反其道而行之

反其道而行之篇一
《反其道而行之》

反其道而行之

我们中国有句老话：＂反其道而行之＂，其实在有些数学问题上，我们也可以运用这种思维方法解决问题．

在今天晚上的练习上，书上给我们出了这样一道颇有趣的数学题：有一池荷花，生长的速度是一天增一倍，要２０天才能长满整个池塘，请问长满半个池塘的时候是第几天？

如果按照传统的方法来思考的话，我们应该从条件出发，一步步的推．最后推出结论．可是在这道题中这种方法是行不通的，这个时候，我就想起了＂反其道而行之＂这句话．于是，我就从后往前推：长满一池需20天，已知荷花的生长速度是一天增一倍，所以19天的时候就长了半池。本来是日增一倍，现在便成了日减一倍，所以这个问题的答案是19天.

反其道而行之，以这样的思路，这个问题就很容易得解.

生活中的数学

今天,我跟爸爸来到了华堂商厦.首先,我们先去给爸爸买衣服,爸

爸挑了一件他特别喜欢的衣服.正好国庆特价打了八折.爸爸问我,一件衣服的价钱是150元,打八折就相当于衣服的价钱乘以0.8，你知道一件衣服多少元吗？我想：150*0.8，先把0.8看成8，再用整数乘法的方法进行计算，计算出结果，最后看因数中一共有几位小数，就从

积数右边起数出几位，点上小数点。结果得120元。我兴奋的回答打

完八折这件衣服的价钱是120元。爸爸又问我：“通常一个数乘另一

个数，积一定比因数大，但为什么这道题的积比其中一个因数大？” 我想，在做练习的时候，自己遇到过。我非常有信心的说：“一个数

乘大于1 的数积比原来的数小。爸爸说：“真聪明，那么除法有没有

这样的规律呀？”“当然有 ，当被除数大于0 ，除数大于1时,商比

被除数小.当被除数大于0,除数小于1时,商比被除数大.” 爸爸说:“那

么我再考考你，这件衣服原价２００元，打五折，现价是多少元？”

我快速的回答：“１００元”。爸爸高兴的说：“我女儿学会举一反三

了！”

买完衣服，我们就来到了地下超市，爸爸对我说：“商店奶制品

搞促销，买二赠一，如果买两箱，相当于打几折？”我说：“不知道。”

爸爸说：“买二赠一就是说花两箱的钱买三箱的奶。一箱５０元就相

当于花１元的钱买了１５０元的奶那拿１００ 除１５０就相当他

打的折数， 结果大约是七折，你明白了吗？”我说“我明白了。”

我越来越发现，数学试用于解决生活的问题！

百分数应用题

今天，我们学习了求一个数是另一个数的百分之几的百分数应用

题，解答这类应用题关键是找准单位“1”，再用“一个数除以另一

个数等于百分之几。

如：“某班级有学生160人，其中女生优4人，女生占百分之几？”单位“1”是男女生总人数，问题上“女生占百分之几”也就是求女生占总人数的百分之几，所以只要用“是”前面的量即“女生人数”除以“是”后面的量单位“1”即男女总人数，列式为84÷160，算出来的用百分数表示（如果除不尽，保留三位小数）。

又如：“某工厂九月份捕鱼1000吨，十月份捕鱼800吨，九月份捕鱼比十月份多百分之几？”这题和刚才那题就不同了，刚才那题直接告诉我们两个量，只要用“是”前面的量除以“是”后面的量就行了，而这题虽然告诉我们两个量，但是问题要求的是“一个数比另一个数多百分之几”，单位“1”的量是十月份捕鱼的吨数，要先求九月份捕鱼比十月份多的吨数，即1000－800，再用多的吨数除以十月份的吨数（即单位“1”），综合列式是（1000－800）÷800。

数学题解答

今天阳光明媚,我正在家中看《小学数学奥林匹克》忽然发现这样一道题：比较1111/111，11111/1111两个分数的大小。顿时，我来了兴趣，拿起笔在演草纸上“刷刷”地画了起来，不一会儿，便找到了一种解法。那就是把这两个假分数化成带分数，然后利用分数的规律，同分子 分数，分母越小，这个分数就越大。解出1111/111<11111/1111。解完之后，我高兴极了，自夸道：“看来，什么难题都难不倒我了。”正在织毛衣的妈妈听了我的话，看了看题目，大声笑道：“哟，

我还以为有多难题来，不就是简单的比较分数大小吗？”听了妈妈的话，我立刻生气起来，说：“什么呀 ，这题就是难。”说完我又讽刺起妈妈来：“你多高啊，就这题对你来说还不是小菜啊！”妈妈笑了：“好了，好了，不跟你闹了，不过你要能用两种方法解这题，那就算高水平了。”我听了妈妈的话又看了看这道题，还不禁愣了一下“还有一种解法。”我惊讶地说道。“当然了”妈妈说道，“怎么样，不会做了吧，看来你还是低水平。”我扣了妈妈的话生气极了，为了证明我是高水平的人我又做了起来。终于经过我的一番努力，第二种方法出来了，那就是用除法来比较它们之间的大小。你看，一个数如果小于另一个数，那么这个数除以另一个数商一定是真分数，同理，一个数如果大于另一个数，那么这个数除以另一个数，商一定大于1。利用这个规律，我用1111/111÷11111/1111，由于这些数太大，所以不能直接相乘，于是我又把这个除法算式改了一下，假设有8个1，让你组成两个数，两个数乘积最大的是多少。不用说，一定是两个接近的，所以1111/111÷11111/1111=1111/111×1111/11111、1111×1111>111×11111，那么也就是1111/111>11111/1111。

