共点力的平衡专题
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共点力的平衡专题(1)
处理共点力平衡问题的常见方法和技巧
物体所受各力的作用线(或其反向延长线)能交于一点，且物体处于静止状态或匀速直线运动状态，则称为共点力作用下物体的平衡。它是静力学中最常见的问题，下面主要介绍处理共点力作用下物体平衡问题的一些思维方法。
1. 解三个共点力作用下物体平衡问题的方法
解三个共点力作用下物体平衡问题的常用方法有以下五种：
(1)力的合成、分解法：对于三力平衡问题，一般可根据“任意两个力的合成与第三个力等大反向”的关系，即利用平衡条件的“等值、反向”原理解答。
例1. 如图1所示，一小球在纸面内来回振动，当绳OA和OB拉力相等时，摆线与竖直方向的夹角
为：( )
图1
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
解析：对O点进行受力分析，O点受到OA绳和OB绳的拉力FA和FB及小球通过绳子对O点的拉力F三个力的作用，在这三个力的作用下O点处于平衡状态，由“等值、反向”原理得，FA和FB的合力F合与F是等值反向的，由平行四边形定则，作出FA和FB的合力F合，如图2所示，由图可知
，故答案是A。
图2
(2)矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形;反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合成必为零，因此可利用三角形法，求得未知力。
例2. 图3中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的。平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为
。AO的拉力
和BO的拉力
的大小是：( )
图3
A.
B.
C.
D.
解析：因结点O受三力作用而平衡，且
与mg垂直，所以三力应组成一个封闭的直角三角形，如图4所示，由直角三角形知识得：
，所以选项B、D正确。
图4
(3)正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。
例3. 如图5(a)所示，质量为m的物体用一轻绳挂在水平轻杆BC的C端，B端用铰链连接，C点由轻绳AC系住，已知AC、BC夹角为
，则轻绳AC上的张力和轻杆BC上的压力大小分别为多少?
图5
解析：选C点为研究对象，受力情况如图5(b)所示，由平衡条件和正弦定理可得
即得
和
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所以由牛顿第三定律知，轻绳AC上的张力大小为
#FormatImgID_20#
，轻杆BC上的压力大小为
#FormatImgID_21#
。
(4)三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。
例4. 如图6所示，两光滑板AO、BO与水平面夹角都是60°，一轻质细杆水平放在其间，用竖直向下的力F作用在轻杆中间，杆对两板的压力大小为____________。
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图6
解析：选轻杆为研究对象，其受三个力而平衡，因此这三力必为共点力(汇交于O”)，作出受力分析如图7所示。
#FormatImgID_23#
图7
由图可知，FTA与FTB对称分布，所以
#FormatImgID_24#
，且这两力的夹角为120°，其合力F”应与F相等，以FTA，FTB为邻边构成的平行四边形为菱形，其性质为对角线垂直且平分，根据三角形知识，有
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又因为
#FormatImgID_26#
所以
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2. 解多个共点力作用下物体平衡问题的方法
多个共点力作用下物体的平衡问题，常采用正交分解法。可将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，即
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、
#FormatImgID_29#
求解。值得注意的是，对x、y方向选择时，要尽可能使落在x、y轴上的力多，且被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。
例5. 在机械设计中亦常用到下面的力学原理，如图8所示，只要使连杆AB与滑块m所在平面间的夹角
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大于某个值，那么，无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称之为“自锁”现象。为使滑块能“自锁”，
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应满足什么条件?(设滑块与所在平面间的动摩擦因数为
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)
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图8
解析：滑块m的受力分析如图9所示，将力F分别在水平和竖直两个方向分解，则：
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图9
在竖直方向上
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在水平方向上
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由以上两式得
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因为力F可以很大，所以上式可以写成
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故
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应满足的条件为
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3. 研究对象的灵活选择–––整体法与隔离法
用整体法还是用隔离法，其实质就是如何合理选取研究对象，使受力分析和解题过程简化。对一个较为复杂的问题，两者应灵活选用、有机结合，才能到达迅速求解的目的。
例6. 在粗糙水平面上有一个三角形的木块，在它的两个粗糙斜面上分别放有两个质量m1和m2的小木块，
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，如图10所示，已知三角形木块和两个小木块都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块( )
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图10
A. 有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右;
B. 有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左;
C. 有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2和
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、
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的数值并未给出;
D. 以上结论都不对。
解析：因为三角形木块和两个小木块都静止，所以可将三者看成一个整体如图11所示，其在竖直方向受重力和水平面的支持力，合力为零。在水平方向没有受其他力的作用，所以整体在水平方向上没有相对水平面的运动趋势，因此粗糙水平面对三角形木块没有静摩擦力。
#FormatImgID_45#
图11
例7. 如图12所示，两块相同的竖直木板之间有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小为F的水平压力压木板，使砖块静止不动。设所有接触面均粗糙，则第3块砖对第2块砖的摩擦力为( )
