二次根式的研究数学上册。,第21章。
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二次根式的研究数学上册。,第21章。(一)
九年级数学上册新华师版第21章 二次根式全章教案
第21章 二次根式
21.1 二次根式
第1课时 二次根式(1)
教学目标:
1
a≥0)的意义解答具体题目。 2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题。 教学重难点:
a≥0)的式子叫做二次根式的概念;
a≥0)”解决具体问题. 教学流程: 一、回顾:
当a是正数时,a表示a的算术平方根,即正数a的正的平方根. 当aa等于0,它表示零的平方根,也叫做零的算术平方根. 当a是负数时,a没有意义. 二、概括:
a(a≥0)表示非负数a的算术平方根,也就是说,a(a≥0)是一个非负数,它的平方 等于a.即有:(1)a≥0(a≥0);(2)(a)2=a(a≥0).形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.
注意:
在二次根式a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数. 例:x是怎样的实数时,二次根式x1有意义?
分析 要使二次根式有意义,必须且只须被开方数是非负数. 解:被开方数x-1≥0,即x≥1.
所以,当x≥1时,二次根式x1有意义. 思考a2等于什么?
我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,„„分别计算对应的a2的值,看看有什么规律:
概括:当a≥0a2a; 当a<0a2a. 这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方,运用这个性质,可以将它“开方”出来,从而达到化简的目的.例如:
4x2(2x)2=2x(x≥0); x4(x2)2x2.
三、练习
x取什么实数时,下列各式有意义.
(x3)234xx2(1; (2;(3; (4x443x
板书设计:
二次根式
形如a(a≥0)的式子叫做二次根式. 例题:
第2课时 二次根式(2)
教学目标:
1
、理解a≥0
2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2
a≥0)是一个非负数,
教学重难点:
a≥0)是一个非负数;
2=a(a≥0)及其运用.
a≥0)是一个非负数;• 教学流程:
一、复习引入: (学生活动)口答 1.什么叫二次根式?
2.当a≥0
a<0
[老师点评(略).]
二、探究新知: 议一议:(学生分组讨论,提问解答)
a≥0)是一个什么数呢?
老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出
做一做:根据算术平方根的意义填空:
2=_______;
2=_______;2=______
;2=_______; 4的算术平方根,根据算术平方根的意义,
4
2=4. 同理可得:
2=2,
2=9,
2=3,
2=0,所以
例1 计算
1.2 2
2
2.(
2 3. 4.)
2127=,
=,
32
2=a(a≥0)的结论解题. 解:
2
3
=,(2 =32
·2=32·5=45,
22
72
5
=,).
64 三、巩固练习:
计算下列各式的值:
2
222
)2
(2
2
四、应用拓展:
例2 计算
1.【二次根式的研究数学上册。,第21章。】
2(x≥
0) 2.2 3.
2 4.
五、归纳小结
本节课应掌握:
1a≥0)是一个非负数;
2.【二次根式的研究数学上册。,第21章。】
2=a(a≥0);反之:a=2(a≥0). 板书设计:
二次根式
第3课时 二次根式(3)
教学目标:
(a≥0)并利用它进行计算和化简. 教学重难点:
a(a≥0).
难点:讲清a≥0
a才成立. 教学流程: 一、复习引入:
老师口述并板收上两节课的重要内容; 1
a≥0)的式子叫做二次根式; 2
a≥0)是一个非负数; 3.
2=a(a≥0).
那么,我们猜想当a≥0
时,是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题.
二、探究新知: (学生活动)填空:
=______;
=________
.
(老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到:
123
==0
.
3
710
例
1 化简
(1
(2
(3 (4分析:因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,
(3)25=52, (4)(-3)2=32
(a
≥0)•去化简. 解:(1
(2=4
(3
(4
=3 三、巩固练习: 教材练习
四、应用拓展:
例2 填空:当a≥0
;当a<0
,•并根据这一性质回答下列问题.
(1
,则a可以是什么数? (2
,则a可以是什么数?
(3
,则a可以是什么数?
五、归纳小结
(a≥0)及其运用,同时理解当a<0
-a的应用拓展. 板书设计:
二次根式
小节反思:
21.2 二次根式的乘除法
第
4课时 二次根式的乘除法(1)
教学目标:
(
a≥0,b≥0
),
(a≥0,b≥
0),并利用它们进行计算和化简 教学重难点:
a≥0,b≥0
)
a≥0
,b≥0)及它们的运用.
a≥0,b≥0). 教学流程:
一、复习引入:
(学生活动)请同学们完成下列各题.
