直线与圆的位置关系

直线与圆位置关系知识点与经典例题
直线与圆的位置关系 第一篇

直线与圆位置关系

一．课标要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．知识框架

相离 几何法

弦长 直线与圆的位置关系

相交 代数法

切割线定理

相切

直线与圆 代数法

求切线的方法

几何法

圆的切线方程

过圆上一点的切线方程

圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程

三．直线与圆的位置关系及其判定方法

1.利用圆心O(a,b)到直线AxByC0的距离dAaBbC

AB22与半径r的大小来判

定。

（1）dr直线与圆相交

（2）dr直线与圆相切

（3）dr直线与圆相离

2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。

（1）有两个公共解（交点），即0直线与圆相交

（2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0直线与圆相切

（3）无解（交点），即0直线与圆相离

3.等价关系

相交dr0

相切dr0

相离dr0

练习

（位置关系）1.已知动直线l:ykx5和圆C:(x1)y1，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

（位置关系）2.已知点M(a,b)在圆O:xy1外，则直线axby1与圆O的位置关2222

系是（）

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

（最值问题）3.已知实数x、y满足方程x2y24x10，

y的最大值和最小值； x

（2）求xy的最大值和最小值； （1）求

（3）求x2y2的最大值和最小值。

〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。转化为求斜率的最值；转化为求直线yxb截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。

（位置关系）4.设m,nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)(y1)1相切，则mn的取值范围是（）

（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线 12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是

6．直线xy20截圆x+y=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )

A、2222 B、 C、 D、 6432

22（位置关系）7．圆xy2x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是

（ ）

A．2 B．12 C．12 D．122 2

（最值问题）8.设A为圆(x2)2(y2)21上一动点，则A到直线xy50的最大距离为______.

9．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆

C的方程为（ ）

A．xy2x30

C．xy2x30 2222B．xy4x0 D．xy4x0 2222

10.若曲线yx2与直线yxb始终有两个交点，则b的取值范围是__________.

22（对称问题）11.圆C1:(x3)(y1)4关于直线xy0对称的圆C2的方程

为:( )

A. (x3)2(y1)24 B. (x1)2(y3)24

C. (x1)2(y3)24 D. (x3)2(y1)24

12. 直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M,N两点，若|

MN|

则k的取值范围是( )

A．[3,0] 4

2B

．[ 2C

．[ D．[2,0] 313.圆C：(x－1)＋(y－2)＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；

(2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．

[解析] (1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0. 直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点，

2x＋y－7＝0由得交点M(3,1)． x＋y－4＝0

22又∵(3－1)＋(1－2)＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点．

(2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．

22又|CM|＝(3－1)＋(1－2)＝5，

∴弦长为l＝r－|CM|＝225－5＝5.

四．计算直线被圆所截得的弦长的方法

221.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的Rt计算，即AB2rd

2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即

ABk21xAxB(k21)(xAxB)24xAxB

（注：当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结； （ 弦中点坐标为

练习 xAxByAyB,），求解弦中点轨迹方程。） 22

221.直线y2x3被圆xy6x8y0所截得的弦长等于（）

2.过点(2,1)的直线中被圆xy2x4y0截得的弦长最大的直线方程

是( )

A.3xy50 B. 3xy70 C. x3y50 D. x3y50

3.已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:yx1被圆C所截得的弦长为22

22，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为（）

4.直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)＋(y＋3)＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为( ) 3335A. C．2 245

5.已知圆C:(x3)2(y4)24和直线l:kxy4k30

（1)求证:不论k取什么值,直线和圆总相交;

(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

226.若曲线x＋y＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为

1( )A．1 B．－1 C. D．2 2

7.已知过点M3,3的直线l与圆x2y24y210相交于A,B两点，

（1）若弦

AB的长为l的方程；

（2）设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程．

解：（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x3，此时有y24y120，弦

，所以不合题意． |AB||yAyB|268

故设直线l的方程为y3kx3，即kxy3k30．

2将圆的方程写成标准式得xy225，所以圆心0,2，半径r5． 222

圆心0,2到直线l

的距离d

角形，所以23k1k21225，即k30，所以k3． 2

所求直线l的方程为3xy120．

（2）设Px,y，圆心O10,2，连接O1P，则O1PAB．当x0且x3时，kO1PkAB1，又kABkMPy(3)， x(3)

22y2y3355则有．．．．．（1） 1，化简得xy．x0x3222

当x0或x3时，P点的坐标为0,2,0,3,3,2,3,3都是方程（1）

355的解，所以弦AB中点P的轨迹方程为xy． 222

8.已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30相交于P,Q两点,O为原点,且22OPOQ,求实数m的取值.

五．已知切点，求切线方程

1.经过圆x2y2r2上一点P（x0,y0）的切线方程为x0xy0yr2

2.经过圆(xa)2(yb)2r2上一点P（x0,y0）的切线方程为

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

3.经过圆xyDxEyF0上一点P(x0,y0)的切线方程为22

x0xy0yD

练习 x0xyyE0F0 22

221.经过圆上一点P(4,8)作圆(x7)(y8)9的切线方程为（）

2.圆x2y24x0在点P(1,)处的切线方程为（ ）

A．x3y20 B．xy40 C．x3y40 D．x3y20

六．切点未知，过园外一点，求切线方程

1.k不存在，验证是否成立；

2.k存在，设点斜式，用圆到直线的距离dr，即

yy0k(xx0) by0k(ax0)

k1

222r练习 1.求过A(3,5)且与圆C:xy4x4y70相切的直线方程。

七．切线长

若圆C:(xa)(yb)r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长222

d(x0a)2(y0b)2r2

直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题
直线与圆的位置关系 第二篇

直线与圆、圆与圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点；

2、直线与圆相切  dr  有一个交点(切点）； 3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

二、切线的判定定理与性质

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线

经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图） ①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

例1、 在

中，BC=6cm，∠B=30°

，∠C=45°，以A为圆心，

当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？

解题思路：

作AD⊥BC于D 在在

中，∠B=30° ∴

中，∠

C=45°

∴ CD=AD ∵ BC=6cm ∴ ∴【直线与圆的位置关系】

∴ 当当

A与BC相切；当时，⊙

A与BC相离。 时，⊙

A与BC相交；时，⊙

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=