北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案

北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案(一)
北师大版初中数学九年级下册《二次函数》教案2

二次函数

【知识点八：二次函数解析式的表示方法】

1．一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2．顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3．两点式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）．

【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

【典型例题】

1、根据下面条件求二次函数的解析式：

（1）抛物线过（－1，－6）、（1，－2）和（2，3）三点；

（2）抛物线的顶点坐标为（－1，－1），且与y轴交点的纵坐标为－3； （3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；

（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）．

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2、把抛物线y=x2+2x－3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 ．

3、二次函数有最小值为-1，当x=0时，y=1，它的图象的对称轴为x=1，则函数的关系式 为 ．

4、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式为 y＝－

1225

x＋x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球出手时的高度． 1233

【变式练习】

1、抛物线y=ax2+bx+c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点， 则a= ，b= ，c= ．

2、抛物线yxbxc的图象如图6所示，则此抛物线的 解析式为 ．

3、已知二次函数yaxbxc中的x，y满足下表：

2

2

求这个二次函数关系式．

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4、如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．求抛物线的解析式．

5、已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式；

（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．

3)和点P（t，0），且t ≠6．已知抛物线yax2bx经过点A(3，

（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，（2）若t4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． ．．

图12

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7、（1）请在坐标系中画出二次函数yx22x的大致图象； （2）在同一个坐标系中画出yx22x的图象向上平移两个 单位后的图象；

（3）直接写出平移后的图象的解析式． 注：图中小正方形网格 的边长为1．

8．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约123．铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即OC=4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗?

9、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式．

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，

试求出用d表示h的函数关系式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水

面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行?

第 4 页 共 21 页【北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案】

10、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5米时，达到最大高度3．5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．【北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案】

（2）该运动员身高1．8米，在这次跳投中，球在头顶上方0．25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

【提高练习】

1、已知二次函数的图象经过(-1,1)、(2,1)两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式．【北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案】

4)． 2、如图，抛物线yax5ax4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限， 并写出平移后抛物线的解析式．

2

5，4）

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北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案(二)
2015年新北师大版九年级数学下学期同步教案2.2二次函数的图象与性质(4)

第二章二次函数

《二次函数的图象与性质（第 4 课时）》

教学设计说明

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：已经能够正确说出y=ax2、y=ax2+c、y=a(x-c) 2、 y=a(x-h) 2+k 图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标，特别是对y=a(x-h) 2+k 形式的函数有感性认识，知道特定的形式反映特定的几何特征.

学生活动经验基础：学生已经熟练掌握画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线，学生能够根据以往画y=ax2、y=ax2+c、y=a(x-c) 2、y=a(x-h) 2+k图象的经验理解y=a(x-h) 2+k与y=ax2的图象的关系.

二、教学任务分析

进一步对a、h、k 响影二次函数图象产生感性认识，进一步体会建立

y=a(x-h) 2+k形式的必要性，能够利用二次函数顶点式解决实际问题，鼓励学生利用类比等方法探究数学问题，认识到真理来源于实践，又能指导实践.具体地说，本节课的教学目标是：

知识与技能

1．经历探索二次函数y =ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程；

2．推导二次函数y =ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式；

3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题.

过程与方法

1．体会建立二次函数y =ax2+bx+c对称轴和顶点坐标公式的必要性；

2．在学习y =ax2+bx+c的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.

情感态度与价值观

1．在小组活动中体会合作与交流的重要性.

2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识.

教学重点：推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题.

教学难点：用配方法推导y =ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式

三、教学过程分析

本节课分为五个环节：复习练习、引入课题学习y =ax2+bx+c的顶点坐标公式并加以练习、链接生活解决问题、小结、布置作业

第一环节 复习练习

活动内容：说出y=ax2、y=ax2+c、y=a(x-c) 2、y=a(x-h) 2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标.

活动目的：对前面知识作回顾， 温故而知新， 为后面学生学习y =ax2+bx+c的顶点公式作铺垫.

实际教学效果：学生知道特定的函数形式反映特定的几何特征.

