含有潘的成语

含有潘的成语篇一
《潘雨宸-成语小故事》

含有潘的成语篇二
《成语故事-破釜沉舟-潘晨煜》

含有潘的成语篇三
《约化方法下一类含有对手违约的欧式期权定价模型_潘坚》

2013年第六期赣南师范学院学报

JournalofGannanNormalUniversity№．6Dec．2013

约化方法下一类含有对手违约的

欧式期权定价模型

*

潘

摘

坚

（赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州341000）

要：在约化方法框架下，假设原生资产服从几何布朗运动，利率和违约强度均服从Vasicek模型，利用风

险对冲技巧和无套利原理推导出国债回收条件下的一类含交易对手违约的欧式期权定价模型且利用偏微分方程方法得到其定价公式．在此基础上，讨论了回收参数对期权价格的影响．

关键词：约化方法；信用风险；国债回收；期权定价；偏微分方程方法中图分类号：F830．9

文献标志码：A

文章编号：1004－8332（2013）06－0013－05

近年来，随着场外期权的迅速发展，引起了人们对对手风险越来越多的关注．场外期权由于其对手在到

期日可能无法完成必须的支付而暴露潜在的信用风险，其价值低于同等条件下在场内交易的期权价值，Johnson和Stulz（1987）［1］称这种期权为脆弱期权．源于美国次贷危机的金融危机，有不少学者，投资者和业界人士认为由于忽略交易对手风险而对信用产品的错误估价，放大了风险，导致金融危机愈演愈大．所以，对信用衍生产品的交易对手估值变得越来越重要．

含有信用风险的期权定价模型主要有两类定价方法：结构化方法和约化方法．结构化方法是以Merton（1974）［2］的债券定价理论为基础，假设公司资本结构由资产和负债两部分构成，到期时如果资不抵债就发生违约．Johnson和Stulz的论文是首篇在结构化方法下讨论有信用风险的期权定价问题的论文，此模型是

［3］

Merton债券定价模型的推广；Klein（1996）扩展了Johnson和Stulz的论文，假设交易对手方的价值与标的

［4］

3］讨论了有信用风险的期权定价问题；汪刘根利用偏微分方程方法，在文献［的基础上资产价值相关时，

［5］

推导出随机利率模型下的脆弱期权定价公式；吴恒煜（2007）考虑了随机利率与随机的对手方负债情形下

的具有信用风险的期权定价问题并得到定价公式；梁歌春，任学敏利用偏微分方程方法研究了基于首次通过时间模型的欧式脆弱期权定价并得到定价公式．约化方法，它并不直接考虑违约与公司价值之间的关系，而是通过一个外生的跳过程来刻画违约事件，违约时刻就是泊松过程发生第一次跳的时刻，其中跳过程的参数可通过市场数据统计出来的，这种方法认为违约是由外在的某种不可预测的因素造成的．Jarrow和Tunbull（1995）［2］Duffie和Singleton（1999）［2］分别用这种方法研究了具有违约风险的债券定价问题．傅毅，张寄洲和王杨在约化框架下利用偏微分方法分别得到了常数违约强度和确定性函数违约强度的欧式期

［8］

权定价公式；苏小囡在约化框架且在面值回收下利用概率论方法求解出随机利率与随机违约强度相关的8］欧式期权定价公式．文献［中的回收方式—面值回收不是很合理，期权与债券不一样，期权违约后，没有回

收价值．为了减少投资者的损失，可以考虑国债回收，即期权违约后，期权一文不值，可以采用相同到期日的国债收益来弥补投资者．本文在约化框架下，假设原生资产服从几何布朗运动，利率和违约强度均服从Va-sicek模型，利用风险对冲技巧和无套利原理推导出国债回收条件下的一类含交易对手违约的欧式期权定价模型且利用偏微分方程方法得到其定价公式．最后，讨论了回收参数对期权价格的影响．1数学模型1．1基本假设

