沪教版八年级下册一次二元方程

沪教版八年级下册一次二元方程(一)
2上海沪教版八年级数学下册代数方程专题复习

代数方程专题复习

2

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沪教版八年级下册一次二元方程(二)
21-第二十一章-代数方程-八年级(下)-知识点汇总-沪教版

第二十一章代数方程

21.1 一元整式方程

1、 （a是正整数），x是未知数，a是用字母表示的已知数。于是，在项ax中，字母a是项

的系数，我们把a叫做字母系数，我们把a叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程

2、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式

方程

3、 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），那么这方

程就叫做一元n次方程；其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程

21.2 二项方程

1、 如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样

n的方程就叫做二项方程；一般形式为axb0（a0,b0，n是正整数）

2、 解一元n（n＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n次方根

n3、 对于二项方程axb0（a0,b0）

（1）当n为奇数时，方程有且只有一个实数根

（2）当n为偶数时，如果ab＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab＞0，那么方程没有实数根

21.3可化为一元二次方程的分式方程

1、 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为

正式方程来解

2、 注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）

3、 换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次

方程的问题，起到降次的作用

21.4无理方程

1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程

2、 整式方程和分式方程统称为有理方程

3、 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程

4、 解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤

5、 注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根

21.5 二元二次方程和方程组

1、 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程

1 / 2

2、 关于x、y的二元二次方程的一般形式是：ax2bxycy2dxeyf0

（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零）

3、 仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。像这样

的方程组叫做二元二次方程组

4、 能是二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程

5、 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解

21.6 二元二次方程组的解法

1、 代入消元法

2、 因式分解法

21.7 列方程（组）解应用题

2 / 2

沪教版八年级下册一次二元方程(三)
沪教版八年级数学第二学期期中复习-二元二次方程组

期中复习——二元二次方程组及其解法

姓名 班级 学号 成绩 【知识要点】

1、了解二元二次方程组的意义

仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2的方程组叫做二元二次方程组

方程组中所含各方程的公共解叫做方程组的解

2、掌握解二元二次方程组中最基本的两种方法，代入法和因式分解法 解二元二次方程组的基本思想是“消元”，把方程组转化为解一元方程的问题 一、填空题 (3分×10 = 30分)

1、方程x 2 – 2xy – 3y 2 = 0分解为两个一次方程是

xy12、方程组2一般用 法来解 2

3xyx2

3、方程xy – x + y + 3 = 0有 组解，当x、y的值互为相反数时，它的解是

4、方程(x + y) 2 – x – y – 20 = 0可化为 和 两个二元一次方程

22xy0

5、方程组2可以化为二元一次方程组是 2

x2xy3y0

6、如果x 2 – 9y 2 = 36，x + 3y = 9，那么x – 3y =

2xym20x3

7、方程组的解是，则m的值是

y03xy9xy1

8、方程组的解是

xy6

9、已知x + y = a，xy = b，则 (x – y) 2 =

y24x2y10

10、若方程组有两组不同的实数解，则m的取值范围是

yxm

二、选择题 (3分×6 = 18分)

1、二元二次方程 (x – 5) (y + 3) = 0有几个解

A、无数个解 B、一个解 C、两个解 D、四个解

2、下列方程中，不是二元二次方程的是 ( ) A、5x – 7y = 3 B、3x 2 – 2y = 8 C、2x 2 + 11xy – 30y 2 = 9 D、5xy = 1 3、已知2x 2 – 3xy + y 2 = 0，则x∶y等于 ( A、1∶2 B、1∶1 C、2∶1或1∶1 D、1∶2或1∶1

4、方程组22

x4xy4y9



x2y2

0可以化成二元一次方程组的个数为 ( A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

5、方程组x2y2xy1

2y1

消去x，化简后得到的方程是 ( x A、7y 2 + 3y = 0 B、y 2 – y = 0 C、y 2 + y = 0 D、7y 2 + 3y – 2 = 0

