定积分 练习
编辑:chenghuijun 成考报名 发布时间：08-31 阅读：
定积分 练习(1)
一、填空题
(1) 根据定积分的几何意义，
12
,
____0____
(2)设
，则
_____5____，
____-5___，
.
(3)
0
(4)
定积分 练习(2)
三、计算题
1.估计积分的值：
解：设
，先求
在
上的最大、最小值，
由
得
内驻点
，由
知
由定积分性质得
2.已知函数
连续，且
，求函数
.
解：设
，则
，于是
，
得
，所以
.
3.
解：原式=
4.
解：原式=
5.
解：原式=
6.
解：原式
7.
解：原式
定积分 练习(3)
不定积分(Indefinite integral)
即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无
定积分
限多个原函数。
定积分 (definite integral)
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定义(Definition)
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设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n)，作和式
。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}(即λ是最大的区间长度)，如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为
，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：
特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：
性质(Nature)
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1、
2、
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c(可以不在区间[a,b]上)满足条件。[2]
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点 t 在(a，b)内使
(见参考资料1)
常用积分法
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换元积分法
如果
(1)
;
(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
(3)当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ(α)=a,ψ(β)=b,
则
分部积分法
设u=u(x),v=v(x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R([a,b]),则有分部积分公式：
