30.1二次函数

30.1二次函数(一)
30.1二次函数

滦平二中 年级 学案

30.1二次函数(二)
30.1二次函数教学设计

30.1 二次函数教学设计

甄俊芬主备

教学目标

知识方面：

1.理解并掌握二次函数的概念；

2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式.

能力方面：

1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.

2.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力.

情感方面：

通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。

教学过程

一、提出问题，导入新课.

1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？

2.教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习.

3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？

列式表示下面函数关系.

问题1：

的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系.

问题2： n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?

问题3： 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示?

活动中教师关注：

（1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式.

（2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量.

教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点.

（学生小组交流、讨论得出结论。)它们的共同点：

（1） 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式.

（2）等式的右边可统一为“ax2+bx+c”的形式.

教师口述二次函数的定义并板书：一般地，形如y=ax2+bx+c （a, b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数.

a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；

c为常数项.

问题：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，

(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？

活动中教师应关注：

（1）学生能否归纳、概括出这三个函数关系式的共同特点；

（2）函数y=ax2+bx+c中，a≠0是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数．若b，c其一为0或均为0，上述函数的式子可以写成怎样？此时它们还是二次函数吗？

（3） 定义是关于x的二次整式（切不可把“y=x2++3，当成二次函数) . 运用新知，解决问题.

例1 下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.

1

2

(4) y=3(x－1)²+1 (5)y=(x+3)²－x² (6) y222x 1x (1)y3x2 (2) s1t5t2 (3) yx24x322

(7)s=3－2t² (8) v3r2 (9) y=mx²+nx+p (m,n,p为常数) 例2 已知函数y(m1)xmm，

(1) m取什么值时,此函数是正比例函数？

(2) m取什么值时,此函数是反比例函数？

(3) m取什么值时,此函数是二次函数？

例3 矩形的长和宽分别是3米和2米，把它的长增加x米，宽增加若干米，212

使周长成为原来的2倍，设边长增加后，矩形的面积是S，求S与x之间的函数关系式.

巩固练习，深化知识.

1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s

与半径 r 之间的关系式.

2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.

3. m为何值时，函数y(m2m)x2mx(m1)是以x为自变量的二次函数？ 归纳小结，布置作业.

1.小结

这节课我们主要学习了二次函数，你有哪些收获？学生回答.

2.布置作业

必做题：教科书 A组

选做题：教科书 B组

2014年12月10日

共性意见：

1、 提出问题，导入新课中“教师引导学生观察，分析上面三个函数

关系式的共同点”，应改为“先独立思考，再小组合作交流，找出共同特点。”

2、 例2比较难，应先老师引导，再小组交流，共同完成。

个性意见:

1、例2需老师分析后学生互帮互讲在独立书写。

2、我班学生接受能力较差，巩固练习，深化知识部分3.去掉，让学生做书中的练习。

教学反思：

先用图片这些丰富的生活实例，给学生带来视觉上的直观感受，调动学生的积极性，让他们充分感受到二次函数的应用价值与实际意义. 接着学习求一些实际问题中二次函数的解析式，重视二次函数概念的形成和建构，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.在概念的学习过程中,

让学生注

重a、b、c的含义，为后面例题的学习打下基础.

刘荣格

30.1二次函数(三)
30.1二次函数的概念教学设计

30.1二次函数的概念教学设计

一、教材分析：

这节课是学生在已经学习了变量与函数、一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是中学阶段整个函数知识体系中最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例，它的学习也为高中阶段的函数学习打下了基础，所以本节内容的教学安排符合学生的认知需求和整个函数体系的自然发展，对培养学生的数学思维，学生的终身发展需求有着重要的作用。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象、性质及二次函数与一元二次方程的关系等做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。同时通过让学生从已经学过的一元二次方程的实际问题情境入手，在经历实际问题情境的探究，体验二次函数产生的过程中，体会到它是实际生活的产物，并逐步让学生体会怎样建立实际问题的函数模型，培养他们用函数思想分析、解决问题的意识和能力。

二、学生情况分析：【30.1二次函数】

认知基础：学生已经学习过“一次函数”和“反比例函数”，已经掌握了函数的概念和三种表示方法，基本理解并掌握了确定函数解析式的重要方法——待定系数法，初步具有了函数解题的思考方法及表达能力，具有了初步的函数思想和数形结合思想的意识，为本章学习奠定了基础。但是由于本班学生的基础原因他们在用函数刻画某些实际问题中变量之间的关系的能力还有待培养。学生对知识遗忘现象也比较普遍。

活动经验基础：在“一次函数”和“反比例函数”中，教材为了学生提供了丰富的实际问题情景，通过经历“观察、思考、交流、探究”等活动体会函数模型的建立过程，经历函数图象法，体会利用函数图象研究函数性质的重要性，通过具体问题的解决过程，获得函数问题求解的体会与思维方法等经验方面已有所积累和准备，活动中在培养学生良好情感态度的同时，也使学习具备了一定的主动参与，合作意识和解决问题的能力。

三、教学目标：

（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。

（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．

（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 教学重点：对二次函数概念的理解。

教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。

四、教学设计：

（一）打开你的记忆：

(1)y = 2x+1 (2)y = -x-4 x(4)y = 5x2 (5)y = -4x ( 6)y = ax+1

其中，一次函数有_____,那么一次函数的一般形式是_____

回顾已经学过的两种函数及其表达式：正比例函数，一次函数，反比例函数

3y2

"它们之间有什么关系啊？"

这个时候大家自然就想起来：把两个未知数作为两个变量来看的话，二元一次方程就是一个一次函数。自然也就明白变量和二元之间的关系了，这时我从二元一次方程的解有无数多个，列举起来不方便，二元二次方程的求解情况更多更不方便，比如现在问题情境1我们要多次列举一个个试就太烦琐还浪费时间，所以从解决问题的形象直观性等方面引导学生用函数的观点描述这几个式子。学生决定用二次函数命名。