6、已知方程组x22y7

y4

有两个相同的实数解，则m为 ( mx A、– 1 B、1 C、±1 D、12

三、解答题 (6分×6 + 8分×2 = 52分) 1、解方程组：xy4

xy12

) ) )

)

x2y213

2、解方程组：

xy5

2xy1

3、解方程组：2 2

xy5

22x4xy3y0

4、解方程组：2

3xxy20

22x2xyy49

5、解方程组：2 2

x3xy4y0

y2xk

6、已知方程组2无实数解，求k的取值范围

y4x

y212x

7、m为何值时，方程组有两组相同的实数解

y3xm

8、已知直角三角形的面积为30平方厘米，斜边上的中线长6.5厘米，求这个直角三角形的两条直角边的长

一、填空题

1、x – 3y = 0，x + y = 0 2、代入消元法 3、无数、

x13x21

，

y13y21

4、x + y – 5 = 0，x + y + 4 = 0 5、

xy0xy0xy0xy0

，，，

xy0xy0x3y0x3y0

x13x22

6、4 7

、 8、， 9、a 2 – 4b 10、m < 2

y12y23

二、选择题

三、解答题

x12x26

x13x22x1

1x211、，

 2、， 3、，



y6y

2y2y3y2y21212

22

2842x1x2xx1525x3x44

、 5、， y2y3y4y1y7y71255

6、k >

1

7、m = 1 8、5，12 2

沪教版八年级下册一次二元方程(四)
沪科版八年级一元二次方程数学下册知识总结

沪科版八年级数学下册知识总结

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

(1)

x1,2

bb24acb

；(2)x1x2，

2aa

x1x2

c

. a

5. 一元二次方程的解法

（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①x2a(a0)

解为：x

②(xa)2b(b0)【沪教版八年级下册一次二元方程】

解为：xa③(axb)2c(c0)

解为：axb④(axb)2(cxd)2(ac) 解为：axb(cxd) （2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相

乘法

如：ax2bx0(a,b0)x(axb 此类方程适合用提供因)0此，而且其中一个根为0

x290(x3)(x3)0 x23x0x(x3)0

3x(2x1)5(2x1)0(3x5)(2x1)0

x26x94(x3)24 4x212x90(2x3)20 x24x120(x6)(x2)02x25x120(2x3)(x4)0

（3） 配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

P2P2

)()q0 22

33

示例：x23x10(x)2()210

22x2Pxq0(x

②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

ax2bxc0 (a0)a(x2

bbb

x)c0 a(x)2a()2c0a2a2a

b2b2b2b24ac

a(x)c(x)

2a4a2a4a2

示例： x22x10(x24x)10(x2)22210

（4）公式法：一元二次方程ax2bxc0 (a0)，用配方法

将其变形为：

b2b24ac(x) 2

2a4a

1

2121212

①当b24ac0时，右端是正数．因此，方程有两个不相

等的实根：x1,2② 当b24ac0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x1,2

b 2a

③ 当b24ac0时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤：【沪教版八年级下册一次二元方程】

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：

ax2bxc0 (a0)，并确定出a、b、c

②求出b24ac，并判断方程解的情况。

b③代公式：x1,2

2a

※ 5．当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式

x1x2

bc，x1x2aa

；Δ=b2-4ac 分

析，不要求背记)

（1）两根互为相反数  b= 0且Δ≥0  b = 0且Δ≥0；

a

（2）两根互为倒数  c=1且Δ≥0  a = c且Δ≥0；

a

（3）只有一个零根  c

a

（4）有两个零根  c

a

= 0且b≠0  c = 0且b≠0； = 0

a

且b= 0  c = 0

a

且b=0；

（5）至少有一个零根  c=0  c=0；

a

（6）两根异号  c＜0  a、c异号；

a

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 c＜0且b＞0 a、

a

a

c异号且a、b异号；

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 c＜0且b＜0 a、

a

a

c异号且a、b同号；

（9）有两个正根  c＞0，b＞0且Δ≥0  a、c同号， a、

a

a

b异号且Δ≥0； （10）有两个负根  c＞0，b＜0且Δ≥0  a、c同号， a、

a

a

b同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ax

2

或

bb24acbb24ac. x+bx+c=ax

2a2a



7．求一元二次方程的公式：

x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.

