2014-15肇庆高二下学期数学文
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2014-15肇庆高二下学期数学文
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肇庆市中小学教学质量评估
2014—2015学年第二学期统一检测试题
高二数学(文科)
本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县(市、区)、姓名、试室
号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域
内相应的位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案;
不准使用铅笔和涂改液，不按以 上要求作答的答案无效。
参考公式：线性回归方程 中系数计算公式：
， ，其中 ， 表示样本均值.
列联表随机变量 . 与k对应值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 ，则 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2014-15肇庆高二下学期数学文
2.已知 ，则
A. B. C. D.
3.若复数 是纯虚数，则实数a的值为
A.3 B.-3 C.1 D.-1或3
4.在曲线 上切线的斜率为3的点是
A.(0，0) B.(1，1) C .(-1，-1) D.(1，1)或(-1，-1)
5.否定“自然数 中恰有一个奇数”时正 确的反设为
A. 都是奇数 B. 都是偶数
C. 中至少有两个偶数 D. 都是偶数或至少有两个奇数
6.下列函数 中，满足“对任意 ，当 时，都有 ”的是
A. B. C. D.
7.复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
8.函数 的单调递增区间为
A. 与 B. C.(0，1) D.(1，+∞)
9.
A. B. C. D.
10.把一段长为12的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是
A. B. C. D.4
11.若不等式 的解集为空集，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数a的取值范围是
A.(1，+∞) B.(2，+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，-2)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.计算 ▲ .
14.一物体的运动方程为 ，则其在 ▲ 时的瞬时速度为1.
15.若复数 ，且 ，则实数a的取值范围是 ▲ .
16.数列 满足 ， ，则 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线C的参数方程为 ( 为参数).
(1)求直线 和曲线C的普通方程;
(2)求直线 和曲线C的公共点的坐 标.
18.(本小题满分12分)
某产品的广告费用支出 与销售额 (单位：百万元)之间有如下的对应数据：
/百万元
2 4 5 6 8
/百万元
30 40 60 50 70
(1)求 与 之间的回归直线方程;(参考数据： ， )
(2)试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少?
19.(本小题满分12分)
随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下 列联表：
读营养说明 不读营养说明 合计
男 16 4 20
女 8 12 20
合计 24 16 40
(1)根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”?
(2)若采用分层抽样的方法从读营养说明的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少?
(3)在(2)的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率.
20.(本小题满分12分)
如图，在四面体 中， 平面 ， . 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 .
(1)证明：BC⊥CM;
(2)证明： 平面 .
21.(本小题满分12分)
已知数列 满足 ， .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式;
(2)证明 .
22.(本小题满分12分)
已知函数 ( )， 是 的导函数.
(1)当 时，对于任意的 ， ，求 的最小值;
(2)若存在 ，使 ，求 的取值范围.
2014—2015学年第二学期统一检测题
高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D D A B C D A C D
二、填空题
13. 14. 15.(-3，1) 16.
三、解答题
17.(本小题满分10分)
解：(1)由直线 的参数方程为 ( 为参数)，得 ，代入 ，得直线 的普通方程为 . (3分)
由曲线C的参数方程为 ( 为参数)，得 ，代入 ， 得曲线C的普通方程 . (6分)
(2)由题意，得 解得 或 . (8分)
故直线 和曲线C的公共点的坐标为 . (10分)
18.(本小题满分12分)
解：(1) ， (1分)
， (2分)
， (3分)
， (4分)
， (6分)
， (8分)
所以回归直线方程为 . (9分)
(2)当x=10时， (百万元)，即当广告费用支出为1千万元时，销售额是8.25千万元. (12分)
19.(本小题满分12分)
解：(1)因为 ， (3分)
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“性别与是否读营养说明之间有关系”.
(5分)
(2)男生抽取的人数有： (人) (6分)
女生抽取的人数有： (人) (7分)
(3)由(2)可知，男生抽取的人数为2人，设为a，b;女生抽取的人数为1人，设为c;则所有基本事件有：(a，b)，(a，c)，(b，c)共3种. (9分)
其中满足条件的基本事件有：(a，c)，(b，c)共2种， (11分)
所以，恰有一男一女的概率为 . (12分)
20.(本小题满分12分)
证明：(1)因为AD⊥平面BCD，BC平面BCD，
所以BCAD. (1分)
又BC⊥CD，且CD、AD平面ACD，CD∩AD=D，
所以BC平面ACD. (2分)
又CM平面ACD， (3分)
所以平面BCCM. (4分)
(2)取BD的中点E，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF. (5分)
因为P、E分别是BM、BD的中点，所以PE为△BDM的中位线， (6分)
所以PE//DM，且 ，即PE//AD，且 . (7分)
在△CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，
所以QF//AD，且 . (9分)
所以PE//QF，且PE=QF，故四边形EFQP为平行四边形. (10分)
所以PQ//EF. (11分)
又EF平面BCD，PQ平面BCD，所以PQ//平面BCD. (12分)
21.(本小题满分12分)
证明：(1)由 ，得 ， (2分)
又 ，所以 是首项为 ，公比为3的等比数列. (4分)
故 ，即 . (6分)
(2)由(1)，得 .
因为当 时， ( )， (8分)
所以 . (9分)
因此 . (11分)2014-15肇庆高二下学期数学文
故 . (12分)
22.(本小题满分12分)
解：(1)当 时， ， . (1分)
令 ，得 . (2分)
当 时， ，所以 在(-1，0)上单调递减;
当 时， ，所以 在(0，1)上单调递增;
所以对于 ， 的最小值为 . (3分)
因为 的开口向下，且对称轴为 ，所以对于 ， 的最小值为 . (4分)
故 的最小值为-11. (5分)
(2) . (6分)
①若 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，又 ，则当 时， . 所以当 时，不存在 ，使 . (8分)
②若 ，当 时， ，所以 在 上单调递增;当 时， ，所以 在 上单调递减;
故当 时， . (10分)
依题意 ，解得 . (11分)
综上， 的取值范围是 . (12分)