等差数列的前n项和优秀教案

等差数列的前n项和优秀教案(一)
等差数列前n项和教案(公开课教案)

“等差数列的前n项和”教案

1

3



2

220

6

二、教学反思

根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下五点反思：

（1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。

（2）本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。

（3）由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。

（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

（5）目标达成

本课注重在课堂教学活动中实现目标。

2

5

等差数列的前n项和优秀教案(二)
等差数列前n项和教学设计

等 差 数 列 前 n 项 和

【教学目标】

一、知识与技能

1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前n项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。

2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。

二、过程与方法

1、启发式教学。从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。

2、探究式学习。从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。

三、情感态度与价值观

1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。

【教学重点、难点】

重点：探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决

简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

解决办法:以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图

形的变化得到“倒”的思路。

【教学用具】

实物投影仪，多媒体软件，电脑

【教学过程】

一、情景引入:

1、（播放媒体资料）印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿„„成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

即: 1+2+3+······+100=？

少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？

高斯用的是首尾配对的方法。

特点： 首项与末项的和： 1＋100＝101，

第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101，

第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，

· · · · · ·

第50项与倒数第50项的和： 50＋51＝101，

于是所求的和是： 101×50＝5050。

S100 = 1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050

2、试一试：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？ 把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边

形中的每行宝石的个数均为101个，共100行。有什么启发？

1 + 2 + 3 + „„

+98 +99 +100

100+ 99 + 98 + „„ + 3 +2 +1

1+2+3+…+100=（100+1）×100÷2=5050

想一想：1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？ （配）

2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？（倒）

点出方法：倒序相加

二、推进新课

1、探究1：求1到n的正整数之和 即：sn =1＋2＋3＋„„＋n

sn123(n1)n

1snn(n1)(n2)2

2sn(1n)(1n)

(1n)

n

2、看谁算得快：如图一堆钢管有多少根？

(59)55＋6＋7＋8＋9==35 2

3、探究2：那么，对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n项和？

即：sn =a1+a2+a3+„„+an snn(n1)2

Sa1(a1d)[a1(n1)d]证法1：利用定义可得：n

Snan(and)[an(n1)d]

两式相加可得：2Snn(a1an) 即Snn(a1an) 2

Sna1a2an (1)

证法2： Snanan1a1 ( 2 )

a1ana2an1a3an2ana1

∴（1）+（2）可得：2Snn(a1an) ∴Snn(a1an) 2

公式变形：将ana1(n1)d代入可得：Snna1

综上所述：等差数列求和公式为：

Snn(n1)d 2n(a1an)n(n1)na1d 22

4、认识公式：

（1）、用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 n 项和的两个公式.

（2）、公式特点： （1）相同点：都需知道a1与n

（2）不同点： 第一个还需知道an ，第二个还需知道d。

5、公式应用：

例1：求等差数列-10，-6，-2，2，„前10项的和。【等差数列的前n项和优秀教案】

变式题：等差数列-10，-6，-2，2，„前多少项和是54？

解：设题中的等差数列为an，前n项为Sn

则a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n01)454 2

解之得：n19,n23（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2„前9项的和是54

思考：其实，在求和公式、通项公式中共有首项a1、公差d、项数n、末项an、前n项和sn五个元素，如果已知其中（三个） ，联列方程（组），就可求其余（两个）。（知三求二）

练习一：

1、 根据下列条件，求相应的等差数列前n项的和

（1）a1=100，d=－2，n=50（2）a1=－4，a8=－18，n=8;（3）a1=14.5，d=0.7，an=32

2、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和的公式. 例2、已知一等差数列有12项，a3+a10=4，求s12 （能力提高）

练习二： 1、已知一等差数列中a5=10，则s9=（ C ）

A、45 B、60 C、 90 D、120

2、已知一等差数列中a3+a6+a9=－6，则s11=（ B ）

A、－11 B－22 C、0 D、22、

想一想：

1、等差数列第k项与倒数第k项的和等于 （首末两项的和 ）

2、等差数列有奇数项，那么前n项和等于 （中间项乘以项数 ）

公式的变式：sn

(a1an)n(a2an1)n(aank1)nk

222

三、课堂小结：

1、回顾公式的推导，从特殊到一般是我们研究问题的一般方法；

2、倒序相加的方法，数形结合的思想；

3、掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。

四、作业布置：1、预习新课

2、书面作业：课本 46页，习题 2.3 A组 第2、3题

【板书设计】

【教学设计说明】

一、情景引入1、以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。

2、因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，我设计了一个“试一试”：假如

再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。

二、两个探究

1、探究1，从特殊数列入手，让学生更好地体会 “倒序相加法”的优点。

2、“看谁算得快”是为了联系“梯形”图形，启发同学的思维，也是加深倒序法的感性认识。

3、探究2：公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。

从情景引入到探究1、2，到公式的认识，无不体现了“数形结合”的思想。

三、例题及习题的选择

例1及变式题到例2有一定梯度，例2有点活，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的。

练习一是基本运用，体现了一定的梯度，第二题是书本的例题，要鼓励学生用多种解法。 练习二体现了公式的灵活运用，更要突出解选择题的方法技巧。

练习题包含了三种题型，训练全面；能很好地让学生的能力得到逐步提升。

整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。

2008-12

等差数列的前n项和优秀教案(三)
高一数学公开课等差数列的前N项和教案

公 开 课：2.2 等差数列的前n项和（1）

授课班级：高一（1）班 教师ZNB

教学目的：

1．掌握等差数列前n项和公式的推导过程．

2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.

