函数的连续性
编辑:chenghuijun 成考报名 发布时间：10-21 阅读：
函数的连续性(一)
大致有3大类。第一类是计算或证明连续性;第二类是对间断点(或区间)的判断，包括间断点的类型;第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质，零点存在性质)，进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做!这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗?如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间?
一.函数的连续
例1.1(例1.20(一)，这个序号值的是《函数连续性(一)中的例题号，请对照)
设f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，且f(x)在x?0连续。证明：f(x)在任意点x处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么
在本题里，要证的是“f(x)在任意点x处连续”，那么我们就先固定一个点x，用函数连续的定义来证明在x处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件f(x?y)?f(x)?f(y)，也就是f(x?y)?f(x)?f(y)，你的脑海里就要想到，如果设y??x，那么就有 ?y?f(x??x)?f(x)?f(?x);这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：f(x)在x?0连续!它意味着：limf(0??x)?f(0)。 ?x?0
证明的思路就此产生!
)?f(x)?证明：因为 f(x?yf(，y)取y?0，则有 f(x)?f(x)?f(0)，所以f(0)?0。 (#)
对于固定的x(任意的!)，若取y??x，有
?y?f(x??x)?f(x)?f(?x)， (+)
在(+)式两边取?x?0的极限，那么
lim?y?lim(f(x??x)?f(x))?limf(?x) ， (&) ?x?0?x?0?x?0
由已知条件：f(x)在x?0连续，所以limf(0??x)?f(0)，代入(#)的结果，就有 ?x?0
limf(0??x)?limf(?x)?f(0)?0， ?x?0?x?0
但从(&)知，lim?y?limf(?x)，所以 ?x?0?x?0
lim?y?0。 ?x?0
根据函数连续的定义E，f(x)在任意点x处连续。
你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。
x2n?1?(a?1)xn?1例1.2(例1.21(一))设常数a?0，f(x)?lim，求f(x)的分段表达式，欲使n??x2n?axn?1
f(x)连续，试确定a的值。
分析：首先要注意，函数f(x)不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出f(x)的分段表达式，这是本题的第一个任务;第二，要确定参数a的数值，怎么确定呢?利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。
n2n2n?1 f(x)中出现了几个幂函数 x,x,x，根据幂函数的性质，x的大小对幂函数的变化趋势有
根本性的影响，所以要分为|x|?1,|x|?1,x?1,x??1进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。
(1)|x|?1： x,x,xn2n2n?1都趋于零(当n??时)，所以
f(x)?
(2)|x|?1： 此时x,x,x
的部分，来简化函数f(x)： n2n2n?1?1?1。 ?1都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应
1??(a?1)x2n?1?1?n?1?2n?1?xx???x。 f(x)?limn??a1??x2n?1?n?2n?x??x
(3)x?1： f(x)?a?11?a?; ?aa
?1?(a?1)(?1)n?1?2?(a?1)(?1)n
(4)x??1： f(x)?lim， 极限不存在。 ?limnnn??n??1?a(?1)?1?a(?1)
?x,?1?a?,? 故得 f(x)??a?1,???x,x?1x?1|x|?1x??1
。
欲使f(x)连续，即使f(x)在x?1连续，等价于
1?a1?1，故a?。 a2
例1.3 (例1.22(一))证明连续函数的局部保号性：设f(x)在x?x0处连续，且f(x0)?0，那么存在??0，当|x?x0|??时，f(x)?0。
分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。
证明：因为f(x)在x?x0处连续，所以对任给的??0，总存在??0，使得当|x?x0|??时，恒有
(+) |f(x)?f(x0)|??，也就是 ???f(x)?f(x0)??。
若取 ; ??f(x0)?0，在(+)式中取左边的那个不等式，就有 f(x)?0
若取??11f(x0)?0，那么就有 f(x)?f(0x。) (不过，此时的|x?x0|??中的?要变小) 22
当然，你也可以取不同的??0，当然?要变。如果我们只需要证实f(x)的值为正，那么取??f(x0)?0就已经够了。
例1.4(例1.23(一)) 设f(x)在区间[a,b]上连续并大于零，证明1在[a,b]也连续。 f(x)
分析：我们需要证明的是：在[a,b]上任取点x0，对任给的??0，存在一个??0，使当|x?x0|??时， 有11???。 f(x)f(x0)
直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大(这是一个基本功!)： |f(x0)?f(x)|2|f(x)?f(x0)|11????? 2f(x)f(x0)f(x)f(x0)f(x0)
1f(x0)! 2注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在x0的一个邻域中有f(x)?
至此，一个完整的证明思路就形成了。
证明：对任一x0?[a,b]，f(x0)?0，x0是f(x)的连续点。由局部保号性，存在x0的邻域N(x0,?1)，使得f(x)?1f(x0)。所以在这个邻域中， 2
|f(x0)?f(x)|2|f(x)?f(x0)|11; ???2f(x)f(x0)f(x)f(x0)f(x0)
由f(x)在区间[a,b]上的连续性知，对于任给??0，存在?2?0，使得当|x?x0|??2时，有
f2(x0)?。 |f(x)?f(x0)|?2
我们取??min(?1,?2)，那么在这个更小的邻域中，(即|x?x0|??)有
|f(x0)?f(x)|2|f(x)?f(x0)|11?????， 2f(x)f(x0)f(x)f(x0)f(x0)
11的连续点;又由x0的任意性，得在区间[a,b]也连续。 f(x)f(x)则有函数的连续的定义知， x0是函数
??x1?x?0在(??,??)内连续。 例1.5 确定a,b之值，使函数f(x)??e,
??sin(ax?b),x?0
解：在x?0和x?0两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。所以，要使f(x)在整个实数域中连续，只需确定在x?0的连续性条件。
f(x)在x?0有定义，所以我们只需考虑它在x?0的极限。
f(x)?limsin(ax?b)?sinb lim??x?0x?0
x?0limf(x)?lime??x?0?1x?lim?x?011?11
x?0?0; ex2limex?2
b?，0 容易解得： b?k?,由此得方程 sink?0,?1,??2，,
而对参数a，连续性条件对它没有任何限制，所以a可取任何实数。
x?1??ex,x?0?b,例1.6 设f(x)??，g(x)?，求a,b之值，使f(x)?g(x)在实数?
a?x,x?0x?1
函数的连续性(二)
一、重点难点分析：
①
此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
。 ④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则
⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题
例1.求下列极限
①
②
③
④
解析：①
。
②。
③。
④。 例2.已知
，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，
∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，
∴ m=3代入求得n=-1。
函数的连续性(三)
1、
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.奇函数且是偶函数
2、
A.
B.
C.
D.
3、
A.单调增加有界的
B.单调增加无界的
C.单调减少有界的
D.单调减少无界的
4、
A.
B.
C.
D.
5、
A.
B.
C.
D.
6、
A.
B.
C.
D.
7、
A.
B.
C.
D.
8、
A.
B.
C.
D.
填空题