有关“根”的有什么

有关“根”的有什么篇一
《关于方程的根的有关问题》

有关“根”的有什么篇二
《第1讲有关方程根的命题》

第1讲 有关方程根的命题

内容精要 存在性

方法1：利用零点定理判定

1.原理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且满足f(a)f(b)0，则至少存在一个(a,b)，使得

f()0。

2.对象：若题目只已知连续，可导性未知或者无法判的条件下一般用零点定理

注意：如果f(x)在开区间(a,b)上连续，且满足f(a0)f(b0)0，则结论仍然成立；

如果f(x)在区间[a,)上连续，且满足f(a)f()0，则结论仍然成立；其它区间也有类似结论。 方法2：利用罗尔中值定理判定

1.原理：如果函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等，即

f(a)f(b),那末在(a,b)内至少有一点(ab),使得函数f(x)在该点的导数等于零，即

f()0

2.对象：在已知可导的条件下或者可导性容易判定的条件下或者在零点定理无法判定的基础上，可以考虑罗尔中值定理。 3.方法

Step1：有已知条件构造一个辅助函数F(x)（F(x)f(x)，即找出f(x)的一个原函数）及一个区间； Step2：验证F(x)在所给区间上罗尔中值定理的正确性。从而得出结论。 注意：在求方程唯一性

方法1：单调性

1.原理：若个一个函数f(x)在区间[a,b]有根且单调，则根必唯一。 2.对象：单调性容易判定，特别对于显函数的判定。 方法2：罗尔中值定理反证法 1：原理：如果f

(n)

f(x)0的根一般要用罗尔中值定理。

(x)0，则f(x)0至多有n个根（如果又知道f(x)0至少有n个根）则f(x)有

且仅有n个根。若要证明至多有一个根，则假设f(x)在已知区间上有两个根x1,x2，且x1x2，然后用罗尔中值定理得出矛盾的结论。

2.一般用来证明f(x)至多有n个根的命题。 典型例题分析

题型1 ：不含参数的方程根的判定

例1证明方程x55x10有且仅有一个小于1的正实根。 证 存在性

设f(x)x55x1, 则f(x)在[0,1]上连续

且f(0)1,f(1)3.由介值定理

x0(0,1)，使得f(x0)0.，即为方程的小于1的正实根.

唯一性

设另有x1(0,1),x1x0,使f(x1)0.

因为f(x)在x0,x1之间满足罗尔中值定理的条件， 所以至少存在

(x0,x1)，使得f()0.

4

但f(x)5(x1)0,(x(0,1))矛盾,所以为唯一实根。

例2 若方程a0xna1xn1an1x0有一个正根x0,证明方程a0nxn1a1(n1)xn2an10 必有一个小于x0的正根. 证 令f(x)a0xa1x

n

n1

…an1x,显然f(x)在0,x0连续,在0,x0内可导,且f(0)0,依题意

知f(x0)0.即有f(0)f(x0).由罗尓定理,至少存在一点(0,x0),使得f()0成立,即

a0nn1a1(n1)n2…an10

成立,这就说明是方程a0nxn1a1(n1)xn2an10的一个小于x0的正根. 例3 函数f(x)在[0,3]上连续，且f(x)2，证明方程3x解 构造函数F(x)3x

3



x

f(t)dt1在[0,3]上有且仅有一个解.



x

f(t)dt1，则F(x)在[0,3]上连续，(0,3)上可导，F(0)10，

F(3)8f(t)dt83f()0，由闭区间上连续函数的零点定理，可知(0,3)，F()0即

为方程3xf(t)dt1的根.

x

又F(x)3f(x)0，故函数单调，因此仅有一个解。

例4 已知f(x)在(,)上可导，并且满足f(x)f(x)0，证明f(x)在(,)上最多有一个零点.

证明 采用反证法，设f(x)在(,)有两个零点x1,x2（x1x2）. 取F(x)ef(x)，则F(x)在[x1,x2]连续，在(x1,x2)可导，F(x1)F(x2). 由罗尔定理知(x1,x2)，F()e



x

f()f()0



又e0，故f()f()0，与题目条件f(x)f(x)0矛盾，故f(x)在(,)上最多有一个

零点。

题型2：含有参数的方程的根的讨论

例5 判断方程lnxax (其中a0)有几个实根.