（H1）原生资产（股票）的价格St服从如下随机过程：

*

［7］

［6］

收稿日期：2013－09－13

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11061001）

作者简介：潘坚（1979－），男，江西寻乌人，赣南师范学院数学与计算机科学学院讲师、硕士，主要从事偏微分方程与金融数学的研究．

dSt=St［，（1）μdt+σ1dW1（t）］

W1（t）是标准的布朗运动．其中μ为股票的期望增长率，σ1为股票的波动率且为常数，

（H2）违约强度λt服从如下随机微分方程［2］：

dλt=a1［b1－λt］dt+σ2dW2（t），（2）

其中常数a1为违约强度回归长期均值的速度；常数b1为违约强度的长期均值；常数σ2为违约强度的波动

W2（t）是标准的布朗运动．率，

（H3）随机利率rt服从如下随机微分方程［9］：

drt=a2［b2－rt］dt+σ3dW3（t），（3）

W3（t）是标准其中常数a2为利率回归长期均值的速度；常数b2为利率的长期均值；常数σ3为利率的波动率，

的布朗运动．

（H4）Cov［dWi（t），dWj（t）］=ρij（dt），（|ρij|＜1，i，j=1，2，3且i≠j，常数ρij表示两个随机源的相关系数．

（H5）为了减少投资者的损失，假定在期权发行方发生违约时，投资者可以获得Ｒ份具有相同到期日的国债收益，同时为了方便计算，假定Ｒ为常数且Ｒ0．

（H6）市场无摩擦，无套利，不支付交易费，红利和税收．注：模型假设（2）和（3）中的λt和rt的取值可能为负，现实中不是很合理，可以考虑C－I－Ｒ模型，但会

2］导致期权价格满足的方程是退化抛物型方程，求解也非常复杂且麻烦，文献［告诉我们：λt和rt取值为负

的概率非常小，只要有相应合理的初始值λ0和r0．1．2模型建立

根据上面的假设，利用Δ对冲技巧，在t时刻构造一个投资组合Π=V－Δ1S－Δ2P，即Π是由一份期权V=V（S，r，t）、t）的组成．在（t，t+dt）时间段内，λ，Δ1份的股票S和Δ2份的无风险国债P=P（r，Π的变化与是否发生违约有关，从而dΠ并不确定．须分两种情形讨论：

