2016年中考数学压轴题汇篇
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2016年中考数学压轴题汇篇(一)
2016年中考数学压轴题及解析分类汇编
2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)
例1
直线y
1
x1分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后3
得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.
(1) 写出点A、B、C、D的坐标;
(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;
(3) 在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11闸北25”, 拖动点Q在直线BG上运动, 可以体验到,
△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况,点B上、下各有两种.
思路点拨
1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角. 2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标. 3.第(3)题判断∠ABQ=90°是解题的前提.
4.△ABQ与△COD相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形,点Q共有4个.
满分解答
(1)A(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-1,0).
(2)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、C(0,3)、D(-1,0) 三点,所以
9a3bc0,a1, 解得c3,b2, abc0.c3.
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点G的坐标为(1,4). (3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD//BG.
因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB⊥CD.因此AB⊥BG,即∠ABQ=90°.
因为点Q在直线BG上,设点Q的坐标为(x,3x+1),
那么BQ. Rt△COD的两条直角边的比为1∶3,如果Rt△ABQ与Rt△COD相似,存在两种情况:
BQ
33.解得x3.所以Q1(3,10),Q2(3,8). BA①当
②当
BQ11111.解得
x.所以Q3(,2),Q4(,0).
BA33333
图2 图3
考点伸展
第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB⊥BG;
二是BQ.
我们换个思路解答第(3)题:
如图3,作GH⊥y轴,QN⊥y轴,垂足分别为H、N.
通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG=90°. 在Rt△BGH
中,sin1
cos1
①当BQ
3时,BQ
BA
在Rt△BQN中,QNBQsin13,BNBQcos19.
当Q在B上方时,Q1(3,10);当Q在B下方时,Q2(3,8). ②当
BQ111
时,BQQ3(,2),Q4(,0). BA333
例2
Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数y
k
(k0)在第一象限x
内的图像与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2.
(1)求m与n的数量关系;
(2)当tan∠A=
1
时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式; 2
(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在(2)的条件下,如果△AEO与△EFP 相似,求点P的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11杨浦24”,拖动点A在x轴上运动,可以体验到,直线AB保持斜率不变,n始终等于m的2倍,双击按钮“面积BDE=2”,可以看到,点E正好在BD的垂直平分线上,FD//x轴.拖动点P在射线FD上运动,可以体验到,△AEO与△EFP 相似存在两种情况.
思路点拨
1.探求m与n的数量关系,用m表示点B、D、E的坐标,是解题的突破口. 2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是FD//x轴.
3.如果△AEO与△EFP 相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况.
满分解答
(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数y
k
的图像上,所以x
4mk,
整理,得n=2m.
2nk.
(2)如图2,过点E作EH⊥BC,垂足为H.在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠A=
1
,EH=2,所以BH=1.因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1). 2
已知△BDE的面积为2,所以
11
BDEH(m1)22.解得m=1.因此D(4,22
1),E(2,2),B(4,3).【2016年中考数学压轴题汇篇】
因为点D(4,1)在反比例函数y析式为y
k
的图像上,所以k=4.因此反比例函数的解x
4. x
4k,b31
设直线AB的解析式为y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2),得 解得k,
22k.b2
b1.
因此直线AB的函数解析式为y
1
x1.
2
图2 图3 图4
(3)如图3,因为直线y
1
x1与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,2
1),所以FD// x轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况:
①如图3,当
EAEF
时,.解得FP=1.此时点P的坐标为(1,1). AOFP2FP
②如图4,当
EAFP
时,.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1). AOEF2考点伸展
本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况:
第(1)题的结论m与n的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为y直线AB为y
12
,x
1
x7.第(3)题FD不再与x轴平行,△AEO与△EFP 也不可能相似. 2
2016年中考数学压轴题汇篇(二)
2016年中考数学压轴题精选分类汇编
2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)
例1 直线y1x1分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后3
得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.
(1) 写出点A、B、C、D的坐标;
(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;
(3) 在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11闸北25”, 拖动点Q在直线BG上运动, 可以体验到,
△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况,点B上、下各有两种.
思路点拨
1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角.
2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标.
3.第(3)题判断∠ABQ=90°是解题的前提.
4.△ABQ与△COD相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形,点Q共有4个.
满分解答
(1)A(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-1,0).