解 设f(x)lnxax，f(x)的定义域为(0,)，f(x)当x0,

1

a x

1

时，f(x)0，函数单调增加； a

当x

1

,时，f(x)0，函数单调减少. a

x

又limf(x)limf(x) 

x0

所以f

1

的取值决定了方程实根的情况. a

当f

11

，即时，方程没有实根； lna10a

ea

当f

11

，即时，方程有唯一实根e； lna10a

ea

11

，即时，方程有两个实根，分别位于(0,e)与(e,). lna100a

ea

当f

评注：本题实际上是函数绘图问题，绘制函数的大致图形，可以帮助我们准确地判断方程的根等问题. 例6 讨论曲线y4lnxk与y4xlnx的交点个数。 解 令f(x)lnx4lnx4xk，x(0,) 由f(x)

4

4

43

(lnx1x) x

令f(x)0得驻点x1，且当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。由此x1是f(x)的最小值点，且f(1)4k

当f(1)4k0，即k4时，f(x)f(1)0，f(x)没有零点； 当f(1)4k0，即k4时，f(x)f(1)0，f(x)有唯一零点；

当f(1)4k0，即k4时，由于limf(x),limf(x)，故f(x)有两个零点 

x0

x

综上所述，当k4时，两曲线没有交点；当k4时，两曲线仅有一个交点；当k4时，两曲线有两个交点。 题型3：方程

f(x)0的跟的判定

例7 函数y(x1)(x2)(xn)的导数有_____个实根.

解 函数y为x的n次多项式，在(,)上连续可导，y为x的n1次多项式.y(1)y(2)y(n)0，故函数y(x)在[1,2],[2,3],,[n1,n]上满足罗尔定理条件，故

1(1,2),2(2,3),,n1(n1,n)，有y(1) y(2)y(n)0，即y0至少有n1个

根，又n1次多项式最多只能有n1个根，所以得实根个数为n1. 评注：本题主要考查罗尔定理的运用.

有关“根”的有什么篇三
《与分式方程根有关的问题分类举例》

与分式方程根有关的问题分类举例

姜官扬

与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。

1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值

解答此类问题必须明确增根的意义：

（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。

（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。

利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。

例1. （2000年潜江市）

2x42a2

使关于x的方程a产生增根的a的值是（ ） x22x2

A. 2 B. －2 C. 2 D. 与a无关

解：去分母并整理，得：

a22x401

因为原方程的增根为x=2，把x=2代入<1>，得a2=4

所以a2

故应选C。

例2. （1997年山东省） 若解分式方程2xm1x12产生增根，则m的值是（ ） x1xxx

A. －1或－2 B. －1或2

C. 1或2 D. 1或－2

解：去分母并整理，得：

x22x2m01

又原方程的增根是x=0或x1，把x=0或x=－1分别代入<1>式，得：

m=2或m=1

故应选C。

例3. （2001年重庆市）

若关于x的方程ax110有增根，则a的值为__________。 x1

解：原方程可化为：a1x201

又原方程的增根是x1，把x1代入<1>，得：

a1

故应填“1”。

例4. （2001年鄂州市）

关于x的方程xk2会产生增根，求k的值。 x3x3

解：原方程可化为：x2x3k1

又原方程的增根为x=3，把x=3代入<1>，得：

k=3

例5. 当k为何值时，解关于x的方程：k1x1k5只有增根x=1。 2xx1xx1x1

解：原方程可化为：

x1k5x1k1x2

把x=1代入<1>，得k=3 1

所以当k=3时，解已知方程只有增根x=1。

评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；

（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。

2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围

例6. （2002年荆门市）

当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程xk2x2只有一个实数根。 x1xx

解：原方程可化为：x22xk01

要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：

（1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由44k0得k=－1。当k=－1时，方程<1>的根为x1x21，符合题意。

（2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由44k0，得k>－1。又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入<1>得k=0，或k=3，均符合题意。

