等差数列的性质
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等差数列的性质(一)
等差数列的性质教案
2.2.2等差数列的性质
教学设计
教学目标
1.知识与技能:理解和掌握等差数列的性质,能选择更方便快捷的解题方
法,了解等差数列与一次函数的关系。
2.过程方法及能力:培养学生观察、归纳能力,在学习过程中体会类比思
想,数形结合思想,特殊到一般的思想并加深认识。
3.情感态度价值观:通过师生,生生的合作学习,增强学生团队协作能力
的培养,并引导学生从不同角度看问题,解决问题
教学重点:理解等差中项的概念,等差数列的性质,并用性质解决一些相
关问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点:加深对等差数列性质的理解,学生在以后的学习过程能从不同
角度看问题,解决问题,学会研究问题的方法。
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教学方法:启发引导,讲练结合
学法:观察,分析,猜想,归纳
教具:多媒体
教学过程:
一、复习引入
首先回忆一下上节课所学主要内容:
1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即an-an1=d ,(n≥2,n∈N),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d
2.等差数列的通项公式:
ana1(n1)d (anam(nm)d)
3.有几种方法可以计算公差d
① d=an-an1 ② d=ana1aam ③ d=n n1nm
二、讲解新课:
问题:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?
由定义得A-a=b-A ,即:A
反之,若Aab 2ab,则A-a=b-A 2
aba,b,由此可可得:A2
ab是a,A,b成等差数列的充要条件 2
定义:若a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b也就是说,A=
不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末如数列:1,3,5,7,9,11,13„中
5是3和7的等差中项,1和99是7和11的等差中项,5和13看来,a2a4a1a5,a4a6a3a7
性质1:在等差数列an中,若m+n=p+q,则,amanapaq 即 m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ∈N )
证明:amana1(m1)da1(n1)d2a1(nm)d2d,
apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq)d2d, aman apaq.
三.例题讲解。
例1在等差数列{an}中,若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 .
分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差),本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手„„
解:∵ {an }是等差数列
∴ a1+a6=a4+a3 =9a3=9-a4=9-7=2 ∴ d=a4-a3=7-2=5 ∴ a9=a4+(9-4)d=7+5*5=32 ∴ a3 =2, a9=32
例2 等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12, 且 a1·a3·a5=80. 求通项 an
解:a1+a5=2a3
a1a3a5123a312a34a1a520 a1a3a580aa851
a1=-10, a5=2 或 a1=2, a5=-10
∵ d=a5a1 ∴ d=3 或-3 51
∴ an=-10+3 (n-1) = 3n- 13 或 an=2 -3 (n-1) = -3n+5 例3已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p,q为常数,那么这个
数列一定是等差数列吗?
分析:判定{an}是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看anan1(n1)是不是一个与n无关的常数。
解:取数列{an}中的任意相邻两项an与an1(n>1),求差得,
anan1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q)
=p
它是一个与n无关的常数。所以{an}是等差数列。
思考
这个数列的首项和公差分别是多少?
探究
(1)在直角坐标系中,画出通项公式为an3n5的数列的图象,这个图象有什么特点?
(2)在同一直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说说等差数列anpnq的图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系?
四、巩固练习: 1.若等差数列的前三项依次是m11,65,1,求m的值。 mm
2.已知等差数列 {an}中,a2a6a101,求a3a9。
五、小结 本节课学习了以下内容:
aba,b,成等差数列 1.A2
2.在等差数列中, m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ∈N )
3.若数列{an}的通项公式为anpnq的形式,p,q为常数,则此数列为等差数列。
六.布置作业
名师一号:8,9,11
探究:1.设 p, q 为常数,若数列 {an},{bn}均为等差数列, 则数列{panqbn},{akn},{kan}为等差数列 ,公差为多少?
2.若{an}是等差数列,公差为d.则ak,akm,ak2m,(k,mN)组成公差为md的等差数列。
等差数列的性质(二)
等差数列的性质总结
1.等差数列的定义式:anan1
2.等差数列通项公式:
ana1(n1)ddna1d(nN*) , 首项:a1,公差:d,末项:an
aam 推广: anam(nm)d. 从而dn; nm
3.等差中项
(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A
(2)等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2,nN+)2an1anan2
4.等差数列的前n项和公式:
n(a1an)n(n1)d1Snna1dn2(a1d)nAn2Bn 2222
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数2n1时,an1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n1ab或2Aab 2等差数列性质总结 (n2); d(d为常数)2n1a1a2n122n1an1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
5.等差数列的判定方法
(1) 定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.
