初二下册数学沪科版

初二下册数学沪科版(一)
沪科版八年级数学下知识点总结

沪科版八年级数学下册知识总结

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

(1)

x1,2

bb24acb

；(2)x1x2，

2aa

x1x2

c

. a

5. 一元二次方程的解法

（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①x2a(a0)

解为：x②(xa)2b(b0)

解为：xa③(axb)2c(c0)

解为：axb④(axb)2(cxd)2(ac) 解为：axb(cxd)

（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：ax2bx0(a,b0)x(axb)0 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0

x290(x3)(x3)0 x23x0x(x3)0

3x(2x1)5(2x1)0(3x5)(2x1)0

x26x94(x3)24 4x212x90(2x3)20 x24x120(x6)(x2)0 2x25x120(2x3)(x4)0

（3） 配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

P2P2

)()q0 22

33

示例：x23x10(x)2()210

22x2Pxq0(x

②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

ax2bxc0 (a0)a(x2

bbb

x)c0 a(x)2a()2c0 a2a2a

b2b2b2b24ac

a(x)c(x)

2a4a2a4a2

示例： x22x10(x24x)10(x2)22210

（4）公式法：一元二次方程ax2bxc0 (a0)，用配方法将其变形为：

b2b24ac

(x)

2a4a2

1

2121212

①当b24ac0时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根

：

bx1,2

2a

② 当b24ac0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x1,2③ 当b24ac0时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤：

b 2a

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2bxc0 (a0)，并确定出a、b、

c

②求出b24ac，并判断方程解的情况。

③代公式：x1,2

※ 5．当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题：

(以下等价关系要求会用公式 x1x2b

a

a

，x1x2

c

a

；Δ=b2-4ac 分析，不要求背记)

（1）两根互为相反数  b= 0且Δ≥0  b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数  c=1且Δ≥0  a = c且Δ≥0；

a

（3）只有一个零根  c

a

（4）有两个零根  c

a

= 0且b≠0  c = 0且b≠0； = 0

a

a

且b= 0  c = 0

a

且b=0；

（5）至少有一个零根  c=0  c=0； （6）两根异号  c＜0  a、c异号；

a

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 c＜0且b＞0 a、c异号且a、b异号；

aa

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 c＜0且b＜0 a、c异号且a、b同号；

aa

（9）有两个正根  c＞0，b＞0且Δ≥0  a、c同号， a、b异号且Δ≥0；

aa

（10）有两个负根  c＞0，b＜0且Δ≥0  a、c同号， a、b同号且Δ≥0.

aa

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax7．求一元二次方程的公式：

x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.

（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.

9．分式方程的解法：

两边同乘最简

验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0.

公分母凑元，设元，

（2）换元法验增根代入原方程每个分母，值0.

换元.(1)去分母法

2

2

bb24acbb24ac. x+bx+c=ax

2a2a



10. 二元二次方程组的解法：

（1）代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;（2）分解降次法方程组中含有能分解为（(1)(2)0

(3)注意：应分组为

(3)(4)0

（）

）0的方程;

(1)0(2)0(1)0(2)0

.

(3)0(4)0(4)0(3)0

※11．几个常见转化：

22222

(1)x1x22(x1x2)2x1x2；(x1x2)(x1x2)4x1x2；x

1x2

(x

12

)2；x

1

或x2(x)22；

xx

2

1

(xx)2(xx)24xx(x1x2)121212

x1x2；

22

(x1x2)(x1x2)(x1x2)4x1x2

x12x22(x1x2)22x1x2，

xx211

1， (x1x2)2(x1x2)24x1x2，

x1x2x1x2

|x1x2| x1x22x12x2x1x2(x1x2)，x2x1x12x22(x1x2)24x1x2

 等 x1x2x1x2x1x2

(2)

1.分类为x1x22和x1x22

x1x22 ； 2

2.两边平方为（x1x2）4

(3)

x14

x23

x14x14

(1)分类为和16

x23x23 ； (或2)

9x2(2)两边平方一般不用,因为增加次数.



2x1

(4)如x1sinA,x2sinB且AB90时,由公式sin2Acos2A1,cosAsinB

2

可推出x1x221.

