生思考后，回答，教师再作讲评)

算术法：(328－64)÷44＝264÷44＝6(辆)

列方程解应用题：

设需要租用x辆客车，那么这些客车共可乘44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体师生328人，可得。

44x+64＝328 （1）

解这个方程，就能得到所求的结果。

问：你会解这个方程吗?试试看?

(学生可能利用逆运算求解，教师加以肯定，同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种方法。) 问题2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的：

1年后，老师46岁，同学们的年龄是14岁，不是老师的三分之一。

2年后，老师47岁，同学们的年龄是15岁，也不是老师的三分之一。

3年后，老师48岁，同学们的年龄是16岁，恰好是老师的三分之一。

你能否用方程的方法来解呢？

通过分析，列出方程：13＋x＝1（45＋x） （2） 3

问：你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发？

这个方程不像例l中的方程(1)那样容易求出它的解，小敏同学的方法启发了我们，可以用尝试，检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将x＝1，2，3，4，„„代人方程(2)的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解。

把x＝3代人方程(2)，左边＝13+3＝16，右边＝(45+3)＝×48＝16，【华东师大版数学七年级下册】

这种通过试验的方法得出方程的解，这也是一种基本的数学思想方法。也可以据此检验一下一个数

是不是方程的解。

问：若把例2中的“三分之一”改为“二分之一”，那么答案是多少?

同学们动手试一试，大家发现了什么问题?

同样，用检验的方法也很难得到方程的解，因为这里x的值很大。另外，有的方程的解不一定是整数，该从何试起?如何试验根本无法人手，又该怎么办?

这正是我们本章要解决的问题。

三、巩固练习

1．教科书第3页练习1、2。

2．补充练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。

(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)

(2)2y(y－1)＝3 (y＝－1，y＝ 2)

(3)5(x－1)(x－2)＝0 (x＝0，x＝1，x＝2)

四、小结。本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法，解决一些实际问题。谈谈你的学习体会。

五、作业。教科书第3页，习题6.1第1、3题。

6.2解一元一次方程

1．方程的简单变形

教学目的

通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。

重点、难点

1．重点：方程的两种变形。

2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。

教学过程

一、引入

上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。

二、新授

让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。

测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。

如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。

如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗? 让同学们观察图6.2.1的左边的天平；天平的左盘内有一个大砝码和2个小砝码，右盘上有5个小

那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。

问：图6.2.1右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所表示的方程如何由方程x+2＝5变形得到的?

学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。

问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢?

让同学们看图6.2.2。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?

把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢?

由图6.2.1和6.2.2可归结为；

方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。

让学生观察(3)，由学生自己得出方程的第二个变形。

即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：

通过对方程进行适当的变形．可以求得方程的解。

例1．解下列方程

(1)x－5＝7 (2)4x＝3x－4

解：(1) 两边都加上5，得x＝7+5 即 x＝12

(2) 两边都减去3x，得x＝3x－4－3x 即 x＝－4

请同学们分别将x＝7+5与原方程x－5＝7；x＝3x－4－3与原方程4x＝3x－4比较，你发现了这些方程的变形。有什么共同特点?

这就是说把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

注意：“移项’’是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先变号后移项。

例2．解下列方程

(1)－5x＝2 (2) 31x＝ 23

这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。

以上两个例题都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的形式。

练习：

课本第6页练习1、2、3。

练习中的第3题，即第2页中的方程①先让学生讨论、交流。

鼓励学生采用不同的方法，要他们说出每一步变形的根据，由他们自己得出采用哪种方法简便，体会方程的不同解法中所经历的转化思想，让学生自己体验成功的感觉。

三、巩固练习

教科书第7页，练习

四、小结

本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形：

1．把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。

2.把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程的解不变。第①种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。

五、作业

教科书第7—8页习题6.2.1第1、2、3。

2、解一元一次方程

第一课时

教学目的

1．了解一元一次方程的概念。

2．掌握含有括号的一元一次方程的解法。

重点、难点

1．重点；解含有括号的一元一次方程的解法。

2．难点；括号前面是负号时，去括号时忘记变号。

教学过程

一、复习提问

1．解下列方程：

(1)5x－2＝8 (2)5+2x＝4x

2．去括号法则是什么?“移项”要注意什么?

二、新授

一元一次方程的概念

前面我们遇到的一些方程，例如44x+64＝328 3+x＝(45+x) y－5＝2y+l 问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征?

(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。)

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是l，这样的方程叫做一元一次方程。

例1．判断下列哪些是一元一次方程

x＝3x－2 x－3＝－l

5x2－3x+1＝0 2x+y＝l－3y＝5

下面我们再一起来解几个一元一次方程。

例2．解方程 (1) －2(x－1)＝4

(2) 3(x－2)+1＝x－(2x－1)

方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括号求解，也可以看作关于(x－1)的一元一次方程进行求解。

第(2)题可由学生自己完成后讲评，讲评时，强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项，若括号前面是“－”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符号。

补充例题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4)]＝l

方程中有多重括号，你会解这个方程吗?

说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

三、巩固练习

教科书第9页，练习，l、2、3。

四、小结

本节课我们学习了一元一次方程的概念，并学习了含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。

五、作业

教科书第12页习题6．2，2第l题。

第二课时

教学目的：

使学生掌握去分母解方程的方法，并从中体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程，要注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

重点、难点

1、 重点：掌握去分母解方程的方法。

2、难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。

教学过程

一、复习提问

1．去括号和添括号法则。

2．求几个数的最小公倍数的方法。

二、新授

例1：解方程 x32x1－＝1 23

分析：如何解这个方程呢?此方程可改写成

3(x3)2(2x1)＝1 6

所以可以去括号解这个方程，先让学生自己解。

同学们，想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程，这样，我们就可以用已学过的方法解它了。

解法二；把方程两边都乘以6，去分母。

比较两种解法，可知解法二简便。

想一想，解一元一次方程有哪些步骤?

先让学生自己总结，然后互相交流，得出结论。

解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式。解题时，要灵活运用这些步骤。

补充例2：解方程 x151x7＝－ 523

问：如果先去分母，方程两边应同乘以一个什么数?

应乘以各分母的最小公倍数，5、2、3的最小公倍数。

三、巩固练习

教科书第10页，练习1、2。

(练习第1题是辨析题，引导学生进行分析、讨论，帮助学生在实践中自我认识和纠正解题中的错误)

四、小结

1．解一元一次方程有哪些步骤?

2．同学们要灵活运用这些解法步骤，掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。

五、作业

教科书第12页习题6.2.2第2题。