人教版21.1,圆心角教案设计

人教版21.1,圆心角教案设计(一)
圆心角教案

圆心角教案

执教：曹市庆丰中学 李 谦

教学过程设计

人教版21.1,圆心角教案设计(二)
24.1.3弧、弦、圆心角教案

24.1.3弧、弦、圆心角教案

班级_________姓名_________学号__________

教学目标

知识与技能：1．圆的旋转不变性．2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理

过程与方法：1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．

2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 情感与态度价值观：培养学生积极探索数学问题的态度及方法 重 点:圆心角、弦、弧、弦心距之间的相等关系

难 点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 教学过程 一、创设情境 想一想

（1）平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？ （2）⊙O绕圆心O旋转180°后，你发现了什么？

（3）思考：平行四边形绕对角线交点O任意旋转任意一个角度后，你发现了什么？把⊙O绕圆心O旋转任意一个角度后，你发现了什么？

设计意图：学生在操作中发现平行四边形和圆旋转180°后都能与自身重合，所以是中心对称图形。但是平行四边形旋转任意角度后并不总能与自身重合，而圆旋转任意角度后总能与自身重合，从中引导学生发现圆的旋转不变性 二、探究新知

（1）探究：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。（可以出题让学生判断）

将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能证明吗？

B’B

得出：当∠AOB =∠

A’OB’时，有：弦AB=弦A’B’，弧AB=弧A’B’。 （2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？

做一做：在纸上画两个等圆，画∠A’OB=∠AOB，连结AB和A’B’，则弦AB与弦A’B’， 弧AB与弧A’B’还相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现结论依旧成立。 （3）说一说

尝试将上述结论用数学语言表达出来。在学生回答的基础上，师生共同得出：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

（4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？ 学生小组讨论，归纳得出：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 三、例题讲解

例：如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。

C

四、巩固练习

1.

（1）如图所示：因为∠

（2）在⊙O和⊙O

2. 已知：如图所示，

变式练习1

变式练习2

变式练习3

3.在圆O中，AC=DB

4.D、E是圆O的半径OA的关系是？

变式练习：已知AB为圆DN⊥AB。求证：AC

五、课堂小结 六、教学后记



人教版21.1,圆心角教案设计(三)
2014年秋九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角教案 (新版)新人教版

24.1.3 弧、弦、圆心角

圆心角、弦、弧

教学方法：采取引导发现法，创设合理的问题情境，激发学生思维的积极性，充分展现学生的主体作用．

组织教学：学生16人，要求积极思考、实验； 教学过程 一、教学引入

（学生活动1）老师提问：圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 二、探索新知

1、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角2、（学生活动2）（学生活动2）判别

1

下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

2、（1

）将圆心角∠AOB绕圆心O

旋转到∠A1OB1的位置。

∠AOB=∠A1OB1，AB=A1B1，弧AB=弧A1B1

（2）⊙O与⊙O1是等圆时，∠AOB =∠A1OB1，请问上述结论还成立吗？为什么?（利用圆的旋转的不变性）

3、归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 4、（学生活动3）

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？

5、归纳：同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 6、引申：(1) 圆心角 (2) 弧 (3) 弦 ，知一得二

静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．

7、（学生口答）练习：1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。 （1）如果AB=CD，那么 ， 。 （2）如果弧AB=弧CD，那么 ， 。 （3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。 （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E， OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？

8D

图3

所对的弦，两条弦心距中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等 A 三、典型例题

在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。【人教版21.1,圆心角教案设计】

2

四、巩固练习【人教版21.1,圆心角教案设计】

1、如图4，AB是⊙O的直径，

BC=CD=DE，∠COD=35°， 求∠AOE的度数。

2、下列命题是真命题的是（D ）

（A）相等的圆心角所对的弧相等 （B）长度相等的两条弧是等弧 （C）等弦所对的圆心角相等 （D）等弧所对的弦相等 五、应用拓展

∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧.

这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角. 性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.

A

14cm，求AB的长。 练习：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的 六、小 结

1、顶点在 圆心 的角叫做圆心角。

2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。

3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余各组量也 相等 。 六、布置作业

课本第87页第1、2、3题

3

3

人教版21.1,圆心角教案设计(四)
新人教版数学第24章圆教案

24．1 圆

第一课时

教学内容

1．圆的有关概念．

2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键

1．重点：垂径定理及其运用．

2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个．

2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结．

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点

O的距离等于定长r的点组成的图形．

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

AC”AC”或 ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作，读作“圆弧叫做劣弧．ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC或BC“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题．

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．

（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

，，即直径CD平分弦AB，并且平分ACBC （2）AM=BM，ADBDAB及ADB．

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M

，. ACBC 求证：AM=BM，ADBD

分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、

BC即可．

证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中

OAOB



OMOM

∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM

∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O关于直径CD对称【人教版21.1,圆心角教案设计】

重合，重合． AC与BC ∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AD与BD， ACBC ∴ADBD

（本题的证明作为课后练习）

，点O是CD的圆心，•其中CD=600m，E 例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD

上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径． 为CD

解：如图，连接OC

设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m ∵OE⊥CD

11

∴CF=CD=×600=300（m）

22

根据勾股定理，得：OC=CF+OF

即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m． 三、巩固练习

教材P86 练习

P88 练习．

2

2

2

四、应用拓展

例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 解：不需要采取紧急措施

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18

R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324

解得R=34（m）

B

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

342=162+（34-x）2

162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4

∴不需采取紧急措施．

五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的有关概念；

2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业

1．教材P94 复习巩固1、2、3． 2．车轮为什么是圆的呢？ 3．垂径定理推论的证明．

24.1 圆(第2课时)

教学内容

1．圆心角的概念．

2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键

1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．

A 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．

教学过程

一、复习引入

B （学生活动）请同学们完成下题．

已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．

老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

B'

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．

（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，•分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．

'B

A'

(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB=A'B'，AB=A/B/．

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评．

例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？•为什么？∠AB与CD（2）如果OE=OF，那么

AOB与∠COD呢？

D

三、巩固练习

教材P89 练习1 教材P90 练习2． 四、应用拓展

例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、

CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD

∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°

∴Rt△OPE≌Rt△OPF

∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD 易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD P

五、归纳总结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握： 1．圆心角概念．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业

1．教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8．

24.1 圆(第3课时)

教学内容

1．圆周角的概念．

2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键

1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程

一、复习引入

人教版21.1,圆心角教案设计(五)
21.1.3弧弦圆心角