注意隐含条件:x10,x20.

(5)x1,x2若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形,面积等式,公式)推导出含有x1,x2的关系式.注意隐含条件:x10,x20.

(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.

(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.

二次根式知识点：

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但

必须注意：因为负数没有平方根，所以等是二次根式，而

知识点二：取值范围

，

是

为二次根式的前提条件，如

，

，

等都不是二次根式。

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，知识点三：二次根式（

注：因为二次根式

（（

）的非负性

）是一个非负数，

即

0（

）。

）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的

）表示a的算术平方根，也就是说，（

没有意义。

算术平方根是0，所以非负数（

）的算术平方根是非负数，即0（），这个性

质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若知识点四：二次根式（

，则a=0,b=0；若）的性质

，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0。

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式也可以反过来应用：若，则知识点五：二次根式的性质

（

）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式，如：

，

.

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简a本身，即2、3、化简知识点六：1、不同点：而

，负实数。但

差别的，

.

时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于

；若a是负数，则等于a的相反数-a,即

一定有意义；

时，先将它化成

与与

与

，再根据绝对值的意义来进行化简。

表示一个正数a的算术平方根的平方，中， 时，

=

；

时，

无意义，而

，而

中a可以是正实数，

。因而它的运算的结果是有

；

中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，

的异同点

表示的意义是不同的，

都是非负数，即

，而

表示一个实数a的平方的算术平方根；在

2

、相同点：当被开方数都是非负数，即

初二下册数学沪科版(二)
沪教版初二下数学详细讲义

第十六章 二次根式

第一节 二次根式

【知识要点】

1.二次根式

代数式a0)叫做二次根式。读作“根号a”，其中a叫被开方数.

2.二次根式有意义

a0

3．二次根式的性质

性质一

a(a0)

性质二

2a(a0)

性质三

a0,b0

性质四

a0,b0) 4.最简二次根式

在化简后的二次根式里：

(1)被开方数中各因式的指数都为1；

(2)被开方数中不含分母.

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

5.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二 次根式.

【学习目标】

1.掌握二次根式有意义的条件及性质.

2.掌握最简二次根式及同类二次根式.

【典型例题】

1.二次根式的判定

【例1】 下列式子中哪些是二次根式？

（1

（2

（3

）； （4

（5

（6

x1)； （7

（8

a0)；

（9

（10

【答案】（1）、（3）、（5）、（7）、（8）是二次根式.

【分析】 二次根式要求根指数为2，所以（4）就不是二次根式，同时二次根式的被开方数

必须是非负数，所以（2）、（6）显然不是，（9）中只有当x10即x1时，才是二次根式，（10）中只有当x0时，才是二次根式.

2.二次根式有意义的条件

【例2】当实数x取何值时，下列各式有意义？

（1

（2

（3

（4

（5

； （6

。 1； （2）x取任何实数； （3）x0； （4）x5； 2

32 （5）x 且x1； （6）x。 23

11【分析】（1）由2x10，得x，所以当x

22【答案】 （1）x

（2）无论x取什么实数，都有(x2)0，所以当x

2

（3）由x0，且x0，得x0，所以当x

（4）由x5 0，即x50，得x5，所以当x

5233且x1，所以当x且x

1有x122（5）由32x0且x10，得x

意义；

（6）由2210且6x40，即6x40，得x，所以当x

336x4

有意义;

3.二次根式的化简

【例3】化简下列二次根式；

（1

）； （2

；

（3

y0)； （4

a0,b0)。 【答案】（1）7；（2

） （3

） （4

； 【解答】（1）原式

（2

）原式 （3）由12xy0且y0，得x0，所以 3

原式

 （4）由a且b0，得ab0，所以

原式。 abab

【例4】下列根式中哪些是最简二次根式？

（1

（2

（3【初二下册数学沪科版】

（4

（5

； （6

（7

【答案】（1）、（5）、（7）是最简二次根式.

【解析】因为

1，所以

（2）、（6）不是最简二次根式.



简二次根式.

