高中数学苏教版必修5教案

高中数学苏教版必修5教案(一)
苏教版_高中数学必修五教学案

1.1 正弦定理

1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

一、课前准备

试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直

角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC中，设BC=a，

AC=b，AB=c，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

abc有sinA，sinB，又sinC1， ccc

abc从而在直角三角形ABC中，． sinAsinBsinC

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

ab有CD=asinBbsinA，则， sinAsinB

cb同理可得， sinCsinB

abc从而． sinAsinBsinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

abc． sinAsinBsinC

试试：

（1）在ABC中，一定成立的等式是（ ）．

A．asinAbsinB B.acosAbcosB

C. asinBbsinA D.acosBbcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA， ，cksinC；

abcbcac（2）等价于 ，，． sinAsinBsinCsinCsinBsinAsinC

（3）正弦定理的基本作用为： bsinA①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a；b sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， a如sinAsinB；sinC． b

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在ABC中，已知A45，B60，a42cm，解三角形．

变式：在ABC中，已知B45，C60，a12cm，解三角形．

例2.

在ABC中，cA45,a2,求b和B,C．

变式

：在ABC中，bB60,c1,求a和A,C．

三、总结提升

※ 学习小结

abc sinAsinBsinC

2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，

还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.

3．应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角． 1. 正弦定理：

※ 知识拓展

abc2R，其中2R为外接圆直径. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

cosAb1. 在ABC中，若，则ABC是（ ）. cosBa

A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，

则a∶b∶c等于（ ）.

A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1

D．2∶2

3. 在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（ ）.

A. AB B. AB

C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定

4. 已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，则a:b:c

5. 已知ABC中，A60

，a

abc= ．

sinAsinBsinC

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．

2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．

1.2 余弦定理

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = ．

复习2：在△ABC中，已知c10，A=45，C=30，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学

※ 探究新知

问题：在ABC中，AB、BC、 ∵AC， ∴ACAC CA的长分别为c、a、b.

同理可得： a2b2c22bccos，A

c2a2b22abcosC．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

高中数学苏教版必修5教案(二)
高中数学《等比数列》教案1 苏教版必修5

第 7 课时： 2.3 等比数列（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.通过实例，理解等比数列的概念；能判断一个数列是不是等比数列；

2.类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法。掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题.

二、过程与方法

1.通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义；通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．

2.探索并掌握等比数列的性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力，会 等比数列与指数函数的关系。

三、情感、态度与价值观

1.培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．

2.充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：

重点：等比数列的定义和通项公式

难点：等比数列与指数函数的关系；遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。 【学法与教学用具】：

1. 学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。再看下面的例子： ①1，2，4，8，16，„ ②1，

12

，

14

，

2

18

，

116

，„

4

③1，20，20，20，20，„

④100001.0198，100001.0198，100001.0198，100001.0198，100001.0198，„„ 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数(q)

（2）隐含：任一项an0且q0 （3）q1时，{an}为常数

用心 爱心 专心

1

2

3

4

5

3

二、研探新知 1．等比数列定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫．．．．．．

做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，（注意：等比数列的公比和项都不为零）．

注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q),{an}成等比数列

an1an

=q（nN,q0）

（2）隐含：任一项an0且q0,“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件． （3）q1时，{an}为常数。

2．等比数列的通项公式（一）：ana1qn1(a1q0) 由等比数列的定义，前(n1)个等式有：

a2a1

q；

a3a2

q,；

„ „ „ „ „ „ „

anan1

q

若将上述n1个等式相乘，便可得：

a2a1



a3a2



a4a3



anan1

q

n1

n1

，即：ana1q（n2）

n1

当n1时，左边a1，右边a1，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：ana1q．

m1

(a1q0) 3.等比数列的通项公式（二）: anamq

说明：由等比数列的通项公式可以知道：当公比q1时该数列既是等比数列也是等差数列； 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

1，例1 （教材P45例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）（2）（3）0,1,2,4,8；1,1,1,1；