(2)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、C(0,3)、D(-1,0) 三点,所以9a3bc0,a1, 解得c3,b2,
abc0.c3.
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点G的坐标为(1,4).
(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD//BG.
因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB⊥CD.因此AB⊥BG,即∠ABQ=90°.
因为点Q在直线BG上,设点Q的坐标为(x,3x+1),
那么BQ. Rt△COD的两条直角边的比为1∶3,如果Rt△ABQ与Rt△COD相似,存在两种情况: BQ
33.解得x3.所以Q1(3,10),Q2(3,8). BA①当
②当BQ11111.解得
x.所以Q3(,2),Q4(,0). BA33333
图2 图3
考点伸展
第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB⊥BG;
二是BQ.
我们换个思路解答第(3)题:
如图3,作GH⊥y轴,QN⊥y轴,垂足分别为H、N.
通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG=90°. 在Rt△BGH
中,sin1【2016年中考数学压轴题汇篇】
cos1 ①当BQ
3时,BQ BA
在Rt△BQN中,QNBQsin13,BNBQcos19.
当Q在B上方时,Q1(3,10);当Q在B下方时,Q2(3,8). ②当
BQ111
时,BQQ3(,2),Q4(,0). BA333
2016年中考数学压轴题汇篇(三)
2016中考数学压轴题汇编4
2016中考数学压轴题汇编(4)
1.在平面直角坐标系中,直线ykxb(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O
⑴如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB. ①求k的值;
②若b=4,点P为直线ykxb上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,当PC⊥PD时,求点P的坐标. ⑵若k选用)
1
,直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供2
2.图①,梯形ABCD中,∠C=90°.动点E、F同时从点B出发,点E沿折线 BA—AD—DC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s.设E、F出发t s时,△EBF的面积为y cm2.已知y与t的函数图象如图②所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段.请根据图中的信息,解答下列问题: (1)梯形上底的长AD=_____cm,梯形ABCD的面积_____cm2;
(2)当点E在BA、DC上运动时,分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围); (3)当t为何值时,△EBF与梯形ABCD的面积之比为1:2.
3.如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP. (1)如图②,若M为AD边的中点, ①,△AEM的周长=_____cm; ②求证:EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.
4.如图,已知二次函数y=
123
xx4的图象与y轴交于点A,与x轴 42
交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为_______ ,点C的坐标为_______ ;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?
5.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E. (1)求证:点D是BC的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论; (3)如果⊙O的直径为9,cosB=1
3,求DE的长.
6.如图,直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上,AD∥BC,AB⊥BC于点B,AD=4,AB=6,BC=8,直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等,将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动,当点C与点G重合时停止移动.设梯形与正方形重叠部分的面积为S.
(1)求正方形的边长;
(2)设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x,求S与x的函数关系式; (3)当直角梯形ABCD向右移动时,它与正方形EFGC的重
叠部分面积S,能否等于直角梯形ABCD面积的一半?若能,请求出此时运动的距离x的值;若不能,请说明理由.
7.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1、x2是方程x2-2x-8=0的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第4页(共6页)
k
8.如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=A、B两点,与x轴交于点
x1
C,与y轴交于点D,已知OA=10,点B的坐标为(m,-2),tan∠AOC
3
(1)求反比例函数的解析式; (2)求一次函数的解析式;
(3)在y轴上存在一点P,使△PDC与△CDO相似,求P点的坐标.
9.已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C、D点的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△PCH分
成面积相等的两部分,求P点的坐标.