t+dt）时间段若发生违约，情形1：在（t，其可能性为λdt，由模型假设5，此时组合的价值变化为

dΠ（t1）=－V+ＲP．（4）

［9］

t+dt）时间段不发生违约，情形2：在（t，其概率为1－λdt．利用Ito公式，可以得到此时投资组合的价

值变化为：

12V12V12VVVVV（2）222

dΠt=dV－Δ1ds－Δ2dP=dt+S+dλ+dr++++2（dS）2（dλ）2（dr）2S2λ2rtSλr

222

12PVVVPP2

dSdλ+Sdr+drdλ－Δ1dS－Δ2dt+dr+．（5）2（dr）］2rSλSrrλtr

为了消除（5）中的随机项，取Δ1=

2

VVP

和Δ2=）Srr

－1

并注意到国债价格P满足偏微分方程

［9］

：

P12

+σ3

2t

PP

dΠt］=－rP=0．综合2种情形，先对dΠt取数学期望并略去dt的高阶项，得到：E［2+a2（b2－r）rr

（2）［9］

［dΠ（t2）］（1－λdt）+［dΠ（t1）］dΠ（t1）］λdt≈dΠt+［λdt．然后，根据无套利原理，即dΠt=rΠtdt．因此，通过简单计算，得到

222222

1VVVV22V2V2V++2ρ13σ1σ3S+2ρ23σ2σ3+σ1S2+σ22+σ32+2ρ12σ1σ2S2tSλSrrλSλr

VVV

a1（b1－λ）+rS－（r+λ）V+λＲP=0．+a2（b2－r）（6）

λrS

r，T）=（S－K）+，K为敲定价格．因此，Vasicek模型下具注意到在看涨情况下，期权的到期收益为：V（S，λ，

有信用风险的欧式看涨期权定价模型为：

222222

V1VVV22V2V2V++2ρ13σ1σ3S+2ρ23σ2σ3+σ1S2+σ22+σ32+2ρ12σ1σ2S2tSλSrrλSλr

（7）VVV+rS－（r+λ）V+λＲP=0，a1（b1－λ）+a2（b2－r）

λrS

V（S，r，T）=（S－K）+．λ，

r，T）=（K－S）+．因此，Vasicek模型下具有信用风险的欧式而在看跌情况下，期权的到期收益为：V（S，λ，

看跌期权定价模型为：

222222

VVV22V2V2VV+1+2ρ23σ2σ3+2ρ13σ1σ3S+σ1S2+σ22+σ32+2ρ12σ1σ2S2tSλSrrλSλr

VVV+a2（b2－r）+rS－（r+λ）V+λＲP=0，a1（b1－λ）

rSλ

V（S，r，T）=（K－S）+．λ，

（8）

2

定价公式

含有交易对手违约的欧式看涨期权定价公式为：定理1约化方法框架下，

V（S，r，t）=P｛eλ，

x1+d1

*

N（

2d1+x1－1nK

1

*

）－KN（

x1－1nK1）－Ｒ｝e

∫tγ（s）ds+e

T

－a1T+a1t

1

－1

+ＲP（9）

1－e－a2（T－t）e－a2t－e－a2T

r+C2（t）+A2（t），其中：x1=1nS+

a2a2C2（t）=b2（e

a2T

a2t

ρ23σ2σ3a2tσ3a2tea2T－ea1（t－T）+a2ta2T

－e）+e－e+a2］+2e－ea2T－ea2tsinh（a2（t－T））］，

a1a2a1+a2a2

2

2

aT－ata（t－T）a（t－T）

σ1（t－T）ρ13σ1σ3－1+e22ρ12σ1σ2－1+e1－1+e2

A2（t）=b2（T－t）+－b2+t－T－+t－T－+

2a2a1a1a2a2a（t－T）a（T－t）a（T－t）

ρ23σ2σ3σ3－1+e1－1+e2－1+e2a（T－t）

t－T－a2+－+3a2（t－T）+1－cosh（a2（t－T））－1+e2］，a1a2a1（a1+a2）a2a1+a2a2

2

d

*1T

－aT+at－2aT+2at－aT+at