4.同类二次根式的判定

【例5】下列各式中，哪些是同类二次根式？ 、（4）不是最3）

（1

（2

（3

（4

（5

（6

（7

x0,y0)； （8

x0,y0)。

【答案】 （1

； （2

 （3

； 45

； （6

； 2（4

 （5

（7）因为x0,y0，所以x2y，于是

)x 2

(x2y；

（8）因为x0,y0，所以xy0，于是

xy。

因此（1）、（5）、（7）是同类二次根式；（3）、（6）是同类二次根式；（4）、（8）是同类二次根式.

【基础训练】

1．a2(a)2成立的条件是_______________.

2．当x________时，式子x31

5x有意义.

a2a2

1；当a________时，1. 3．当a________时，aa

4.代数式 x1 中，字母x的取值范围是 ___________. x1

5.若2x5 ，则x22x52_____________.

6．若m＜0，化简2nm=____________. n

7.若a1b10 ，则 a100b201_____________.

8．下列各式中，是最简二次根式的是（ ） 22 A. B.ab C.ab D.22 3

9.式子x1x1成立的x取值范围为 xx

B．x 1且x0C．x 1 D．x取任意实数 A．x0

10.下列各组式子中，同类二次根式的是（ ）. 327b3ab和 A.3ab和3abc B. 16a3222

C.4341432ba和和 D. abab33a2b

11．mm6mm15m2的值（ ）. 4m

A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负

212.x＜y，那么化简yx(xy)为（ ）.

A.0 B.2y C.－2x D.2y－2x

13.化简下列各式：（此题中的字母均为正数）

5(x2y2)(xy0) （1）9abc （2）xxy （3）48(xy)234422

（4）

425 5b3 （5） 49a4 （6）221 50

初二下册数学沪科版(三)
沪科版初二下数学期末试卷(含答案)

沪科版八年级数学期末试卷

满分：100 时间：90分钟

一、 填空（每题2分，计20分）

1、等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9cm，则这个等腰三角形的腰长为__________

2

30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要__________元

3、计算6(23)=_______ 4、若代数式1

1x在实数范围内有意义，则x取值范围是__________________

5、一元二次方程x2(2m1)x(m1)0的根的情况是_______________________

6、已知方程x2(12)x20的两个根x1和x2，则x22

1x2=___________

7、直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为5和40，那么这个直角三角形的斜边长为______

8、某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资额为8万元，若设该校区这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程为______________

9、一个多边形的外角和是内角和的2

7，则这个多边形的边数为_________

10、把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，第5组到第7组的频率是0.125，那么第8组的频数_________

二、 选择（每题3分，计30分）

1、下列说法中不正确的是（ ）

A、三个角度之比为3：4：5的三角形是直角三角形

B、三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形

C、三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形

D、三边之比为1：2：的三角形是直角三角形

2、等边三角形边长为a，则该三角形的面积为（ ）

A、3a2 B、2a2 C、3

4a2 D、2

3a

3、对于任意实数a、b，下列等式总能成立的是（ ）

A、(a)2ab B、a2b2ab

9

C、(a2b2)2a2b2 D、(ab)2ab

4、若a3，则代数式a26a2的值是（ ）

A、0 B、1 C、－1 D、

5、如果(x2y)23(x2y)40，那么x2y的值为（ ）

A、1 B、－4 C、1 或－4 D、－1或3

6、把方程2x24x10化为(xm)2n的形式，则m、n的值是（ ）

33 B、m1,n C、m1,n4 D、mn2 22

7、在给定的条件中，能画出平行四边形的是（

A、以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边

B5 、以6cm、10cm为两条对角线，8cm为一边

C、以20cm、36cm为两条对角线，22cm为一边 D、以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边

8、正方形具有而菱形不一定具有性质的是（ ）

15 20 25 30 35 A、对角线互相平分 B、对角线相等

第10题 频数分布图 C、对角线平分一组对角 D、对角线互相垂直

9、用两个完全相同的直角三角板，不能拼成如下图形的是（ ） ．．A、m2,n

A、平行四边形 B、矩形 C、等腰三角形 D、梯形

10、为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐次数，并给制成如右上图所示的频数分布直方图，请根据图中信息，计算仰卧起坐次数在25~30次的频率是（ ）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