11

24

，

1

816

1

解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列．

（2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．

用心 爱心 专心 2

例2 （教材P46例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,a,8； （2）4,b,c,解：（1）由题得

a28a

12

．

，∴a4或a4．

cb

4b

（2）由题得 1，∴b2或c1．

c

bc

例3 （教材P48例1）在等比数列{an}中，

（1）已知a13，q2，求a6；（2）已知a320，a6160，求an． 解：（1）由等比数列的通项公式得a63(2)6196．

2

q2a1q20

（2）设等比数列的公比为q，那么，得，∴ an52n1．

5

a15a1q160

例4一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。

例5 在等比数列{an}中，a316,a1a2a102

65

，求an与a6

2

例6（教材P46例3）（1）在等比数列{an}中，是否有anan1an1（n2）？

2（2）在数列{an}中，对于任意的正整数n（n2），都有anan1an1，那么数列{an}一定是等比

数列．

解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列{an}是等比数列，∴

2

an1an



anan1

，即

anan1an1（n2）成立．

2

（2）不一定．例如对于数列0,0,0,，总有anan1an1，但这个数列不是等比数列．

四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材P49练习第1，2题 2. 教材P49习题第1，2题

五、归纳整理，整体认识

anan1

本节课主要学习了等比数列的定义，即：【高中数学苏教版必修5教案】

q(q0)；等比数列的通项公式：ana1q

n1

及

3

用心 爱心 专心

用心 爱心 专心4

推导过程。

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略） 八、课后记：

高中数学苏教版必修5教案(三)
高中数学 《数列》教案3 苏教版必修5

数列

教学目标

1．使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（1）理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的．

（2）了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第 项

与项数 的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式．

（3）已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项．

2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．

3．通过由

求

的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯．

教学建议

（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等．

（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法．由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法．

（3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．

（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用

来调整等．如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系．

（5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前 项和的概念，用

示

的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析

与

表的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调

的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况．

（6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的．

教学设计示例

数列的概念

教学目标

1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．

2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．

3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．

教学重点，难点【高中数学苏教版必修5教案】

教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片

教学方法：讲授法为主

教学过程

一．揭示课题

今天开始我们研究一个新课题．

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数

（板书）

（板书）第三章 数列

（一）数列的概念

二．讲解新课

要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：

（幻灯片）

自然数排成一列数： ① 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．

②

3个1排成一列：

③

无数个1排成一列：

④

排列起来：

的不足近似值，分别近似到

⑤

正整数

的倒数排成一列数：

⑥

函数

当 依次取

时得到一列数：

⑦

函数

当 依次取

时得到一列数：

⑧

请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．

（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．

为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．

由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，„„，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．

（板书）2．数列与函数的关系

数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集

，或是正整数集

的有限子集

．

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．

遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．

（板书）3．数列的表示法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

表示第一项，用

表示第一项，„„，用

表示第 项，依次写出成为

（板书）（1）列举法

．（如幻灯片上的例子）简记为

．

一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． （板书）（2）图示法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横

坐标为正整数，所以这些点都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即

做数列的通项公式．

（板书）（3）通项公式法

如数列

的通项公式为

； ； ，这个函数式叫

的通项公式为

的通项公式为

；

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

例如，数列

的通项公式

，则

． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．

除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

（板书）（4）递推公式法

如前面所举的钢管的例子，第

，再给定

层钢管数

与第 层钢管数

的关系是

，便可依次求出各项．再如数列

，这个数列就是

． 中，

像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．

可由学生举例，以检验学生是否理解．

三．小结

1．数列的概念

2．数列的四种表示

四．作业 略

五．板书设计

高中数学苏教版必修5教案(四)
苏教版高中数学(必修5)3.1《不等关系》word教案

第 1 课时： 3.1 不等关系

【三维目标】：

一、知识与技能

1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

2.掌握作差比较法判断两实数或代数式大小； 二、过程与方法

1.经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法

2.以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

3.通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 三、情感、态度与价值观

1.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

2.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。 【教学重点与难点】：

重点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；

(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．

（3）掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系；利用不等式的性质证明简单的不等式。 【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题

在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如： (1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?

(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？【高中数学苏教版必修5教案】

(3)

YZ某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素

A及40000单位的维生素B，设X,Y这两种食物各取xkg，ykg，那么x,y应满足怎样

的关系？

问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？

二、研探新知

在问题(1)中,设x人(x20)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x．

x5x万册,杂志社的销售0.22

5x5x)元．根据题意，得(2x)(10)22.4，化简，得收入为(2x)(1万22

在问题(2)中,设每本杂志价格提高x元,则发行量减少0.5

5x210x4.80．

在问题(3)中,因为食物X,Y分别为xkg，ykg，故食物Z为(10xy)kg，则有

300x500y300(100xy)35000,y25,

即 

700x100y300(100xy)40000,2xy50.