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图12
A. 0 B.
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C. mg D. 2mg
解析：将4块砖为整体进行受力分析如图13所示，可知两侧木板对砖的静摩擦力均为竖直向上，且大小为2mg;再把第1、2两块砖为整体进行受力分析如图14所示，由图可知木板对砖的静摩擦力与砖的重力2mg是一对平衡力，这表明第3块与第2块砖之间没有静摩擦力。所以选项A正确。
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4. 求共点力作用下物体平衡的极值问题的方法
共点力作用下物体平衡的极值问题是指研究平衡问题中某个力变化时出现的最大值或最小值，处理这类问题常用解析法和图解法。
例8. 如图15所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，且AC绳水平时，两绳所成角为
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。在物体上另施加一个方向与水平线成
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的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
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图15
解析：作出A受力示意图，并建立直角坐标如图16所示，由平衡条件有：
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图16
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#FormatImgID_54#
由以上两式得
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①
及
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②
要使两绳都能绷直，需有
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③
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④
由①③两式得F有最大值
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由②④两式得F有最小值
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综合得F的取值范围为
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例9. 重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为
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，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何?
解析：由于
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，所以不论FN如何改变，
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与FN的合力F1的方向都不会发生变化，如图17(甲)所示，合力F1与竖直方向的夹角一定为
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。
由木块做匀速运动可知F、F1和G三力平衡，且构成一个封闭三角形，当改变F的方向时，F和F1的大小都会发生改变，由图17(乙)知，当F和F1的方向垂直时F最小。故由图中几何关系得
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。
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图17
5. 共点力平衡问题中的“变”与“不变”
物体在共点力作用下处于平衡状态时，即使在一些量变的过程中某些本质并不变。因此寻找变化中保持不变的部分，乃是解决平衡问题的一种重要方法。
例10. 三个相同的支座上分别搁着三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c，支点P、Q在同一水平面上，a球的重心
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位于球心，b球和c球的重心
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、
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分别位于球心的正上方和球心的正下方，如图18所示，三球均处于平衡状态，支点P对a球的弹力为
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，对b球和c球的弹力分别为
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、
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，则( )
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图18
A.
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B.
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C.
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D.
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解析：本题的干扰因素是三个球的重心在竖直方向的位置发生了变化(a在球心、b在球心之上、c在球心之下)。但是三个球的质量和直径都相等，重力方向均竖直向下，而且支点的支持力方向也完全相同，所以它们受力情况完全相同，支持力大小也必然相同，所以选项A正确。
评析：在变化中求不变的思想是最普遍的物理思想，本题中圆球重心的高度虽然发生了变化，但问题的本质––––圆球的受力情况并不变化，所以支点P对三球的弹力应相同。
共点力的平衡专题(2)
一、共点力的平衡
1、共点力
力的作用点在物体上的同一点或力的延长线交于一点的几个力叫做共点力。
能简化成质点的物体受到的力可以视为共点力。
2、平衡状态
物体处于静止或匀速直线运动状态称为物体处于平衡状态。
平衡状态的实质是加速度为零的状态。
3、共点力作用下物体的平衡条件
物体所受合外力为零，即ΣF=0。
若采用正交分解法求解平衡问题，则平衡条件应为。
二、共点力平衡条件的推论
1、二力平衡：
如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反，为一对平衡力。
若物体所受的力在同一直线上，则在一个方向上各力的大小之和，与另一个方向各力大小之和相等。
2、三力平衡：
三个不平行力的平衡问题，是静力学中最基本的问题之一，因为三个以上的平面汇交力，都可以通过等效方法，转化为三力平衡问题。为此，必须首先掌握三力平衡的下述基本特征：
(1)物体受三个共点力作用而平衡，任意两个力的合力跟第三个力等大反向(等值法)。
(2)物体受三个共点力作用而平衡，将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的两个分力必定跟另外两个力等大反向(分解法)。
(3)物体受三个共点力作用而平衡，若三个力不平行，则三个力必共点，此即三力汇交原理(汇交共面性)。
(4)物体受三个共点力作用而平衡，三个力的矢量图必组成一个封闭的矢量三角形。
3、多力平衡：
如果物体受多个力作用处于平衡状态，其中任何一个力与其余力的合力大小相等，方向相反。
点拨：在进行一些平衡类问题的定性分析时，采用共点力平衡的相关推论，可以使问题简化。
一、求解平衡问题的基本思路
平衡类问题不仅仅涉及力学内容，在电磁学中常涉及带电粒子在电场、磁场或复合场中的平衡，通电导体棒在磁场中平衡，但分析平衡问题的基本思路是一样的：
(1)明确平衡状态(加速度为零);
(2)选对象：根据题目要求，巧选某平衡体(整体法和隔离法) 作为研究对象;
(3)受力分析：对研究对象作受力分析，规范画出受力示意图;
(4)选取合适的解题方法：灵活运用力的合成法、正交分解法、矢量三角形法及数学解析法;
(5)列方程求解：根据平衡条件，列出合力为零的相应方程，然后求解，对结果进行必要的讨论。
共点力的平衡专题(3)
教学目标
知识目标
1、知道什么叫共点力作用下的平衡状态.