8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2. （2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法：

(1)去分母法（2）换元法

两边同乘最简

验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0.

公分母

凑元，设元，

验增根代入原方程每个分母，值0.

换元.

10. 二元二次方程组的解法：

（1）代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;（2）分解降次法方程组中含有能分解为（

（）

）0的方程;

(1)(2)0(1)0(2)0(1)0(2)0

(3)注意：应分组为.

(3)(4)0(3)0(4)0(4)0(3)0

※11．几个常见转化：

22222

(1)x1x22(x1x2)2x1x2；(x1x2)(x1x2)4x1x2；x

12

(x)2；

xx2

1

1

或x2(x)22；

xx

2

1

(xx)2(xx)24xx(x1x2)121212

x1x2；

22

(x1x2)(x1x2)(x1x2)4x1x2

x12x22(x1x2)22x1x2

(x1x2)2(x1x2)24x1x2，

，

11x1x2

x1x2x1x2

，

|x1x2| x1x22x12x2x1x2(x1x2)，

x2x1x12x22(x1x2)24x1x2

等 

x1x2x1x2x1x2

(2)

1.分类为x1x22和x1x22

； x1x222

2.两边平方为（x1x2）4x14

x23

x14x4

和116(1)分类为

x23x23(或2) ；

9x2(2)两边平方一般不用,因为增加次数.



2x1

(3)

(4)如x1sinA,x2sinB且AB90时,由公式sin2Acos2A1,cosAsinB

2

可推出x1x221.

注意隐含条件:x10,x20.

(5)x1,x2若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形,面积等式,公式)推导出含有x1,x2的关系式.注意隐含条件:x10,x20.

(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.

(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.

沪教版八年级下册一次二元方程(五)
沪教版八年级下册一次函数的知识点与例题

一次函数 知识点 1．函数的概念：

在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．

在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．

在某一变化过程中，有两个量，如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量，此时称y是x的函数． 注意：（1）“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．

（2）判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取值可以相同．例如:函数y(x3)2中，x2时，y1；x4时，y1．

（3）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．

例题1：下列各图给出了变量x与y之间的函数是：【 】

例题2：若等腰三角形周长为30，一腰长为a，底边长为L，则L关于a的函数解析式为 ，它是 ，也是 . 2．数学上表示函数关系的方法通常有三种：

（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：S30t，SR2． （2）列表法：通过列表表示函数的方法．

（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．

例题3：已知y－1与x＋2成正比例，且当x＝1时，y＝－5,求y与x之间的函数关系式；若点 （－2，a）在这个函数的图象上，求出a的值.

3．关于函数的关系式(解析式)的理解：

（1）函数关系式是等式．例如y4x就是一个函数关系式． （2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．

通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．

例如：yx是自变量，y是x的函数． （3）函数关系式在书写时有顺序性．

1y

例如：y3x1是表示y是x的函数，若写成x就表示x是y的函数．

3

（4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．

4．自变量的取值范围：【沪教版八年级下册一次二元方程】

很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y变量x受到开平方运算的限制，有x10即x1；

当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s与时间t的关系式为s80t；这里t的实际意义影响t的取值范围t应该为非负数，即t0． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （1）整式型：一切实数

（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．

（3）分式型：分母不为0． （4）复合型：不等式组

（5）应用型：实际有意义即可 例题4：函数y

x2

中的自变量x的取值范围是【 】 x1x14x2x24

2

A、x≥－2 B、x≠1 C、x＞－2且x≠1 D、x≥－2且x≠1 例题5：函数y

中的自变量x的取值范围为_________________

xx248

例题6：函数y中的自变量x的取值范围为_________________

x7

例题7：若等腰三角形周长为30，一腰长为a，底边长为L，则L关于a的函数解析式

为 .