第5页(共6页)
2016年中考数学压轴题汇篇(四)
2016上海市初三一模数学压轴题汇编
2016年黄浦区一模
B45,点E是AB的中点,EDC9018、如图6,在梯形ABCD中,AD//BC,DE=DC,
若AB=2,则AD的长是_____
24、在平面直角坐标系中,抛物线yax23axc与x轴交于A(-1,0)、B两点(A在B点左侧),与y轴交于点C(0,2) (1)求抛物线的对称轴及B点坐标 (2)求证:CAOBCO
(3)点D是射线BC上一点(不与B、C重合),联结OD,过点B作BFOD,垂足为BOD外一点E,若BDE与ABC相似,求点D的坐标
25、已知直线l1、l2,l1//l2,点A是l1上的点,B、C是l2上的点
ACBC,ABC60,AB=4,O是AB中点,D是CB延长线上的点,将DOC沿直线
CO翻折,点D与D'重合(1)如图12,当点D'落在直线l1上时,求DB的长 (2)延长DO交l1于点E,直线OD'分别交l1、l2于点M、N
如图13,当点E在线段AM上时,设AE=x,DN=y,求y关于x的函数解析式及其定义域 若DON的面积为
3
时,求AE的长 2
2016年杨浦区一模
18、如图,已知将ABC沿角平分线BE所在的直线翻折,点A恰好落在边BC的中点M处,且AM=BE,那么EBC的正切值为_____
24、在平面直角坐标系中,抛物线y点C,直线yx4经过A,C两点 (1)求抛物线的表达式
(2)如果点P、Q在抛物线上(P点在对称轴的左边),且PQ//AO,PQ=2AO,求点P、Q的坐标
(3)动点M在直线yx4上,且ABC与COM相似,求点M的坐标
12
xbxc与x轴交于A、B两点,与y轴交于2
25、已知菱形ABCD的边长为5,对角线AC的长为6,(如图1),点E为边AB上的动点,点F在射线AD上,且ECFB,直线CF交直线AB于点M, (1)求B的余弦值
(2)当点E与点A重合时,试画出符合题意的图形,并求BM的长
(3)当点M在边AB的延长线上时,设BE=x,BM=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域
2016年徐汇区一模
18、如图8,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,cosB=,将△ABC绕着点A旋转得△ADE,点B的对应点D落在边BC上,联结CE,那么CE的长是________.
24、如图12,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,已知点A(-1,-1),点B在第二象限,OB=,抛物线经过点A和点B. (1) 求点B的坐标; (2) 求抛物线的对称轴;
(3) 如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D,设点E在直线AB上,
当△BOE和△BCD相似时,直接写出点E的坐标。
2016年中考数学压轴题汇篇(五)
2015中考数学压轴题汇编及答案
2015年中考数学压轴题汇编(1)
一.解答题(共30小题) 1.(2016•贵阳模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
2.(2015•枣庄)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
2
3.(2015•酒泉)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2015•阜新)如图,抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.
2
5.(2015•济宁)如图,⊙E的圆心E(3,0),半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方),与x轴的正半轴交于点C,直线l的解析式为y=x+4,与x轴相交于点D,以点C为顶点的抛物线过点B. (1)求抛物线的解析式;
(2)判断直线l与⊙E的位置关系,并说明理由;
(3)动点P在抛物线上,当点P到直线l的距离最小时.求出点P的坐标及最小距离.【2016年中考数学压轴题汇篇】
6.(2015•荆门)如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在边OA上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系. (1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式;
(2)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;
(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
7.(2015•盘锦)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+3交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H,过点C作CF⊥l于F. (1)求抛物线解析式;
(2)如图2,当点F恰好在抛物线上时,求线段OD的长; (3)在(2)的条件下:
①连接DF,求tan∠FDE的值;
②试探究在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
2
2
8.(2015•益阳)已知抛物线E1:y=x经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;
(2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比.
9.(2015•徐州)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆,B为半圆上一点,连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E,已知CD=8,抛物线经过O、E、A三点.
(1)∠
OBA= °. (2)求抛物线的函数表达式.
(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、
A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时,相应的点P有且只有3个?
10.(2015•乌鲁木齐)抛物线y=x﹣x+2与x轴交于A,B两点(OA<OB),与y轴交于点C.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点
P的运动时间为t秒(0<t<2). ①过点E作x轴的平行线,与BC相交于点D(如图所示),当t为何值时,
+
的值最小,求出这个最小值
2
并写出此时点E,P的坐标;
②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F,使△EFP为直角三角形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
2
11.(2015•佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标; (2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积; (4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.
12.(2015•天水)在平面直角坐标系中,已知y=﹣x+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限. (1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式.
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.
(3)在(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由.
2
13.(2015•常德)如图,曲线y1抛物线的一部分,且表达式为:y1=
(x﹣2x﹣3)(x≤3)曲线y2与曲线y1
2
关于直线x=3对称.
(1)求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式;
(2)过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D,连接AD,在曲线y2上有一点M,使得四边形ACDM为筝形(如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分,这样的四边形为筝形),请求出点M的横坐标;
(3)设直线CM与x轴交于点N,试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P,使△PMN的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2
14.(2015•自贡)如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标; (3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.