二次根式的研究数学上册。,第21章。(二)
九年级数学上册新华师版第21章_二次根式全章教
第21章 二次根式
21.1 二次根式
第1课时 二次根式(1)
教学目标:
1
a≥0)的意义解答具体题目。
教学流程:
一、回顾:
当a是正数时,a表示a的算术平方根,即正数a的正的平方根. 当aa等于0,它表示零的平方根,也叫做零的算术平方根. 当a是负数时,a没有意义.
二、概括: a(a≥0)表示非负数a的算术平方根,也就是说,a(a≥0)是一个非负数,它的平方 等于a.即有:(1)a≥0(a≥0);(2)(a)2=a(a≥0).形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.
注意: 在二次根式a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数. 例:x是怎样的实数时,二次根式x1有意义?
分析 要使二次根式有意义,必须且只须被开方数是非负数.
解:被开方数x-1≥0,即x≥1.
所以,当x≥1时,二次根式x1有意义. 思考a2等于什么?
我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,„„分别计算对应的a2的值,看看有什么规律:
概括:当a≥0a2a; 当a<0a2a. 这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方,运用这个性质,可以将它“开方”出来,从而达到化简的目的.例如:
4x2(2x)2=2x(x≥0); x4(x2)2x2.
三、练习
x取什么实数时,下列各式有意义.
(x3)234xx2(1; (2;(3; (43x443x
第2课时 二次根式(2)
教学目标:
1
、理解a≥0
2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2
a≥0)是一个非负数,
一、复习引入:
(学生活动)口答
1.什么叫二次根式?
2.当a≥0
a<0
[老师点评(略).]
二、探究新知:
议一议:(学生分组讨论,提问解答)
a≥0)是一个什么数呢?
老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出
做一做:根据算术平方根的意义填空:
2=_______;
2=_______;2=______
;2
=_______;
4的算术平方根,根据算术平方根的意义, 4
2=4.
同理可得:
2=2,2
=9,(2=3,
2=0,所以
例1 计算
1.2 2
2 2.(
2 3. 4.)
2127=,
=,32 2=a(a≥0)的结论解题.
解:
23 =,(
2 =32·
2=32·5=45,
22
725=,
). 64 三、巩固练习:
计算下列各式的值:
2
222
2 (
22 四、应用拓展:
例2 计算
1.
2(x≥0) 2.
2
3.
2 4.
第3课时 二次根式(3)
教学目标:
(a≥0)并利用它进行计算和化简.
教学重难点:
教学流程:
一、复习引入:
老师口述并板收上两节课的重要内容;
1
a≥0)的式子叫做二次根式;
2
a≥0)是一个非负数;
3.
2=a(a≥0).
那么,我们猜想当a≥0
是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题.
二、探究新知:
(学生活动)填空:
=______;
=________
. (老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到:
231
==0
. 3
710
例
1 化简
(1
(2
(3(4分析:因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,
(3)25=52,
(4)(-3)2=32
(a
≥0)•去化简.
解:(1
=3 (2
=4
(3
(4
三、巩固练习:
教材练习
四、应用拓展:
例
2 填空:当a≥0;当a<0
,•并根据这一性质回答下列问题.
(
1)若,则a可以是什么数? (2
,则a可以是什么数?
(3,则a
可以是什么数?
21.2 二次根式的乘除法
第4课时 二次根式的乘除法(1)
教学目标
:
a≥0,b≥
0)a≥0,b≥0),
并利用它们进行计算和化简
教学重难点:
一、复习引入:
(学生活动)请同学们完成下列各题.
1.填空
(
1
;
(
2
=_______
.
(
3.
参考上面的结果,用“>、<或=”填空.
×
_____
,
×
_____
,
×
2.利用计算器计算填空
(1
(2
(3
(4
(5
.
老师点评(纠正学生练习中的错误)
二、探索新知:
(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.
老师点评:(1)被开方数都是正数;
(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,•并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.
一般地,对二次根式的乘法规定为
反过来
例1.计算
(1
(2
(3
(4
解:(1
(2
(3
(4
三、巩固练习:
(1)计算(学生练习,老师点评)
①
②× 第5课时 二次根式的乘除(2)
教学目标:
二次根式的研究数学上册。,第21章。(三)
华师版九年级数学上册全章学案:第21章 二次根式
第21章 二次根式
21.1 二次根式
1.a(a≥0)表示非负数a的算术平方根,也就是说,a(a≥0)是一个非负数,它的平方等于a,即有:
(1)a__a≥0);(2)(a)2=__a__(a≥0). 2.形如a的式子叫做二次根式.
a (a≥0)
3.a=|a|=
-a (a<0)
知识点1:(a)=a(a≥0) 1.计算:(2015)2=__2015__;(
2=____. 32
2.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式: (1)7=
;(2)8.3=
; 1
(3)
12
;(4)t=
t≥0). ;③-5;④8;(-1).其中二次根式的个数有( C ) 2
知识点2:二次根式的概念 3.下列式子:①4;A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.在下列式子中,一定是二次根式的有( C ) ,-2,-x+1,
13-
(-)2,3,,π.