三、计算（每题5分，计10分）

（1）33(2)248

（2）当a2时，计算

四、 解方程（8分）

x154 2x1x1x1

2a的值 1a1a16 2

五、应用题（8分）

某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品的单价每降低1元，其销量可增加10件

（1） 求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2） 要使商场经营该商品一天获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

六、操作题（8分）

正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：

① ②

仿上用图示的方法，解答下列问题，操作设计

（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干快，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；

（2）对任意三角形，设计一种方案，将它分若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形

七、（8分）已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积．

E A D

B C

八、（8分）为了解中学生的体能情况，某校抽取了50名八年级学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频数分布直方图如下图所示已知图中从左到右前第一、第二、第三、第五小组的频率分别为0.04 , 0.12 ，0.4 ，O.28 ，根据已知条件解答下列问题：【初二下册数学沪科版】

(1)第四个小组的频率是多少? 你是怎样得到的?

(2)这五小组的频数各是多少?

(3)在这次跳绳中，跳绳次数的中位数落在第几小组内?

(4)将频数分布直方图补全，并分别写出各个小组的频数，并画出频数分布折线图．

160以下 160~170次 170~180次 180~190次 190次以上

沪科版八年级数学期末试卷

参考答案

一、 填空

1、18cm 2、420 3、3223 4、x0 5、有两个不相等的实数根 6、3 7、2 8、2(1x)2(1x)28 9、9 10、20

二、选择

1、A 2、C 3、C 、4、C 5、C 6、B 7、C 8、B 9、D 10、A

三、计算

（1）122 （2）42

四、解方程

x2

五、应用题

（1）2000元

（2）设每件商品应降价x元，则(100x80)(10010x)2160

解得x2或8

即每件商品应降价2元或8元

六、

② ②

① ①

② ①

①

七、 周长为39cm，面积为60cm2

八解:(1)由1减去已知4个小组的频率之和得到结果,第五小组的频率为1-(0.04+0.12+O.4+O.28)=0.16；

(2)由频率=频数 ,且知各小组的频率分别为0.04 , 0.12 ，0.4 ，总数

0.16 ,O.28及总人数为50，故有50×O.04=2 , 50× O.12=6 ，50×0.4=20 , 50×0.16=8 , 50×0.28=14从而可知前四个小组的频数为2 ，6 ，20 , 8 ,14；

(3)由中位数应是第25个同学、第26个同学跳绳次数之和的一半。由频数分布直方图可知，第25个同学、第26个同学跳绳次数均落在第三个小组内。故而可知在这次测试中，跳绳次数的中位数落在第三小组内；

初二下册数学沪科版(四)
沪科版八年级数学(下)复习

二次根式复习指导

一、知识梳理

1

a≥0）的式子叫做二次根式。

2、满足下列两个条件的式子叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

3、化为最简二次根式后，被开方的式子叫做同类二次根式。

2

4

、＝________

________

＝________

_______。

5、在进行二次根式加减运算时，应先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。 二、重点、难点分析

重点：正确理解与掌握二次根式的概念，概念成立的条件是正确进行运算的基础。灵活运用好两个．．重要公式：



（a≥0,b≥0



a≥0,b＞0）。

难点：掌握化简二次根式的方法，二次根式的混合运算，

三、思想方法

(a0)a　　　

a的理解。

a　　(a0)

例1、已知A

B，试比较A与B的大小。

例

2、已知x＝

例3

例4、x 四、考点例析

例5、下列等式成立的是（

） A1

2

，y＝

12

，求xxyy的值。

22

1＜x＜3）

a

b

B．

C



Dab

例6、设a、b、c都是实数，且满足(2a)数式xx1的值。

2

2

c80，axbxc0，求代

2

例7、下列二次根式不是最简二次根式的是( ) A

B

C

．五、易错点例析

例9

例10

、若a

例11

、计算：4

D

一元二次方程复习指导 一、知识梳理

1、只含有一个未知数,并且未知数最高次数为2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0，其中ax^2叫做二次项，a是二次项系数，bx叫做一次

项，b是一次项系数，c叫做常数项。 3、一元二次方程常用的解法有：_____________,_______________,_______________,_____________ 4、简要说下怎样用一元二次方程的根的判别式判断方程解的情况 二、重点、难点分析