5．函数图象：

6（1）图像y1在图像y2的上方y1y2

（2）图像y1在图像y2的下方y1y2

（3）特别说明：图像y在x轴上方yx

例题8：直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为【 】

A、x＞1 B、x＜1 C、x＞－2 D、x＜－2

例题9：如图，直线ykxb(k0)与x轴交于点(3，0)，关于x的不等式kxb0的解集是【 】

A．x3 B．x3 C．x0 D．x0 7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线． 例题10：画出函数y2x4的图像

8．函数解析式与函数图象的关系：

（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．

9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断 例题11：下列各点中，在反比例函数y＝

6

图象上的是【 】 x

A．（－2，3） B．（2，－3） C．（1，6） D．（－1，6） 10．一次函数及其性质 知识点一：一次函数的定义

一般地，形如ykxb（k，b是常数，k0）的函数，叫做一次函数，当b0时，即ykx，这时即是前一节所学过的正比例函数．

⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当b0，k0时，ykx仍是一次函数． ⑶当b0，k0时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 知识点二：一次函数的图象及其画法

⑴一次函数ykxb（k0，k，b为常数）的图象是一条直线．

⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

①如果这个函数是正比例函数，通常取0，0，1，k两点； b②如果这个函数是一般的一次函数（b0），通常取0，b，，0，即直线与两坐标

k

轴的交点．

⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式ykxb的点x，y在其对应的图象上，这个图

象就是一条直线l，反之，直线l上的点的坐标x，y满足ykxb，也就是说，直线l与ykxb是一一对应的，所以通常把一次函数ykxb的图象叫做直线l：ykxb，有时直接称为直线ykxb． 知识点三：一次函数的性质

⑴当k0时，一次函数ykxb的图象从左到右上升，y随x的增大而增大； ⑵当k0时，一次函数ykxb的图象从左到右下降，y随x的增大而减小． 知识点四：一次函数ykxb的图象、性质与k、b的符号

倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

图像的平移：b＞0时，将直线y＝kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y＝kx＋b b＜0时，将直线y＝kx的图象向下平移b个单位，对应解析式为：y＝kx－b

口诀：“上＋下－”

将直线y＝kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x＋m） 将直线y＝kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x－m） 口诀：“左＋右－”

知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式

⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．

⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；

②将x，y的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值；

④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．

例题12：一次函数ykxb的图象只经过第一、二、三象限，则【 】

A．k0，b0 B．k0，b0 C．k0，b0 D．k0，b0

例题13：如果一次函数ykxb的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么【 】

A．k0，b0 B．k0，b0 C．k0，b0 D．k0，b0

例题14：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数的图象与y轴交点的坐标.

例题15：已知一次函数(2k1)x(k3)yk110，试说明：不论k为何值，这条直线总要经过一个定点，并求出这个定点.

例题16：一次函数y＝ax＋b的图像关于直线y＝－x轴对称的图像的函数解析式为____ __

例题17：某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．

（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．

（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）

（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．

例题18：已知某一次函数当自变量取值范围是2≤y≤6时，函数值的取值范围是5≤x≤9．求此一次函数的解析式．

例题19：已知一次函数y＝ax＋4与y＝bx－2的图象在x轴上相交于同一点,则【 】

11

A、4 B、－2 C、 、－

22

例题20：求直线y＝2x－1与两坐标轴所围成的三角形面积.

b

的值是a

11．直线yk1xb1（k10）与yk2xb2（k20）的位置关系 （1）两直线平行k1k2且b1b2 （2）两直线相交k1k2

（3）两直线重合k1k2且b1b2 （4）两直线垂直k1k21

例题21：已知一次函数yx1，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一次函数解析式.

12．一次函数与一元一次方程的关系： 直线ykxb（k0）与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kxb0(k0)的解.求直

b

线ykxb与x轴交点时，可令y0，得到方程kxb0，解方程得x，直线

k

bb

ykxb交x轴于(,0)，就是直线ykxb与x轴交点的横坐标.

kk

13．一次函数与一元一次不等式的关系：

任何一元一次不等式都可以转化为axb0或axb0(a、b为常数，a0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.