3
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 知识点3:二次根式有意义的条件
5.(2014·武汉)若x-3在实数范围内有意义,则x的取值范围是( C ) A.x>0 B.x>3
C.x≥3 D.x≤3 6.(2014·巴中)要使式子A.m>-1 B.m≥-1
C.m>-1且m≠1 D.m≥-1且m≠1
7.下列四个式子中,x的取值范围为x≥2的是( C ) x-21
B.x-2x-2
m+1
,则m的取值范围是( D ) m-1
x-2 D.2-x
8.-(x-1)有意义的x的取值范围是__x=1__. 知识点4:二次根式的性质 9.计算(-3)的结果是( B ) A.-3 B.3 C.-9 D.9 10.如果(3a-2)=2-3a,则( B ) 22A.a< B.a3322C.a> D.a3311.化简下列各式: (1)4; 解:2 (2)49; 解:7
(3)2025; 解:45
(4)(-5); 解:5
(5)-
1
()2; 3
1解:-3
(6)4×10. 解:2×10-2
-
12.已知-1≤a≤1,下列是二次根式的为( C ) a- 2
1-a
1-a D.a
13.文文设计了一个关于实数运算的程序,按此程序,输入一个数后,输出的数比输入的数的平方小1,若输入7,则输出的结果为( B )
A.5 B.6 C.7 D.8
14.实数a在数轴上的位置如图所示,则(a-4)+(a-11)
化简后为( A )
A.7 B.-7
C.2a-15 D.无法确定
1
15.已知点P(x,y)在函数y=-x的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的( B )
xA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
16.(2014·张家界)x-1+(y+2)2=0,则(x+y)2014等于( B ) A.-1 B.1 C.2014 D.-2014
17.使代数式
2x-1有意义的x的取值范围是__x≥且x≠3__.
3-x
x-4+4-x2,则(x+y)y=__.
218.(2014·德州)若y=
19.x取怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1)x+1-2-x;
解:-1≤x≤2 (2)
5
3-2x
3
解:x<2
4(3)1-x解:x≥0且x≠1
20.(1)已知x,y为实数,1+x-(y-1-y=0,试求x2015-y2015的值. (2)若a,b为实数,且a=b-7+14-2b+2,求a+b的平方根.
解:(1)由已知得1+x+(1-y1-y=0,由于1+x≥0,1-y≥0,故根据非负数的性质可得:1+x=0,1-y=0,解得x=-1,y=1,代入则有x2015-y2015=(-1)2015-12015=-1-1=-2 (2)由于b-7≥0,14-2b≥0,则有b≥7,b≤7,故b=7,所以a=2,
所以a+b的平方根为±3
21.甲、乙两位同学做一道相同的题目: 1
化简求值:a1原式=a
12
+a-2,其中a=a5
甲同学的解法是:
112149(-a)2=+-a=-a=10-=aaaa55
乙同学的解法是: 1原式=a
111(a-2=+a-a=.
aaa5
12
+a-2=a
11
(a2=-a|,且a
aa
请问哪位同学的解法正确?请说明理由. 解:甲同学的解法是正确的,理由如下:=即=5.∴∴-a>0.∴|a|=a.乙同学在去绝对值时忽略了与a的大小关系,5aaaaaa导致错误
21.2 二次根式的乘除
21.2.1 二次根式的乘法
21.2.2 积的算术平方根
1.a
b=a__,b__.即:两个算术平方根的积,等于它们被开方数的__积__的算术平方根.
2.ab=
a__,b__.即:积的算术平方根,等于各因式算术平方
根的__积__.
知识点1:二次根式的乘法 1.计算:(2014·河北8×2×18=____;35×
1
6
__2__; 2
=. 202.等式x+x-1=x-1成立的条件是( C ) A.x>1 B.x<-1 C.x≥1 D.x≤-1 3.下列各等式成立的是( D )
A.45×25=85 B.53×42=205 C.43×32=75 D.53×42=206
二次根式的研究数学上册。,第21章。(四)
新人教版九年级数学上册第21章二次根式全章测试
第二十一章二次根式测试题
一、选择题(30分)
1.
x应满足的条件是 ( )
A. x2555 B. x C. x D. x 5222
2. 下列各式中,一定是二次根式的是 ( ) A.
B.
C.
D. 3. 下列二次根式中,属于最简二次根式的是( )
A、4a B、aa C、 D、a4 44
4. 若b
0 ( )
A.
B.
C.
D.