重点：（1）理解一元二次方程的概念；（2）掌握求一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的方法；（3）熟练应用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程；（4）熟练应用一元二次方程解决实际问题。 难点：（1）熟练地利用配方法解一元二次方程，理解转化思想，设法将方程中的“二次”将为

“一次”；（2）理解一元二次方程的b4ac，会根据b4ac判断数字系数的一元二次方程根的情况。（3）建立一元二次方程或分式方程模型解决实际问题。 三、思想方法

一元二次方程的解法，其实就是如何将“二次”转化为“一次”，例如配方法就是把“一般”形式的一元二次方程转化为“特殊”（可直接开平方法解）的一元二次方程。通过转化思想的学习，可以利用已经学过的知识解决新问题，把“未知”向“已知”转化，由“陌生”向“熟悉”转化。

在研究一元二次方程时，先通过研究特殊形式的一元二次方程的解法，由此引入了直接开平方法，接着研究了一元二次方程的解法，而在求解的过程中，暴露出开平方法的局限性，故此引入配方法，进而得出一元二次方程的公式解法，即求根公式，最后介绍因式分解法。

在直接开平方法解一元二次方程时，就涉及到了整体思想，所谓整体思想，就是从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密联系的数、式看成一个整体去处理，如方程3(x2)

2

22

13

，把括号

内的代数式看作一个整体，先求x2的值，再求x。

由于一元二次方程ax

2

bxc＝0成立必须的条件是a≠0，所以在涉及到含有字母系数的一元二

次方程时，经常要用到分类讨论思想。 四、考点例析

例1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．3(x2)2(x1) B．例2：方程(x1)(x3)5的解是（ ）

A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2

例3、关于x的一元二次方程x3x2m0的根的情况是（ ）

C．无实数根 D．不能确定

例4、已知一元二次方程xax4a0的两实根中仅有一根为负数，求a的取值范围。

例5、现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm

，按照如图所示的裁法，需要裁去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm的无盖长方体型的纸盒？

2

2

2

2

2

2

1x

2



1x

20 C．ax

2

bxc＝0 D．x2xx1

22

五、易错点例析

例

6、已知一元二次方程kx(2k1)xk0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______。

例7、解方程：(x2)4(x2) 例8、关于x的方程x(k2)x2k10的两实数根为x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k＋1 勾股定理复习指导 一、知识梳理

1、直角三角形是一类特殊三角形，它的三边（a、b、c，其中c为斜边）具有一种特定的关系，该关系是______________，称之为勾股定理。

22

2

2、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 3、能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。

4、在坐标平面内任意两点A（x1,y1），B（x2，y2），那么A、B两点之间的距离公式为__________。 二、重点、难点分析

1、勾股定理反映的是直角三角形的三边之间的关系。如果已知直角三角形的任意两边，可利用它来求出第三边。

2、勾股定理与逆定理的题设与结论正好相反，它们都与直角三角形有关。

3、勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，它的前提是直角三角形，因此在求解时要先将实际问题抽象成相应的几何模型，再用数学的观点求解未知量。其关键是运用题目中的直角条件或构造直角三角形。其中构造的方式一般有两种：一是借助已知条件中直角构造，二是作垂线构造。 三、思想方法

在利用勾股定理求线段的长时，常设某条线段的长为x，其他相关线段用含x的代数式表示，结合图形，构造关于x的方程（组）进行求解。

由于有的数学问题中包含着多种可能的情形，不能一概而论，于是，这些问题的解决就需要按照可能出现的所有情况分别给予讨论，做到既不重复，又不遗漏地得出各种情况下相应的结论，进而达到全面解决整个问题的目的，这种思考问题的方法就是分类讨论。如已知一直角三角形的两边，或对于无图形的应用问题，常采用分类讨论的数学思想来进行，防止漏解。

在本章中，如将实际问题转化为数学问题，将非直角三角形转化为直角三角形，将立体图形转化为平面图形等，充分显示了转化思想的妙用。

在对实际问题解决的过程中，首先要将其转化为数学问题，提炼其数学元素，并画出图形，然后根据图形找出数量关系，将“数”与“形”结合起来，这种思想就是数形结合思想。如求网格中的线段长，以及作2

