北师大数列的概念

北师大数列的概念(一)
高中数学 1.1 数列的概念教案 北师大版必修5

1.1 数列的概念

教学目标

1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．

2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．

3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．

教学重难点

教学重点是数列的定义的归纳与认识；

教学难点是数列与函数的联系与区别．

教学过程

一．揭示课题

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书）

象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．

（板书）第三章 数列

（一）数列的概念

二．讲解新课

要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：

①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9

②我国1998~2002年GDP值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数ysinx的图像在y轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成

913175一列数:     …… 22222

111的倒数排成一列数：1,,,…… ⑤正整数

234

⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 …… 1100

1111 ⑦函数y2当 依次取1,2,3,...,n(nN)时得到一列数：1,,,...,2 49xn

请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．

（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．

为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．

由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．

对概念的理解 数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？

教师提出问题：

1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？

2： -1，1，-1，1是否为一个数列？

遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．

（板书）2．数列的表示法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

表示第一项，用

（板书）（1）列举法 表示第一项，……，用

表示第 项，依次写出成为

． ． 简记为

一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． （板书）（2）图示法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应

的项 为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 1111,,,…为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横234

坐标为正整数，所以这些点都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中

可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即

，这个函数

式叫做数列的通项公式．

（板书）（3）通项公式法 认识数列的通项公式

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。 如 1100 1100 1100 …… 1100的通项公式为 an1100 (1n12)

1111,,… 的通项公式为annN； 1,234n

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

例如，数列

的通项公式

，则

．

值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．

除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

（板书）3．数列与函数的关系

认识数列与函数的关系

数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？【北师大数列的概念】

教师：举例。将序号写在上面，下面的相应位置写上数列的各项。首先引导学生说出上

下两行是两组变量，然后分析这两组变量之间的关系。

学生：联想到函数间的变量依赖关系，认识到数列是函数。

教师：数列的定义域和值域分别是什么？

教师引导学生归纳出：数列可以看成是以正整数N*（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。

数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集

，或是正整数集

的有限子集

．

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．

例：P5课本例题

练习：（1）数列a

n的通项公式an4是该数列中的第 16 项．

（2）已知数列an的通项公式ann24n12，则a4= 12，a765是它 的第 11 项 ；从第 7 项起各项为正；an中第 16

（3）an中ann29n100，则值最小的项是第项．

三．小结

1．数列的概念 2．数列的四种表示

四．作业 略

五．板书设计

北师大数列的概念(二)
2017届北师大版 数列的概念 题组训练

题组层级快练(二十九)

1．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x应取( ) A．19 C．21 答案 C

解析 a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21，故选C. 1111

2，，，…的一个通项公式为( )

3815241

A．an＝

2＋11

C．an＝

n（n＋2）答案 C

11

解析 观察知an＝（n＋1）－1n（n＋2）

1234

3．已知数列，，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的有

2345

( )

A．1个 C．3个 答案 C

4．(2016·济宁模拟)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝5A. 61C. 30答案 D

解析 ∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1

∴＝5×(5＋1)＝30. a5

1

5．(2016·保定模拟)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－{an}的前n项之积为Tn，

an则T2 015的值为( ) 1A

21C. 2

B．20 D．22

1

B．an＝n＋21

D．an＝2－1

B．2个 D．4个

n1

( )

a5n＋1

6

B. 5D．30

n－1n1＝，

nn＋1n（n＋1）

B．－1 D．2

答案 B

1

解析 由a2a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而T2 015＝(－1)671

21

×2×＝－1.

2

6．在数列{an}中，已知a1＝a，a2＝b，an＋1＋an－1＝an(n≥2)，则a2 016等于( ) A．a C．b－a 答案 D

解析 通过计算数列的前12项可知，数列的周期为6，而2 016＝6×336，∴a2 016＝a6＝a－b.

7．(2014·辽宁)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A．d<0 C．a1d<0 答案 C

解析 ∵数列{2a1an}为递减数列，∴2a1an>2a1an＋1，n∈N*，∴a1an>a1an＋1，∴a1(an＋1－an)<0.∵{an}为公差为d的等差数列，∴a1d<0.故选C.

8．如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为(

)

B．d>0 D．a1d>0 B．b D．a－b

A．5n－1 C．5n＋1 答案 C

解析 第一个是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，∴a2＝6＋5＝11，a3＝11＋5＝16，观察可得选项C满足此条件．

an9．(2016·衡水调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足2的正整数n的集合为

n

( )

A．{1，2} C．{1，2，3} 答案 B

解析 因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减，得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}a－－

的通项公式为an＝2n1.而≤2，即2n1≤2n，所以有n＝1，2，3，4.

n

B．{1，2，3，4} D．{1，2，4} B．6n D．4n＋2

a－b51017

，，…中，有序实数对(a，b)可以是( ) 3824a＋b

B．(16，－1) 4111

D．(22

10A．(21，－5) 4111

C．(－，

22答案 D

a＋b＝15，

解析 由数列中的项可观察规律，5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2，

a－b＝26，

4111

解得a，b＝－.故选D.