综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。

例7. （2002年孝感市）

当m为何值时，关于x的方程

解：原方程可化为： 2xm121无实根？ xxxx1

x2x2m01

要原方程无实根，有下面两种情况：

（1）方程<1>无实数根，由142m0，得m27； 4

（2）方程<1>的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入<1>得m=2。

综上所述：当m

7或当m=2时，所给方程无实数解。 4

例8. （2003年南昌市）

已知关于x的方程1mm有实数根，求m的取值范围。 xx1

解：原方程化为：mx2x101

要原方程有实数根，只要方程<1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。

（1）当m=0时，有x=1，显然x=1是原方程的增根，所以m=0应舍去。

（2）当m0时，由14m0，得m1。 4

又原方程的增根为x=0或x=1，当x=0时，方程<1>不成立；当x1，m0。 综上所述：当m1且m0时，所给方程有实数根。 4

评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围

x1x22x2ax例9. 当a取何值时，解关于x的方程：无增根？ x2x1x2x1解：原方程可化为：

2x2ax301

又原方程的增根为x=2或x1，把x=2或x1分别代入<1>得：

a5或a1 2

2又由a240知，a可以取任何实数。

所以，当a5且a1时，解所给方程无增根。 2

评注：解答此类问题的基本思路是：

（1）将已知方程化为整式方程；

（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；

（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。

4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围

例9. 已知关于x的方程xa1的根大于0，求a的取值范围。 x2

解：原方程可化为：2x2a 所以x1a 2

由题意，得：

1aa0且12 22

所以a2且a2

例10. 已知关于x的方程xk2的根小于0，求k的取值范围。 x2

解：原方程可化为：xk2x4

所以xk4

由题意，得：k40

所以k4

评注：解答此类题的基本思路是：

（1）求出已知方程的根；

（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

说明：注意例9与例10的区别，例9有1a2，而例10无k42这一不等式？请2

有关“根”的有什么篇四
《与分式方程根有关的问题分类举例》

与分式方程根有关的问题分类举例

与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。

已知分式方程有增根，求字母系数的值

解答此类问题必须明确增根的意义：

（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。

（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。

利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。

例1. 使关于x的方程a22x42a2

x22x产生增根的a的值是（ ）

A. 2 B. －2 C. 2 D. 与a无关

例2. 若解分式方程2xm1x1

x1x2xx产生增根，则m的值是（

A. －1或－2 B. －1或2

C. 1或2 D. 1或－2

例3. 若关于x的方程ax1

x110有增根，则a的值为__________。

例4. 关于x的方程xk

x32x3会产生增根，求k的值。

）

例5. 当k为何值时，解关于x的方程：k1x只有增1k52xx1xx1x1根x=1。

评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。

2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围

xk2x例6. 当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程只2x1xx

有一个实数根。

例7. （2002年孝感市）

当m为何值时，关于x的方程

2xm1无实根？ 21xxxx1

例8. （2003年南昌市） 1m已知关于x的方程m有实数根，求m的取值范围。 xx1

评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围

x1x22x2ax例9. 当a取何值时，解关于x无增根？ x2x1x2x1

评注：解答此类问题的基本思路是：

（1）将已知方程化为整式方程；

（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；

（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。

4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围

xa例10. 已知关于x的方程1的根大于0，求a的取值范围。 x2

例11. 已知关于x的方程

xk2的根小于0，求k的取值范围。 x2

评注：解答此类题的基本思路是：

（1）求出已知方程的根；

（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

a说明：注意例9与例10的区别，例9有12，而例10无k42这一2

不等式？请读者思考。

有关“根”的有什么篇五
《根的结构和功能》

有关“根”的有什么篇六
《根式的有关概念》

第7课 根式的有关概念

初三（ ）班 姓名： 学号： 2007年 月 日 一、课前小测（限时5分钟）： 1． 2． 3． 4． 5．

计算：a5a4

因式分解： x – y – m x + m y = 化简：2 a – ( a – b ) = 若 ( x – 1 ) 2 = 4 ，则 x = 当 x = xxy

yyx

x4x2

2

的值为零。

6． 7． 8． 9．

计算：



不等式 2 x + 4 > 0的解集是。

三角形三个角的度数比是1：2：3，则这个三角形是 等腰直角三角形的斜边是2，则直角边是

10． 半圆的圆周角等于 二、本课主要知识点：

1. 二次根式：形如a ( a≥0 )的式子叫做二次根式。 2. 二次根式的性质： (1) (2)

a

≥ 0 ( a≥0 )

2

a

a

2

a( a≥0 )

(3)

aa0



a0a0

aa0

aab

(4) (5)

abab

b

( a≥0，b≥0 )



( a≥0，b＞0 )

2

2

练习：计算：80；

8

2

22

；08

169











256144



3. 最简二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽

方的因数或因式。

练习：化简：(1)= ；(2)= ；(3)24= ；(4)48= . (5) 下列的根式中，属最简二次根式的是（ ） A.9x B.x29 C.

x9

D.(x9)2

4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次

根式叫做同类二次根式。

练习：若最简二次根式3与2m是同类二次根式，则m = . 5. 分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。 练习：化简：

1313

33

；

121



1



21

21



21



三、基础达标训练： （A组）

1. (2006年福建省南安市) 观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，，

32，……那么第10个数据应是.

2. (2006年福建省厦门市) 下列四个结论中，正确的是（ ） A.

32

5252

B.

54



52



32

C.