第二环节 引入课题学习y =ax2+bx+c的顶点坐标公式

活动内容：

1．提供素材：北京时间2007 年6 月1 日零时零八分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星，这是中国“长征”系列运载火箭的第一百次飞行.中国“长征”系列运载火箭已完成一百次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家.

2．提出问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t²+150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？

3．为了解决这个实际问题，从一个具体的数学问题出发，要求学生y=3x²-6x + 5 的顶点坐标、开口方向、坐标轴等.

引导学生思考：如果二次函数的表达式为y＝a(x-h)²+k 的形式，则可以很快知道它的顶点坐标、开口方向等.于是用配方的方法计算出该函数的顶点式，根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.

4．要求学生利用配方法做随堂练习

1y2x212x32y5x280x319

北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案(三)
北师大版初中数学九年级下册《二次函数》教案

二次函数

【知识点八：二次函数解析式的表示方法】

1．一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2．顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3．两点式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）．

【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

【典型例题】

1、根据下面条件求二次函数的解析式：

（1）抛物线过（－1，－6）、（1，－2）和（2，3）三点；

（2）抛物线的顶点坐标为（－1，－1），且与y轴交点的纵坐标为－3； （3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；

（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）．

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2、把抛物线y=x2+2x－3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 ．

3、二次函数有最小值为-1，当x=0时，y=1，它的图象的对称轴为x=1，则函数的关系式 为 ．

4、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式为 y＝－

1225

x＋x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球出手时的高度． 1233

【变式练习】

1、抛物线y=ax2+bx+c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点， 则a= ，b= ，c= ．

2、抛物线yxbxc的图象如图6所示，则此抛物线的 解析式为 ．

3、已知二次函数yaxbxc中的x，y满足下表：

2

2

求这个二次函数关系式．

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4、如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．求抛物线的解析式．

5、已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式；

（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．

3)和点P（t，0），且t ≠6．已知抛物线yax2bx经过点A(3，

（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，（2）若t4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． ．．

图12

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7、（1）请在坐标系中画出二次函数yx22x的大致图象； （2）在同一个坐标系中画出yx22x的图象向上平移两个 单位后的图象；

（3）直接写出平移后的图象的解析式． 注：图中小正方形网格 的边长为1．

8．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约123．铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即OC=4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗?

9、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式．

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，

试求出用d表示h的函数关系式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水

面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行?

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10、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5米时，达到最大高度3．5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．

（2）该运动员身高1．8米，在这次跳投中，球在头顶上方0．25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

【提高练习】

1、已知二次函数的图象经过(-1,1)、(2,1)两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式．

4)． 2、如图，抛物线yax5ax4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限， 并写出平移后抛物线的解析式．

2

5，4）

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北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案(四)
北师大版九年级数学下册教案 2.2 结识抛物线

2.2 结识抛物线

学习目标:

2经历探索二次函数y=x的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质

22的经验．掌握利用描点法作出y=x的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x的性质．能

22够作为二次函数y=－x的图象，并比较它与y=x图象的异同，初步建立二次函数表达式与

图象之间的联系．

学习重点:

22利用描点法作出y=x的图象过程中，理解掌握二次函数y=x的性质，这是掌握二次函

2数y=ax＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好．只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节． 学习难点:

2函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x性质，它难在由图象概括性质，结合

图象记忆性质．

学习方法:

探索——总结——运用法.

学习过程:

一、作二次函数y=x的图象。

二、议一议：

1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？

3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？

4.当x取什么值时，y的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、y=x的图象的性质： 22

三、例题：

【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．

【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3

四、练习

1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．

2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．

3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．

五、课后练习

1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．

2．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．

13．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B2

是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．

4．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．

5．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？

6．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）

A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36

北师大9年级数学下册2.2二次函数的图象（2）教案(五)
九年级数学下册 二次函数图象及其性质复习课教案 北师大版

二次函数图象及其性质

教学目标：

1． 知识目标：复习巩固二次函数的图象及其性质 2． 能力目标：提高学生应用能力和知识迁移能力 3． 情感目标：使学生进一步认识到数学源于生活，用于生活的辩证观点。 教学重点：把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。 教学难点：学生转化能力的培养 教学方法：启发引导、观察、探索 学法引导：化归迁移 课 型：复习课 教具准备：多媒体