2、掌握共点力的平衡条件.
3、会用共点力的平衡条件解决有关平衡问题.
能力目标
1、培养学生应用力的矢量合成法则平行四边形定则进行力的合成、力的分解的能力.
2、培养学生全面分析问题的能力和推理能力.
情感目标
1、教会学生用辨证观点看问题，体会团结协助.
典型例题
关于斜面物体的摩擦力的两种分析方法以及拓展
例1 如图，一物块静止在倾角为37°的斜面上，物块的重力为20N，请分析物块受力并求其大小.
分析：物块受竖直向下的重力 ，斜面给物块的垂直斜面向上的支持力 ，斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 .
解：
1、方法1——用合成法
(1)合成支持力 和静摩擦力 ，其合力的方向竖直向上，大小与物块重力大小相等;
(2)合成重力 和支持力 ，其合力的方向沿斜面向下，大小与斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 的大小相等;
(3)合成斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 和重力 ，其合力的方向垂直斜面向下，大小与斜面给物块的垂直斜面向上的支持力 的大小相等.
合成法的讲解要注意合力的方向的确定是唯一的，这有共点力平衡条件决定，关于这一点一定要与学生共同分析说明清楚.
2、方法2——用分解法
理论上物块受的每一个力都可分解，但实际解题时要根据实际受力情况来确定分解哪个力(被确定分解的力所分解的力大小方向要明确简单易于计算)，本题正交分解物块所受的重力 ，利用平衡条件 ， ，列方程较为简便.
为了学生能真正掌握物体的受力分析能力，要求学生全面分析使用力的合成法和力的分解法，要有一定数量的训练.
方法2的拓展1： 一物块静止在倾角为 的斜面上，物块的重力为 ，请分析物块受力并分析当倾角 慢慢减小到零的过程其大小的变化情况.
解：依题意 用分解法将物块受的重力 正交分解，利用 ， 的平衡条件，得斜面给物块的垂直斜面向上的支持力 的大小为 ，
斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 的大小 .
物块受的重力 是不变的(关于这一点学生非常清楚)，根据数学的知识的分析可以知道当倾角 慢慢减小到零的过程，
逐渐增大，最后等于物块的重力 ;
逐渐减小，最后等于零.
适当的时候，提醒学生分析的方法和结论;提醒学生极限法的应用，即倾角 等于零时的极限情况下分析题目.
方法2的拓展2：一物块放在倾角为 的斜面上，物块的重力为 ，斜面与物块的动摩擦因数为 ，请分析物块受力的方向并分析当倾角 慢慢由零增大到90°的过程，物块对斜面的压力受到的摩擦力其大小的变化情况.
分析物块受力： 时，只受两个力重力 和斜面给的支持力 ，此时没有摩擦力;
时，物块只受一个力，物块的重力 .(此亦为极限法处理).
借此，和学生一起分析，可知物块的运动状态是变化的，既开始时物块静止在斜面上，这时物块受三个力.
物块的重力 ，斜面给物块的支持力 和斜面给物块的静摩擦力 .
在斜面给物块的静摩擦力 等于物块的下滑力 时，物块开始滑动，此时物块依旧受三个力， 物块的重力 ，斜面给物块的支持力 和斜面给物块的滑动摩擦力 .物块处于加速运动状态.(这里学习应用了运动性质的分段处理方法).在此基础上分析每个力的大小变化情况.(利用物体平衡条件和滑动摩擦力的性质来分析求解).
重力大小不变;斜面给物块的支持力的大小逐渐减小;斜面给物块的摩擦力的大小是先增大后减小.
利用正交分解分析物体的受力情况
例2 质量为 的物体，用水平细绳 拉着，静止在倾角为 的光滑固定斜面上，求物体对斜面的压力的大小.如图所示.
解： 解决力学问题首先对(研究对象)物体进行受力分析，物体在斜面上受三个力：重力、支持力、绳的拉力.以作用点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
由平衡条件 即 ， (找准边角关系)可得：
由此得到斜面对物体的垂直作用力为：
由牛顿第三定律(作用力和反作用力的关系)可知：
物体对斜面的压力的大小为：
探究活动
作图法
根据力的平行四边形定则，利用直尺(一般常用的是毫米刻度尺)去求几个力的合力或去求合力的某一个分力.利用作图法解决共点力作用下物体的平衡问题，虽然此种方法简洁、直观、方便，但由于在利用作图法过程中误差的存在(包括作图误差、视图误差、测量误差等)不可避免，得到的结果太粗糙.因此，我们在解题时一般不用作图法.而只是在探讨力的变化规律及相互关系时使用.
题1 验证两个分力和合力的关系遵从平行四边形定则
题2 探讨随着两个共点力大小及夹角发生变化时合力的变化规律
上面两个例题请同学们自己用直尺动手作一下实地的研究.