所谓数学建模思想是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。就是说用数学知识去解决实际问题时所使用的数学语言和数学方法。 四、考点例析

例1、（荆门市）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么(a＋b)2的值是______

例2、（金华市）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．

例3、（芜湖市）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形【初二下册数学沪科版】

A的边长为

6cm、B的边长为

5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ） A．

B．4cm C．

D． 3cm

例4、（乐山）如图（5），把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，

B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH90，PF8，PH6，则矩形ABCD的边BC长为（ ）



Ａ．20 Ｂ．22 五、易错点例析

Ｃ．24 Ｄ．30

例5、判断有线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，其中a

15

，b＝2，c

75

。

例6、若直角三角形的两边长分别为6cm，8cm，求第三边的长。 例7、已知△ABC的两边长为10cm和12cm，BC边上的高为8cm，求第三边的长。 定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 (勾股定理的应用：

勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。 勾股定理的逆定理。

运用勾股定理的逆定理的步骤： ①首先确定最大的边(如c) ②验证： 若 当 当

与

是否具有相等关系：

，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。 时，△ABC是锐角三角形； 时，△ABC是钝角三角形。

注意总结直角三角形的性质与判定。

初二下册数学沪科版(五)
2014-2015八年级数学下册勾股定理测试题(沪科版)

2014-2015八年级下册数学勾股定理 测试题（沪科版）

一、填空题（每题4分，共40分）

1．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底4米处，那么这棵树折断之前的高度是_______米．

2．直角三角形一条直角边与斜边分别为4 cm和5 cm．

3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝为直径的半圆的面积为_______．

4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，若AB＝4 cm，CD＝12 cm，BC＝13 cm，则四边形ABCD的面积是_______．

5．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为60 cm，对角线为100 cm，则这个桌面_______．（填“合格”或“不合格”）6，乙往南走了6 km，这时两人相距_______km．

7，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了2步为1米），却踩伤了花草．

8的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝a，则图中_______．

9Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝_______．

10．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BD＝5．如图所示，折叠纸片使点A落在

边BC上的A'处，折痕为PQ．当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A'在边BC上可移动的最大距离为_______．

二、选择题（每题4分，共40分）

11．下列各组数中，可以构成勾股数的是( )．

A．13，16，19 B．17，21，23

C．18，24，36 D．12，35，37

12．下列命题中，是假命题的是( )．

A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形

B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形

C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形

13．一直角三角形的三边分别为2，3，x，那么以x )．

A．13 B．5

C．13或5 D．4

14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、CD

的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E是( )．

A．13 B．26

C．47 D．94

15

BC＝4，则点C到AB的距离是( )．

D． 9 4

161800 cm2，则斜边长为( )．

17

A爬到点B，则蚂蚁爬行的

18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( )．

A

．3 B．4 C．5 D．6

19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，

AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )．

A．

B．4 C．

D．

4.5

20．如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是行的路线是AB→BB1直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）

2013 A．0 B．1 C 三、解答题（共70分）X K b1.C o m

21．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，＝15，DB＝9．

(1)求DC的长；

(2)求AB的长．

22

32＝4＋5，52＝2＝24＋25，92＝40＋41，„

若132＝a＋b，则a

2316 n mi1e／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以hA2h后，两船相距多远？

24．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c

和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

(1)画出拼成的这个图形的示意图；

(2)证明勾股定理．

25．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B1 km，BD＝3 km，CD＝3 km现在河边CD上建一水厂向A、B为20 000元／千米，请你在河CD边上选择水厂位置O铺设水管的总费用？X k B 1 . c o m

26．如图，公路MN和公路PQP处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN拉机的速度为18

参考答案

1．8 2．2.4 3．169 8

4．36 cm2

a2

5．合格 6． 10 7．8 8． 2

9．1.4 10．2

11．D 12．C 13．C 14．C 15．A 16．A 17．A 18．C 19．B 2021．(1)12 (2)25

22．a=84，b=85

23．2h后

24．略

25．作点A关于河CD的对称点A'，连接A'B交河CD于O 26．24秒