(2) 等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2. ⑶数列an是等差数列anknb(其中k,b是常数)。
(4)数列an是等差数列SnAn2Bn,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列
等差中项性质法:2anan-1an1(n2,nN).
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项ana1(n1)d
②奇数个数成等差,可设为„,a2d,ad,a,ad,a2d„(公差为d);
③偶数个数成等差,可设为„,a3d,ad,ad,a3d,„(注意;公差为2d)
8.等差数列的性质:
(1)当公差d0时,
等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;
n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0. 前n和Snna1222
(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则为常数列。
(3)当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有aman2ap.
注:a1ana2an1a3an2,
(4)若an、bn为等差数列,则anb,1an2bn都为等差数列
(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n ,„也成等差数列
(6)数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列
(7)设数列an是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
。当项数为偶数2n时,
S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan 2
na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1 2
S偶S奇nan1nannan1annd
S偶
S奇nan1an1 nanan
。当项数为奇数2n1时,则
S偶nS2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S奇n1S偶nan+1
(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8){bn}的前n和分别为An、Bn,且
则Anf(n), nan(2n1)anA2n1f(2n1). nn2n1
(9)等差数列{an}的前n项和Smn,前m项和Snm,则前m+n项和Smnmn anm,amn,则anm0
(10)求Sn的最值
法一:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性nN*。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和
a0即当a10,d0, 由n可得Sn达到最大值时的n值. an10
(2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。
an0即 当a10,d0, 由可得Sn达到最小值时的n值. a0n1
或求an中正负分界项
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
等差数列的性质(三)
高中数学等差数列性质总结大全
等差数列的性质总结
1.等差数列的定义:anan1d(d为常数)(n2);【等差数列的性质】
2.等差数列通项公式:
ana1(n1)ddna1d(nN*) , 首项:a1,公差:d,末项:an 推广: anam(nm)d. 从而d
3.等差中项
(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A
ab2
anamnm
;
或2Aab
(2)等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2
4.等差数列的前n项和公式:
Sn
n(a1an)
2
na1
n(n1)2
d
d2
n(a1
2
12
d)nAnBn
2
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数2n1时,an1是项数为2n+1的等差数列的中间项 S2n1
2n1a1a2n1
2
2n1an1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
5.等差数列的判定方法
(1) 定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列. (2) 等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2. ⑶数列an是等差数列anknb(其中k,b是常数)。
2
(4)数列an是等差数列SnAnBn,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项ana1(n1)d
②奇数个数成等差,可设为„,a2d,ad,a,ad,a2d„(公差为d);
③偶数个数成等差,可设为„,a3d,ad,ad,a3d,„(注意;公差为2d)
8..等差数列的性质: (1)当公差d0时,
等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;
前n和Snna1
n(n1)2
d
d2
n(a1
2
d2
)n是关于n的二次函数且常数项为0.
(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则为常数列。
(3)当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有aman2ap.
注:a1ana2an1a3an2,
(4)若an、bn为等差数列,则anb,1an2bn都为等差数列
(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n ,„也成等差数列
(6)数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列
(7)设数列an是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
1.当项数为偶数2n时, S奇a1a3a5a2n1S偶a2a4a6a2n
na1a2n12
na2a2n
2【等差数列的性质】
nan
nan1
S偶S奇nan1nannan1an=nd
S奇S偶
nannan1
anan1
2、当项数为奇数2n1时,则
S奇(n1)an+1S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1
SSaSnaS偶nn+1n+1奇偶偶
(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)an、{bn}的前n和分别为An、Bn,且
则
(9)等差数列{an}的前n项和Smn,前m项和Snm,则前m+n项和Smnmn
(10)求Sn的最值
法一:因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
nN。
*
AnBn
f(n),
anbn
(2n1)an(2n1)bn
A2n1B2n1
f(2n1).