3、二次函数定义：

这个时候我提示学生怎样用数学语言来准确描述二次函数呢？让学生先回忆以前学过哪些函数？它们都是怎样定义的？然后类比它们的描述方式也给二次函数下定义：

形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．【30.1二次函数】

4、定义巩固：

①辨析一元二次方程与二次函数：既然很相象，谁能说出它们之间的区别与联系？

这个时候学生已经能从函数值角度去思考式子（1）就是式子（2）y=－210x+140x-5760当 函数值y=400时那一点对应的x值。还有的说按函数看y、x是两个变量，按方程理解y、x是二个未知数等。

②类比一元二次方程的某些探究方法思考：为什么a≠0？

形如y=2x2 、 y=3x2＋7x 、 y=1/2x2-1、 y=2x＋1/8、 y=-1/x2的是二次函数吗？为什么？

设计意图：以上前三种形式都是二次函数的特殊形式，这里强调有助于学生全面地理解二次函数的各种形式；式子y=2x＋1/8则是为了让学生从中体会定义中a≠0的必要性。y=p-1/x2是让学生明白二次函数也必须在整式范围内讨论。为接下来的判断二次函数做好铺垫。

（三）、概念应用:

例题：李大爷存某种两年期的储蓄，年利率为x，李大爷存入人民币5万元，到期时本息和为y1，则 y1与x之间的关系应怎样表示？如果李大爷存的是一年期

的，年利率为m，一年到期时未取续存，则两年到期时李大爷取出的本息和y2与m之间的关系式是什么，它们的系数一样吗？

学生小组内交流自己对存款的了解及两咱存法的差异。接下来小组活动、情境模拟：每个小组内小组长代表银行方面，先定出两种存款方式的不同利率，然后各

小组内选两个成员来存钱。要求他们的本金相等，每组有用5元做本金的，有用10元做本金，各组内统一一个标准。有一人按方案一存到期一次取只计算一次本息和；有一人按方案二先存一年（假设时间）到时只算出应该得的本息和，不取续存，然后到第二年结束时再取。让学生感受两种存法的不同。并实际地计算出到期后他们应该得到的钱数。这个时候学生的活动热情很高，他们参与着，感受着，计算着。最后在班内对各个小组的活动成果进行了公布，通过结果观察，学生发现这两上方案最后的结果很多时候是不一样的。这个时候我又让学生上升到本题用字母代表利率和本息和，这个时候学生就能找出各自的对应量相应替换了，最后是两个函数关系式的班内交流和自变量取值范围的讨论。

设计意图：让学生体验从实际问题出发到列二次函数解析式的过程,了解存款常识知识的同时，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.

2y=ax＋bx＋c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。

（四）、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? 若是二次函数，指出a、b、c．

(1)y=5x＋1- x² (2) s=3-2t² (3)y=(x+3)²- x²

(4)y=5x4－3x＋1 (5) s=10πr² (6) y=2²+2x

2、一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径R之间的关系式。

（五）、课堂小结:

1、学生谈对二次函数的概念的理解并把它放入一次函数、正比例函数、反比例函数等组成的函数体系中进行分析、比较。师引导学生思考解决前几类函数时我们主要从哪些方面去研究并解决问题的？

设计意图：让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。让学生讨论、交流，发表意见，把本节问题情境1的解决思路归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值的数学问题。并让学生对后续学习有一种期待。

2、师引导学生对本节的函数思想、类比思想及将要用到的解决函数问题最常用的数形结合思想数学思想方法进行总结归纳。

教学反思：

以前对于概念课的理解和重视程度不够，总觉得概念很简单，没什么探究的余地和思维的空间，结果到后来学习过程中发现学生有很多困惑往往都是来源于对概念的理解不深、不透彻。还有以前对概念教学的引入往往是直接呈现几个符合某种特定特征的式子，让学生直接观察归纳，学生缺少经历概念产生的过程，在视频学习中，感到只有学生经历概念产生的必要性的认识，他们才会激发起学数学用数学的意识和兴趣，也真正地会把数学知识应用于具体问题情境中去建立数学模型转化为数学问题求解。

2014年12月15日

30.1二次函数(四)
30.1二次函数

课题：30.1二次函数

教学目标：

1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

（1）面积y (cm2)与圆的半径 x ( Cm )

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)【30.1二次函数】

x

（一） 教师组织合作学习活动：

1、 先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

（1）y =πx2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000

(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.

板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数 yx2pxq当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数yax2bxc ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

（1） y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

（2） 当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。 H C

F

A E B

四、归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获？

五、布置作业

P27 1.2.3

:

30.1二次函数(五)
30.1_二次函数的基本概念

30.1_二次函数的基本概念教学反思

刘荣格

1．给出表格让学生探索，等于让学生沿着教师的思维进行思考和探究，这样做限制了学生的思维，使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，放手让学生自主探索，学生完全能找到解决问题的办法。通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，如取值的过程从5，10，15的这一取法，就是在八年级上册所学的估算的思想，分段取值，逐步逼近。发现函数与方程的联系（如：令－5x2+100x＝0解得x1＝0，x2=20），发现变与不变的关系（如：发现60000

是常量，进而去研究－5x2+100x的值的大小）。学生自己探究过程所得出的结论不仅能很好地达到本节的教学目的，同时对下面几节的教学也起到了很好的铺垫作用。第二天的教学就能很好地说明这点，在学习第二节课二次函数的图象时，学生能很快想起本节所描述的函数特征，使得函数的学习不再变得抽象难懂。

2． 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。