上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,

，，，)表示不等关系. 常用(，

总结：建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分

析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

解：假设截得的500mm钢管x根，截得的600mm钢管y根．

根据题意，应有如下的不等关系：

（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；

（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）解得两钟钢管的数量都不能为负。

500x600y4000,3xy,

由以上不等关系，可得不等式组：：

xN,yN.

说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．

例2 某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写出x,y满足的条件．

6x3y84x7y10

解：x,y满足的条件为．

x0y0

例3 （1）(a3)(a5)与(a2)(a4)；（2）

ama

与（其中ba0，m0）． bmb

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．

解：（1）(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70 ∴(a3)(a5)(a2)(a4)．

amab(am)a(bm)m(ba)

，∵ba0，m0，∴bmbb(bm)b(bm)

amam(ba)

． 0，所以

bmbb(bm)

ama

（ba0，m0）在生活中可以找到原型：b克糖水中说明：不等式

bmb

（2）

有a克糖（ba0），若再添加m克糖（m0），则糖水便甜了．（浓度＝

例4 已知x2,比较x11x与6x6的大小．

解：x11x(6x6)x3x3x11x6x(x3)(3x2)(x3) =(x3)(x2)(x1)…………………（*）

①当x3时，（*）式0，所以 x11x6x6；

32

②当x3时，（*）式0，所以 x11x6x6；

③当2x3时，（*）式0，所以 x11x6x6 说明：1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；

2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．

3

2

3

2

3

2

溶质

） 溶液

323222

四、巩固深化，反馈矫正

1．（1）比较(x5)(x7)与(x6) 的大小； （2）如果x0,比较(x1)2与(x1)2 的大小． （3）比较xx和x2的大小

222

（4）当p、q都为正数且pq1时，试比较代数式(pxqy)与pxqy的大小

2

2

注意：（3）、（4）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形至于差本身是多少，（5）比较lgx2与(lgx)2的大小

（6）比较x3与3x的大小，其中xR.

（7）比较当a

0时，(a21)(a21)与(a2a1)(a2a1)的大小. （8）设实数a,b,c满足bc64a3a2,cb44aa2,则a,b,c的大小关系是_________.

（9）配制A,B两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B药需甲料5毫克，乙料4毫克。今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A,B两种药至少各配一剂，则A,B两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.

2

五、归纳整理，整体认识

1．现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；通过具体情景，建立不等式模型； 2．比较两实数大小的方法——求差比较法． 六、承上启下，留下悬念 1．比较abc与abbcca的大小；

2

2

2

a2b2

与ab的大小． 2．已知a0,b0,且ab，比较

ba

七、板书设计（略） 八、课后记：

高中数学苏教版必修5教案(五)
人教版高中数学必修5教案

数学5 第一章 解三角形

章节总体设计

（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色

1．数学思想方法的重要性

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系

加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，

位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”

3．重视加强意识和数学实践能力

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

（三）教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）

1.2应用举例（约4课时）

1.3实习作业（约1课时）

（四）评价建议

1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。

2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。

课题: 1．1．1正弦定理

●教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课

[探索研究] (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数

abc中正弦函数的定义，有sinA，sinB，又siCn1, ccc

A

abc则csinAsinBsinC

abc从而在直角三角形ABC中，sinAsinBsinC

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函

ab数的定义，有CD=asinBbsinA,则，sinsincb同理可得，sinsinabc从而 sinAsinBsinC

(图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC，

由向量的加法可得 ABACCB

则 jABj(ACCB)

∴jABjACjCB 

0jABcos90A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

同理，过点C作jBC，可得

从而 a

sinac bc b

sinc

sin

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc sinsinsin[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；

abcabcbac（2）等价于，， sinsinsinsinsinsinsinsinAsin从而知正弦定理的基本作用为：

bsinA①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a； sina②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

C1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根据正弦定理，

asinB42.9sin81.80

b80.1(cm)； sin32.0根据正弦定理，

asinC42.9sin66.20

c74.1(cm). sin32.00

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理， bsinA28sin400 sinB0.8999. 因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.

⑴ 当B640时，

C1800(AB)1800(400640)760，

asinC20sin760

c30(cm). sin400

⑵ 当B1160时，

C1800(AB)1800(4001160)240，

asinC20sin240

c13(cm). sin400

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习

第4页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）

abcabc（1）定理的表示形式：kk0； sinAsinBsinCsinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

Ⅴ.课后作业

第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。

教后记：

课题:

●教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点