5、下列计算正确的是( )
22A、(3)3 B、14 C、(13)13 D、.41.2
6. 正方形ABCD对角线长为6,则正方形ABCD的边长为( )
(A)3
7. 若
(B)
(C) (D)6 m的值为( ) 20511315B.C.D. A.32688
8. 下列计算正确的是( )
(A
4 (B
(C
)5 (D
11 2
9. 若
则y ). (A)27 (B)
(C)
( )
A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D.互为负倒数
二、填空题(30分)
11.
在函数y,自变量 x的取值范围是5
12.
。
13、化简:(7-52)2007·(-7-52)2007=______________.
14、已知一个三角形的底边长为2cm,高为245cm,则它的面积为 3
15、abab成立的条件是
16、已知:直角三角形的两条直角边为a,b,斜边为c.如果a0.8,b1.5,则c=
17.
a
18
、已知x
1,y1,则x2y219、当1x
3。
20、已知x2x2x10,则x等于 x2
三、化简与计算(24分)
21、(1).
(2)
(3
15 (4). -821027÷2512a3
(6)
(2)20
四、知识应用(29分)
22.已知m、n
是实数,且m1,求2m3n的值(5分)
23. .
(y
24. .
已知a1225分) 1,b1,求a2abb2的值(5分)
25、绿苑小区有一块长方形绿地,经测量绿地长为40米,宽为20米,•现准备从对角引两条通道,求通道的长.(5分)
26、设三角形一边长为a,这边上的高为h,面积为S.
如果h,另有一个边长
为的正方形面积也等于S,求a的长.(5分)
27. 阅读下面的解题过程,判断是否正确,若正确,在题后的横线上打“√”;若不正确,在题后的横线上写出正确的答案。4分
已知:a0,ab
0,化简abba
解:abb
aabba答:
五、探索规律(7分)
28. 先观察下列各式,再回答问题。
111 ;
1112612
(1
(2按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数),不用验证
二次根式的研究数学上册。,第21章。(五)
九年级数学上册 第21章 二次根式教案 新人教版
第21章 二次根式
教材内容
1.本单元教学的主要内容:
二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式.
2.本单元在教材中的地位和作用:
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础. 教学目标
1.知识与技能
(1)理解二次根式的概念.
(2
a≥0)是一个非负数,
2=a(a≥0)
(a≥0).
(3
a≥0,b≥0)
;
(a≥0,b>0)
(a≥0,b>0).
(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.
2.过程与方法
(1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.•再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.
(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,•并运用规定进行计算.
(3)利用逆向思维,•得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.
(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,•给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.
3.情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重点
1
a≥0
a≥0)是一个非负数;
2=a(a≥0)
;(a≥0)•及其运用.
2.二次根式乘除法的规定及其运用.
3.最简二次根式的概念.
4.二次根式的加减运算.
教学难点
1
a≥0
)2=a(a≥0
(a≥0)的理解及应用.
2.二次根式的乘法、除法的条件限制.
3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.
教学关键
1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点.
2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,•培养学生一丝不苟的科学精神.
单元课时划分
本单元教学时间约需11课时,具体分配如下:
21.1 二次根式 3课时
21.2 二次根式的乘法 3课时【二次根式的研究数学上册。,第21章。】
21.3 二次根式的加减 3课时
教学活动、习题课、小结 2课时
21.1 二次根式
第一课时
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
a≥0)的意义解答具体题目.
提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.
教学重难点关键
1
a≥0)的式子叫做二次根式的概念;
2
a≥0)”解决具体问题.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题:
问题1:已知反比例函数y=3,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐x
标是___________.
问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是__________.
A
问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________.
老师点评:
问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以
.
问题2:由勾股定理得
C
问题3:由方差的概念得
S=
二、探索新知
. ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方
a≥0)•的式子叫做二次根式,
(学生活动)议一议:
1.-1有算术平方根吗?
2.0的算术平方根是多少?
3.当a<0
老师点评:(略)
例1.下列式子,
1x>0)
、x
、1(x≥0,y•≥0). x
y
;第二,被开方数是正数 分析
或0.
(x>0)
、
(x≥0,y≥0);不是二
11、. xyx
例2.当x
分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,
才能有意义.
解:由3x-1≥0,得:x≥
当x≥1 31 3
三、巩固练习
教材P练习1、2、3.
四、应用拓展
例3.当x
分析
1在实数范围内有意义? x110和x
1
1中的x+1≠0. x1
解:依题意,得
由①得:x≥-2x30 x103 2
由②得:x≠-1
当x≥-31且x≠-1
在实数范围内有意义. 2x1
x的值.(答案:2) y例4(1)已知
,求
(2)
,求a2004+b2004的值.(答案:
五、归纳小结(学生活动,老师点评)
本节课要掌握:
2) 5