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和 an0即当a10,d0, 由可得Sn达到最大值时的n值.
an10
(2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。 an0
即 当a10,d0, 由可得Sn达到最小值时的n值.
a0n1
或求an中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
pq2
等差数列的性质(四)
等差数列的性质以及常见题型
等差数列的性质以及常见题型
上课时间: 上课教师: 上课重点:掌握等差数列的常见题型,准确的运用等差数列的性质 上课规划:掌握等差数列的解题技巧和方法 一 等差数列的定义及应用 1.已知数列a的通项公式为a
n
n
3n2
,试问该数列是否为等差数列。
2.已知:
思考题型;已知数列a的通项公式为a
n
n
1
11,xyz,
成等差数列,求证:
yzx
,
zxy
,
xyz
也成等差数列。
n
pn
2
qn(
p,qR,
且p,q为常数)。
(1)当p和q满足什么条件时,数列a是等差数列? (2)求证:对于任意实数p和q,数列a
n1
an是等差数列。
二 等差数列的性质考察 (一)熟用a
n
a1(n1)dam(nm)d
,d
anamnm
问题
(注意:知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式) 1、等差数列a中,a2、等差数列a中,a
nn
n
3
50
,a
5
30
2
3
a524
2
,a
,则a3,则a9
6
3
3、已知等差数列a中,a则a
n
与a6
的等差中项为5,a
与a7的等差中项为7
,
15
25
35
4、一个等差数列中a= 33,a= 66,则a=________________. 5、已知等差数列a中,a
n
p
q
,a
q
p
,则a
pq
____
.
(二)公差d的巧用 (注意:等差数列的项数)
1、已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于_____ 2、等差数列a,a
1
2
,a3,,an
的公差为d,则数列5a,5a
1
2
,5a3,,5an
是( )
A.公差为d的等差数列 B.公差为5d的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 3、等差数列{a}中,已知公差d
n
12
,且a
1
a3a9960
,则a【等差数列的性质】
1
a2a100
A.170 B.150 C.145 D.120
4.已知xy,且两个数列x,a,a,a,y与x,b,b,b,y各自都成等差数列,
1
2
m
1
2
n
则A
a2a1b2b1mn
等于 ( )
m1n1
B C
nm
D
n1m1
5.一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差d为( )
A -2 B -3 C -4 D -5
(三)mn
stamanasat性质的应用
(注意:角标的数字) 1. 等差数列a中,若a
n
3
a4a5a6a7450
,则a
10
2
a8_____
。
2.等差数列a中,若a
n
4
a5a6a745020
,则S
_____
。
3.等差数列a中,若S
n
13
。则a,则S
7
_______
。 。
。
4.等差数列a中,若a
n
11
10
21
_______
5.在等差数列a中a
n
3
a1140
,则a
4
a5a6a7a8a9a10_______
6.等差数列a中, a
n
n
1
a2a324,a18a19a2078,则S20_____
a512
。
7.在等差数列a中,a
n
4
,那么它的前8项和S等于_______。
8
8.如果等差数列a中,a
n
3
a4a512
,那么a
1
a2a7_______
。
9.在等差数列a中,已知a
n
1
a2a3a4a520
,那么a等于_______。
3
10.等差数列a中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则
a7_______
.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1,则a1+a3+a5+…+a21=_______。 12.{an}为等差数列,a1+ a2+ a3=15,an+ an-1+ a n-2=78,Sn=155,则n= _______。 (四)方程思想的运用
(注意:联立方程解方程的思想)
1.已知等差数列{an}中,S3=21,S6=24,求数列{an}的前n项和S
n
2. 已知等差数列{an}中,a
3
a716
,a
4
a60
,求数列{an}的前n项和S
n
(五)S
n
,S2nSn,S3nS2n也成等差数列的应用
1、等差数列前m项和是30,前2m项和是100,则它的前3m项和_______。 2、等差数列{an}的前n项的和为40,前2n项的和为120,求它的前3n项的和为_______。 3.已知等差数列{an}中,S4.已知等差数列{an}中,a
3
4,S912, 求S15
的值.
的值
1
a2a32,a4a5a64,则a16a17a18
5.a1,a2 , a3,…… a2n+1 为 等差数列,奇数项和为60,偶数项的和为45,求该数列的项数.
6.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有_______。
7.在等差数列{an}中,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20的值是_______。 (六)a
n
n
S2n12n1
n
的运用
*
1.设S和T分别为两个等差数列a,b的前n项和,若对任意nN,都有
n
n
SnTn
7n14n27
,则
a11b11
= ________ 。
*
2.设S和T分别为两个等差数列a,b的前n项和,若对任意nN,都有
n
n
nn
snTn
=
3n14n3
,则
a7b7
= ________ 。
n
n
n
n
n
T,3.有两个等差数列a,其前n项和分别为S,若对nN有Sb,
Tn
7n22n3
成立,求
n
a5b5
=( )。
n
(七)a与S的关系问题; 1.数列a的前n项和S
n
n
=3nn
2
2
,则a=___________
n
2.数列a的前n项和S
nn
n
=nn1,则an
2
=___________
3.数列a的前n项和S=n2n,则a=___________
n
n
4.数列a的前n项和S=3n
n
n
2
4n
,则a=___________
n
5.数列a的前n项和S
n
n
=21,则an
n
=___________
6.数列{4n2}的前n项和S
n
=______. =______.