2ρ13σ1σ3σ31－e221－e2211－e222

=σ1（T－t）+3（T－t）－2++－+（T－t）］｝，

a22a2a2a22a2

2

∫

t

1－e1

γ（s）ds=b1a1

－aT+a1t

－aT+at－2aT+2at

σ21－e111－e11

－（T－t）］+2［（T－t）－2++

a12a12a1

2

证明

［9］题：

－a（T－t）－a（T－t）－（a+a）（T－t）

ρ23σ2σ31－e11－e21－e12

［（T－t）－－+．a1a2a1a2a1+a2注意到在Vasicek利率模型下，到期日T支付1（单位）的零息票国债的价格P满足如下终值问

2

Pσ3PP+－rP=0（－∞＜r＜+∞，0tT），2+a2（b2－r）2rtrP（r，T）=1．

9］由文献［知道：问题（10）有唯一显式解：

T）r

P（r，t）=H（t，T）e－h（t，，

{

2

（10）

2

a2b2（T－t）－b2+b2e2σ3－a2（T－t）－2a2（T－t）

，H（t，T）=exp｛32a2（T－t）－3+4e－e］－｝．

4a2a22

r，t）=（W（x，r，t）+Ｒ）P（r，t），为了求出问题（7）的表达式，作变换：x=1nS和V（S，λ，λ，通过计算后，化为

如下定解问题：

1－e2

T）=其中h（t，

a2

－a（T－t）

－a（T－t）

222222WWWW2W2WW+1（σ2+2ρ13σ1σ3+2ρ23σ2σ3）－λW+12+σ22+σ32+2ρ12σ1σ2

2xλxrrλtxλr

2

σ1WWW2

+=0［r－+（t）］［ab+（t）－a］+［ab+（t）－ar］ρσσχρσσχλσχ1313112323122322xrλ

W（x，r，T）=（ex－K）+－Ｒλ，

（11）

1P

=－h（t，T）．为了求出问题（11）的表达式，r，t）=φ（x，r，t）eA（t）λ，其中作变换W（x，λ，λ，Pr－aT+at

e11－1

A（t）=，通过计算后，化为如下定解问题：

a1其中χ（t）=

16赣南师范学院学报2013年

222222

1φφφφ2φ2φ2φ+（σ12+σ22+σ32+2ρ12σ1σ2+2ρ23σ2σ3+2ρ13σ1σ3）+γ（t）φ+t2xxrrλλxrλ

φφφ=0［r+B1（t）］+［B2（t）－a1λ］+［B3（t）－a2r］

xrλ

φ（x，r，T）=（ex－K）+－Ｒλ，

（12）

σ12

其中：B1（t）=ρ12σ1σ2A（t）+ρ13σ1σ3χ（t）－，B2（t）=a1b1+σ2A（t）+ρ23σ2σ3χ（t），

2

σ2

B3（t）=a2b2+σχ（t）+ρ23σ2σ3A（t），γ（t）=［a1b1+ρ23σ2σ3χ（t）+A（t）］A（t）．

2

23

γ（s）dsatat

r，t）=U（x，y，t）e∫t，为了求解问题（12），做变换：y=λe1+C1（t），θ=re2+C2（t），φ（x，λ，θ，通

过计算后，问题（12）可化为：

22222

U12U22a1tU22a2tUa1tUa2tU+++2ρ13σ1σ3eσ12+σ2e2+σ3e2+2ρ12σ1σ2et2xyxθxyθ2（13）a1t+a2tUU

e+［r+B（t）］=0ρσσ23231yθx

U（x，，T）=（ex－K）+－Ｒθy，

T

2

2

()

C1（t）=其中，

∫

t

T

［a1b1+ρ23σ2σ3χ（s）+σ2ea1sds，C2（t）=2A（s）］

∫［ab

t

T

22

+ρ23σ2σ3A（s）+σ2ea2sds．3χ（s）］

y，t）=M（x1，y，t），为了求解问题（13），再做变换：x1=x+A1（t）θ+A2（t）和U（x，θ，其中A1（t）=e－a2t－e－a2TA2（t）=a2