教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应用.

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：无

教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等差数列的定义： an－an1=d ，（n≥2，n∈N ，d为公差）

2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d

3．等差中项：a,A,b成等差数列,则A叫a与b的等差中项（2Aab）

5．等差数列的性质： m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ∈N )

二、讲解新课：【等差数列的前n项和优秀教案】

[创设情景]

等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演 了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+„„ +100=？当时，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确 答案：（1+100）+（2+99）+„„+（50+51）=101×50=5050

高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，„，n，„前100 项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n项的和！

[探索研究]

我们先来看看人们由高斯求前 100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受

到启发，于是用下面的这个方法计算 1，2，3，„，n，„的前 n 项的和：

由 1 + 2 + „+ n-1 + n

n + n-1 + … + 2 + 1

（n+1）+（n+1）+ „ +（n+1）+（n+1）

可知 

123n

上面这种加法叫“倒序相加法” (1n)n2

1、数列的前n项和：

数列an中，a1a2a3an称为数列an的前n项和，记为Sn.

2．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an) 2

证明：Sna1a2a3an1an ①

Snanan1an2a2a1 ②

① +②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

∵a1ana2an1a3an2

∴2Snn(a1an) 由此得：Sn

下面我们来做几道练习题

在已知等差数列

（1）n(a1an) 2an 中，求数列的前n项和Sn a14,a818,n8, (2) a15,d3,n10.

分析：（1）直接用公式即可，（2）需要通过利用等差数列的性质来求出

式，从而引出等差数列前n项和的另一公式。

等差数列的前n项和公式2：Snna1an 然后再用公n(n1)d 2

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,ana1,an,n，我们就用公式1；如果我们知道等差数列的a1,d,n，我们就用公式2.

三、例题讲解

例1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001 年起用10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

⑴、先阅读题目；

⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；

⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解。 解：根据题意，从 2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50万元.所以，可以建立一个等差数列an，表示从 2001 年起各年投入的资金，其中

a1500,d50

那么，到 2010 年（n=10） ，投入的资金总额为

Sn1050010(101)507250(万元)2

答：从 2001~2010 年，该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元.

例 2．已知一个等差数列an前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由这些条件能

a1,an,n或者a1,n,d的方确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？ 引导学生分析得到：等差数列前 n 项和公式就是一个关于

程。若要确定其前n项求和公式，则要确定a1和d的关系式，从而求得。

分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于a1和d的二元一次方程，由此可以求得a1和d，从而得到所求前n项和的公式.

解：由题意知S10310，S201220，

Snna1

1 将它们代入公式 n(n1)d2得

a45d31010

20a190d12201

解得：a14,d6 所以Sn4nn(n1)63n2n2

同学们想一想还有其他解法么？动手做做！

例题评述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量

四、 课堂练习(课本习题)

五、小结 本节课学习了以下内容：

1、数列的前n项和Sna1a2a3an

2、 等差数列的前n项和：

公式1： Snn(a1an) 2

n(n1)d 2公式2： Snna1

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

等差数列的前n项和优秀教案(四)
高二数学《等差数列的前n项和》公开课获奖教案

【等差数列的前n项和优秀教案】

课题： 等差数列的前n项和

授课人： 授课类型：新课

教学目标和重难点

【教学目标】：依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合我带的班的学情分

析，我制定了如下教学目标：

● 知识目标

(1)掌握等差数列前n项和公式;

(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。 ● 能力目标

(1) 通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法； (2) 通过公式的运用体会方程的思想；

(3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力；

(4) 体会从特殊到一般和一般到特殊的数学研究方法，进一步提高解决问题的能力。 ● 情感态度

结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。

【教学重、难点】

● 重点

探索并掌握等差数列前n项和公式的推导和应用。 ● 难点

等差数列前n项和公式推导思路的获得。 ● 重、难点解决的方法策略

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

【教学过程设计】

数形结合

类比化归

前后呼应 公式应用

第1页（共6页）

【教学过程】

第3页（共6页）

等差数列的前n项和优秀教案(五)
《等差数列的前n项和》教学设计

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《等差数列的前n项和》教学设计

作者：杨映全

来源：《新课程学习·下》2014年第10期

一、教材分析

从近年来高考试题中分析得知，考查数列的比重越来越大，其价值越来越得到重视。尤其是相关数列的题型不仅能够锻炼学生的探究能力，培养学生严谨的思维能力，而且对学生分析能力、归纳能力的培养也起着不可替代的作用。同时，等差数列的前n项和也是上节课等差数列的后继内容。本节课的主要内容是：等差数列前n项和公式的推导及运用。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）掌握等差数列前n项和的公式以及推导过程；

（2）会用等差数列的前n项和解决相关的一些问题。

2.能力目标：

通过让学生自主推导前n项和公式来锻炼学生的自主学习能力

通过相关问题情境的创设来培养学生的独立思考能力和探究能力。

3.过程与方法：

自主探究模式、数学思想的渗透。

三、教学重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的推导。

难点：等差数列前n项和公式的灵活运用。

四、学生分析

“以学生为中心”的教学思想是新课程改革下的基本教学理念，也是学生健全发展的保障。所以，对于高中阶段的学生来说，他们已经具备了自主学习的能力，而且多年的学习也促使学生有了特有的学习方法，因此，我们可以借助自主探究式教学模式来给学生搭建自主学习的平台，进而为学生获得更大的发展空间打下坚实的基础。