2
7. 数列{4n8}的前n项和S
n
n
n
8. 数列{a}的前n项和S=8n(八)巧设问题;
-10.则an______
一般情况,三个数成等差数列可设:ad,a,ad;四个数成等差数列可设:a3d,ad,ad,a3d.
1.三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数.
2.三个数成等差数列,和为18,平方和为126,求这三个数.
3.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.
4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.
等差数列的性质(五)
等差数列性质及习题
等差数列
1.定义:an1and(d为常数)或an1ananan1(n2) 2.等差数列的通项:ana1(n1)d或anam(nm)d。
3.等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A4.等差数列的前n和:Sn5. 等差数列的性质:
(1)当公差d0时,等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜 率为公差d;
ab
2
n(a1an)n(n1)
,Snna1d 22
n(n1)dd
dn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222
(2)若公差d0,则为递增等差数列, 若公差d0,则为递减等差数列, 若公差d0,则为常数列。 Snna1
(3)当mnpq2w时,则有amanapaq2aw
(4)若{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kanpbn} (k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN)、
*
Sn,S2nSn,S3nS2n ,„也成等差数列.
(5)在等差数列{an}中,当项数为偶数2n时,S偶-S奇nd,S偶:S奇an1:an; 项数为奇数2n1时,S奇S偶an;S奇:S偶(n1):n。
(6)若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn,且
An
f(n), Bn
则
an(2n1)anA2n1
f(2n1). bn(2n1)bnB2n1
(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。
an0an0确定出前多少项为非负(或非正)法一:由不等式组; 或
an10
an10
法二:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
nN*。
专题1 等差数列的定义
1、已知数列an中,anan12(nN*,n2),若a13,则此数列的第10项是
2、已知an1an30,则数列an是 ( ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
3、在x和y之间插入n个实数,使它们与x,y组成等差数列,则此数列的公差为
4、首相为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围
5、已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{
6、在等差数列an中,amn,anm (m,n∈N+),则amn
1
}为等差数列,则an=________ an1
专题2 等差数列的性质
1、在等差数列中,a1与a11是方程2x2x70的两根,则a6为
2、设数列{an}和{bn}都是等差数列,其中a1=24, b1=75,且a2+b2=100,则数列{an+bn}的第100项为
3、设an是公差为正数的等差数列,若a1a2a315,a1a2a380,则a11a12a13
4、若an为等差数列,a2,a10是方程x23x50的两根,则a5a7_______
5、若lg2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x等于_______
6、等差数列{an}中,a13a8a15120,则2a9a10 A.24
( ) D.-8
B.22
C.20
专题3 等差数列的前n项和
1、等差数列an的前n项和为sn,若a418a5,则s8等于
2、已知等差数列an中,前15项之和为S1590,则a8等于
3、 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4=
(A)8
(B)7
(C)6
(D)5
专题4 等差数列的前n项和的性质
1、等差数列an共有2n1项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则n等于 2、已知在数列{an}中,a1=-10,an+1=an+2,则|a1|+|a2|+|a3|+„+|a10|等于
3、已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是
4、已知an为等差数列,a1a3a5105,a2a4a699,Sn是等差数列an的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( )
A.21 B.20 C.19 D.18
5、
专题5 综合应用
1.在等差数列{an}中,如果a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+„+a14=77, (1)求此数列的通项公式an; (2)若ak=13,求k的值。
2.三个实数a,b,c成等差数列,且a+b+c=81,又14-c,b+1,a+2也成等差数列,求a,b,c的值.
3、在等差数列an中,Sn为前n项和: (1)若a1a9a12a2020,求S20;
(2)若S41,S84,求a17a18a19a20的值;
(3)若已知首项a113,且S3S11,问此数列前多少项的和最大?
4、已知等差数列an的前三项为a1,4,2a,记前n项和为Sn. (Ⅰ)设Sk2550,求a和k的值;
(Ⅱ)设bn
Sn
,求b3b7b11b4n1的值. n