22

17

11．(2016·广东三校期末联考)已知数列{an}满足：a1n∈N*，an＋1＝an(1－

72an)，则a1 413－a1 314＝( ) 2

A

73C

7答案 D

1716373467613

解析 a1＝，a2×＝a3＝×，a4＝×＝….

7277727772777

633

归纳可知当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1 413－a1 314＝.

77712．(2014·新课标全国Ⅱ文)数列{an}满足an＋1＝1

答案

2

111111

解析 由an＋1＝及a8＝2，得2a7＝a7＝，得＝，解得a6＝

2221－a61－an1－a711

－1；同理可得a5＝2.由此可得，a4a3＝－1，a2＝2，a1＝22

13．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 013＝________；a2 014＝________． 答案 1，0

解析 a2 013＝a504×4－3＝1，a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0.

21

14．(2013·新课标全国Ⅰ理)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝

33________． 答案 (－2)n1

－

2

B. 73D. 7

1【北师大数列的概念】

a＝2，则a1＝________． 1－an8

21

解析 由Sn＝an＋，得当n≥2时，

33

2121

Sn－1＝an－1＋n≥2时，an＝－2an－1.又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，∴an＝(－

33332)n1.

－

15．数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N*)，且a2 014＝2，则a2 012＝________． 答案 －3

1思路 将所给数值直接代入求值较为麻烦，将an整理为an＝1时用起来较为方便．

an＋1解析 由anan＋1＝1－an＋1(n∈N*)，a2 014＝2，得an＝11－a2 012＝－1＝－2－1＝－3. 2a2 013

16．(2015·新课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________． 1答案 n

111

解析 ∵an＋1＝Sn＋1Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－1，∴{SnSn＋1Sn1111

是等差数列，且公差为－1，而1，∴1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn.

S1a1Snnn＋2

17．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝a.

3n(1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 答案 (1)a2＝3，a3＝6 (2)an＝

n（n＋1）

2

1－an＋111

＝－1，∴a2 013＝1＝

a2 014an＋1an＋1

4

解析 (1)由S22，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；

353

由S3＝3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝1＋a2)＝6.

32(2)由题设知a1＝1.

当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋1

整理，得ana－.

n－1n1

34

于是a1＝1，a21，a32，…，

12an－1＝

n＋1n

an－2，an＝a－. n－2n－1n1

n＋2n＋1

an－a， 33n－1

n（n＋1）

将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝.

2

n（n＋1）

. 2【北师大数列的概念】

综上，{an}的通项公式an＝

设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a7＋a8的值为________． 答案 28

解析 a7＋a8＝S8－S6＝82－62＝28.

北师大数列的概念(三)
1.1.1数列的概念 教案(北师大版必修五)

1数 列

1．1 数列的概念

●三维目标

1．知识与技能

理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系．

2．过程与方法

按照观察、猜想、发现、归纳和总结的学习过程，进行启发式教学，体会归纳思想．

3．情感、态度与价值观

通过本节课学习，体会数学源于生活，提高数学学习兴趣．

●重点难点

重点：了解数列的概念，了解数列是一种特殊函数．根据数列的前n项写出它的一个通项公式．

难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系． ●教学建议

问题/情境 设计意图师生活动

同学们都知道大自然是美丽的，但如果我说，大自然还是懂数学的，你相信吗？下面，请看图片．

师：多媒体课件展示生动丰富的大自然场景：花菜、向日葵、菠萝等，这些事物似乎都与这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21„„

生：观察图片，投入到教学活动中来．

如果细心观察，就会发现自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念．

●教学流程 创设问题情境，提出3个问题

⇒

⇒引导学生解答问题，引出数列的有关概念通过例1及变式训练，使学生进一步认识数列的有关概念

⇒⇒⇒通过例2及变式训练，使学生掌握数列的通项公式的求法通过例3及互动探究，让学生掌握利用通项公式确定数列的项的问题归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正

小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3 4 5 6 7 8；(2)4 6 8 7 3 5；(3)7 6 5 3 8 4.

1．这三组数字有什么异同之处？

【提示】 都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．

2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？

【提示】 数字的排列顺序．

1．数列的有关概念