∫［B（s）

t

1

T

－C2（s）e－a2s］ds．通过计算后，问题（13）可化为：

（14）

{

下面利用Fourier变换

222

1MMM22a1tM+f（t）=02+σ2e2+2f2（t）21tx1yx1y

M（x1，y，T）=（ex1－K）+－Ｒt）=求解问题（14），令Φ2（ζ，η，

222at2at

f2（t）=ρ12σ1σ2ea1t+ρ23σ2σ3ea1t+a2tA1（t）．其中f1（t）=σ1+σ3e2A1（t）+2ρ13σ1σ3e2A1（t），

［10］

∫∫

－∞

+∞+∞

－∞

M（x1，y，t）e－i（ξx1+ηy）dx1dy并对问题

（14）进行Fourier变换，得到如下常微分方程定解问题（ξ，η是参数）：2a1t2

dΦ2［f1（t）ξ2+σ2η+2f2（t）ξη］Φ22e

－=0，dt2T）=（eξ－K）+－Ｒ．Φ2（ξ，η，

利用变量分离的方法求解（15），得到

t）=［（eξ－K）+－Ｒ］e－［d1ξΦ2（ξ，η，

其中d

*

1

*

2+d*η2+2d*ξη

32］

{

（15）

．（16）

f（s）ds∫=，d

t

1

T

2

*

2

f（s）ds∫=，d

t

2

T

2

*

3

22aT2atσ2（e1－e1）=．对（16）式作Fourier逆变换［10］，有

4a1+∞

M（x1，y，t）=

y）=其中G（x1，

∫∫

－∞

+∞

－∞

［（eξ－K）+－Ｒ］G（x1－ξ，y－η）dξdηdξdη

=

e4π

*

－

***

d3（x1）2+d1y2－2d2x1y

24［d1d3－（d2）］

（17）

∫∫

－∞

+∞+∞

－∞

e－［d1ξ

*

2+d*η2+2d*ξη

32］i（x1ξ+yη）

e

4π2

二重积分计算，得到

M（x1，y，t）=e

*

x1+d1

d1d3－（d2）

2

对M（x1，y，t）进行较为繁琐的

N（

2d1+x1－1nK

2d1

）－KN（

x1－1nKd1－Ｒ

最后，经过一系列的上述变换回到原变量和原函数，定理1得证．用完全类似的方法，可以得到：

定理2约化方法框架下，含有交易对手违约的的欧式看跌期权定价公式为：

第6期潘坚约化方法下一类含有对手违约的欧式期权定价模型

x1+d1

*

17

－1

V（S，r，t）=P｛KN（－λ，

x1－1nKd1

）－eN（－

2d1+x1－1nK

d1*

e

γ（s）ds+∫t－Ｒ｝e

T

－a1T+a1t

1

+ＲP（18）

其中定理2中的参数同定理1．

3数值分析

下面将利用数值化的方法来说明回收参数Ｒ对期权价格的影响（以看涨期权为例）．假定参数满足：a1=0．2，b1=0．02，a2=0．3，b2=0．05，σ1=0．2，σ2=0．25，σ3=0．15，T=1，S0=100，r0=0．02，K=80．λ0=0．5，ρ12=0．5，ρ13=－0．7，ρ23=0．6，利用Matlab

软件，我们可以分别得到不同回收参数下期权价格与期权敲定价的关系图和期权价格与股票价格的关系图：

图1不同回收参数下期权价格与期权敲定价的关系图图2不同回收参数下期权价格与股票价格的关系图

从图1可以看出：期权价格随着敲定价格的增加而减小这一趋势与回收参数Ｒ无关，但随着Ｒ的增大，期权

这是由于回收率越大，损失更小，期权的到期收益越大．因此，期权的价格也越高．从图2可以价格也随着上涨，

随着Ｒ的增大，期权价格也随着上涨．看出：期权价格随着股票价格的增加而上涨这一趋势也与回收参数无关，

参考文献：

［1］JohnsonH．，Ｒ．Stulz．Thepricingofoptionswithdefaultrisk［J］．JournalofFinance，1987，42（2）：267－280．

［2］达雷尔·达菲（DarrellDuffie），肯尼思·J辛格尔顿（KennethJ．Singleton）．信用风险：定价、度量和管理［M］．上海：上海财经大学出版

2009．社，

［3］P．Klein．PricingBlack-ScholesOptionswithCorrelatedCreditＲisk［J］．JournalofFinance，1996，20（7）：1121－1129．［4］汪刘根．含有信用风险的期权定价研究［D］．杭州：浙江工商大学，2007．［5］吴恒煜．具有违约风险的欧式期权定价［J］．经济数学，2005，22（4）：373－383．

［6］Liang，G．C．，Ｒen，X．M．ThecreditriskandpricingOTCoptions［J］．Asia-pacificFinancialmarkets，2007，14（2）：45－68．［7］傅毅，J］．上海师范大学学报（自然科学版），2009，38（6）：573－579．张寄洲，王杨．违约风险的欧式期权定价模型［［8］苏小囡．不完备市场中的几类期权定价研究［D］．上海：华东师范大学，2012．［9］WilmottP．Derivatives［M］．London：JohnWiley＆Sons，1999．

［10］姜礼尚，M］．北京：高等教育出版社，2003．陈亚浙，刘西垣，等．数学物理方程讲义［

PricingforaKindofEuropeanOptionsSubjecttoCounterparty

DefaultinaＲeducedformModel

PANJian

（SchoolofMathematicsandComputerScience，GannanNormalUniversity，Ganzhou341000，China）

Abstract：Undertheframeworkofreducedformsmodel，wesupposethattheunderlyingassetisobeyedbythegeometricBrownthedefaultintensityandtheinterestratearegovernedbytheVasicekmodelaswellasamongarecorrelated，themodelaboutmotion，

akindofEuropeanoptionssubjecttocounterpartydefaultisobtainedbythehedgingmethodandthearbitrage－freeprinciple．theclosedformsolutionsarealsoderivedbymeansofPDEmethods．Afterwards，theinfluenceofdifferentrecoveryparametersonthepriceofEuropeanoptionsisconsidered．

Keywords：reduced-formapproach；creditrisk；recoveryoftreasury；optionpricing；partialdifferentialequationsmethods