32



52

2 D. 1

52



54

3. 若2a3有意义，则a的取值范围是4. 5.

(3.14)

2



2x

＝2

6. 若m27，则m7. 化简：4a2b3

8. 下列根式是最简二次根式的是（ ）

A． B．x2y2 C．

13

D．2a3b

9. 若最简二次根式2a1与3是同类二次根式，则 a = （ ） A．1 B．2 C．10. (2005年福建省福州市)

若代数式

x1

12

D．– 2

在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )

A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠ 0 D．x≥0且x ≠ 1 11. (2006年辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是（ ） A． B．5 C．3 D．2 12. (2006年广东省广州市)已知A=n

12

，

B=2(n为正整数)．当n≤5时，有A＜B；

请用计算器计算当n≥6时，A、B的若干个值，并由此归纳出当以n≥6时，A、B间的大小关系为 ·

13. (2006年内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的 点有个．

2

14. 若m2m0，则m；若13a3a1，则a15. 若x4，则 x = （B组）

1. (2006年山西省临汾市

) 若3a，则a与3的大小关系是（ ） A．a3

B．a≤3

7

77

C．a3 D．a≥3

2. (2006年广东省) 化简=

1x

3. (2006年天津市)已知x

，则x－的值等于___________.

4. 已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示，则(ab)2a2

5. 若

aa

2

1，则a

6. 化简

353535

222

甲，乙两同学的解法如下：

3(5(5

2)

2)2)

甲：=

2)(52)(5

2)

5

2

乙：

=(

(5

(5

5

2

对他们的解法，正确的判断是（ ）

A．甲、乙的解法都正确 B．甲的解法正确，乙的解法不正确 C．乙的解法正确，甲的解法不正确 D．甲、乙的解法都不正确 7. (2006的北京市海淀区) 已知实数x，y满足x5

y40，求代数式xy

2006

的值。

8. 已知x34y0，则 x + y = 9. 下列计算正确的是（ ）

A．55 B．55 C．55 D．55

2

2

2

2

10. 下列根式中，与2是同类二次根式的为（ ） A． B．27 C．（C组）

1. 若最简根式a与根式

18

12

D．

23

是同类二次根式，则 a =

(xy)( )中的括号应填入

2

2. (2006年江苏省苏州市)等式xy

3. 如图，数轴上点A

，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x

，求



x0



的值．

有关“根”的有什么篇七
《二次根式有关概念》

二次根式（一）

知识点：1.二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a0）。 2 二次根式的基本性质： ①

a0（a0） ②(a)

2

a（a0） ③

a

2

题型一：判断二次根式

a（a0）



|a|0（a0）



a（a0）

1．若3m为二次根式，则m的取值为 （ ）

A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3

2．下列式子中二次根式的个数有 （ ） 13

3；⑶

x

2

138(

13

)

2

1x(x1)x22x3.

3. 当x___________时，3x是二次根式． 题型二：二次根式有意义的条件

1.要使下列各式有意义，字母x的取值必须分别满足什么条件？ （1）34x

2

（2）x

3x

（3） 2．当

a2

x1

2x

（4）x1

有意义时，a的取值范围是 （ ）

a2

A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2

3.当x___________时，34x在实数范围内有意义．

1

4.若代数式2x有意义，则x的取值范围是____________。 5.若x为任意实数，下列各式一定有意义的是（ ）

1

A.

x3

2

B.

(x1)

2

C.

x2x

2

D.

x

2

1

题型三：二次根式的化简 化简下列各式： （1）(2)

2

（2）(x2)（x2）

2

（3）

x8x16

2

（4）12abc （5）

44

1

23

b

（6）

a

（a0，b0）

2

2.化简 (2  a  2 的结果是 ( ) a ) 

A、0 B、2a -4 C、4 D、4-2a

3. 化简二次根式(5)23得 （ ）

A．53 B．53 C．53 D．30

4.若x<5，则(x5)

x

1

x根号外的因式移入根号内等于（ ）

2

____________。

5.把 A.

x

B.

x C. x

D. x

6.实数a、b、c在数轴上的对应点如图。化简：a|ab|c|bc|____________。

2

7.若(x2)2=2－x 求x的取值范围

1x

2

8.已知0 ＜x＜1，化简：(x题型四：二次根式的非负性

)4－(x

1x

)4

2

22

1.已知ab3与|ab5|互为相反数，求ab的值。

2.若2xy8+

3a1

3.求值：

1a

a|1|a|



1a

2003

x2y1=0 求x

y

4.已知 求 3 x +4 y的值