数学报上的知识

今天是一个阳光明媚的中午，我正在家里看数学报，无意中看到求比值与化简比这个题目，我想这不是上学期学过的吗？但是我又一想，我还是看一看吧！

“求比值”与“化简比”之间既有区别，又有联系。同学们学习时，要注意以下几点：

1、求比值的目的是求一比的前项除以后项的结果；化简比的目的是把一比化成和它相等并且前、后项互质的整数比。

2、求比值与化简比的方法类似。有以下几种：

（1）运用比的基本性质。如：

5/6∶1/2=（5/6×6）∶（1/2×6）①比值为5/3；②化简比为5∶3。

（2）运用比与除法的关系。如：

6.3∶0.9=6.3÷0.9①比值为7；②化简比为7∶1。

（3）运用比与分数的关系。如：

16∶20=16/20=4/5①比值为4/5或0.8；②化简比为4∶5。

3、求比值的结果是一个数，可以是整数，也可以是小数和分数；化简比的结果是一个比，它可以写成真分数或假分数的形式（见上例），不能写成整数、小数或带分数的，化简比的结果要读成几比几，如：16∶20化简比为4/5，应读作：4∶5。

通过这就可看出，只要我们多看一些关于数学方面的资料，你的成绩会提高的。

数学随想

数学我是您的一位忠实爱好者，

反其道而行之篇二
《反其道而行之巧解题》

反其道而行之巧解题

四川省广元市宝轮中学 唐明友

有的数学问题，从正面思考，困难重重，甚至会陷入山重水复之中。此时，若转换思维角度，打破常规，从问题的反面思考，就会柳暗花明。经常训练这种反其道而行之所获得的解决问题的方法，有利于培养学生的逆向思维能力，应予以重视。

一.反向分式方程转化

例1.解方程：6x－25x＋12x＋25x＋6=0

解：显然x=0不是原方程的解，因此x≠0。两边都除以x得 2432

256＋2=0 xx

1126（x＋2）－25（x－）＋12=0， xx

12设x－=y，则此方程化为6y－25y＋24=0, x

38∴y=或y=, 23

131当x－=时，解得x1=2,x2=- x22

181当x－=时，解得x3=3,x4=- x336x－25x＋12＋2

评注：本题是一元四次方程，各项系数分别为6，-25,12,25,6，具有对称性（有一对互为相反数），这里反而向分式方程转化后，其特征十分明显，再运用常规方法解即可。

二.反从结果思考

例2.某校有128名乒乓球选手，采用淘汰制（即输一场就被淘汰）争夺单项冠军，问共需安排多少场比赛？

解：因每两人比赛一场，则第1轮要赛128128128场，第2轮要赛2，第3轮要赛3场，……。222再将每一轮比赛场数相加求和，这样解较繁杂。

若从问题的结果思考，就简单多了。从淘汰制看，每场比赛总要淘汰一名选手，现在128名选手中要决出冠军，需要淘汰127名选手，因此，共需要安排127场比赛。 评注：有些问题如果由题意盲目进入探索，问题就会复杂化。此时，若能从整体上把握方向，反从结果思考，常会找到问题的简明解法。

三.反证法

例3.设a≠b≠c≠0,求证：三个方程ax＋2bx＋c=0,bx＋2cx＋a=0,cx＋2ax＋b=0不可能均有两个相等的实数根。

证明：假设这三个方程均有两个相等的实数根，则

△1=4b－4ac=0 ①

△2=4c－4ab=0 ② 22222

△3=4a－4bc=0 ③

①＋ ②＋ ③ 得

a＋b＋c－ab―ac―bc=0

两边同乘以2后再配方得

（a－b）＋(b－c)＋(c－a)=0

则a=b=c，这与题设a≠b≠c相矛盾。

故假设不成立，原命题得证。

评注：本题从正面进攻很难奏效，又是否定性命题。因此，从反面考虑，用反证法则轻松获得解决。

四.反将常数当未知数

例4.已知：a≥2，解关于x的方程：x-3x+(4-2a)x+4ax+a-9=0

解：把方程化为以a为未知数的方程：

a-2(x-2x)a+(x-4x+4x-9)=0

a-2(x-2x)a+(x-2x+3)(x-2x-3)=0

[a-(x-2x+3)][a-(x-2x-3)]=0,

∴a=x-2x+3,a=x-2x-3

当a≥2时，原方程的解为：x=1±2或x=1±a4

评注：此方程未知数x的次数太高，无从下手。而常数a的最高次数是2次，如果将常数a反当成未知数，整理成关于a的一元二次方程，通过因式分解化为关于x的两个一元二次方程，再解这两个一元二次方程就水到渠成了。

五.不消元，反增元

例5.解方程：x=(x+3x-2)+3(x+3x-2)-2

解：设y=x+3x-2,则有

2xy3y2① 2yx3x2②2222222222222243243222222222

①－②得：（x-y）(x+y+4)=0

当x=-y时，由②解得：x=-1±3

当x+y+4=0时，将y=-(x+4)代入②得：x+4x+2=0,解之得：x=-2±2

∴原方程的解为：x=-1±, x=-2±2 2

评注：本题若直接去括号就会变成一元四次方程，再解相当困难，必须另辟蹊径。而解方程的通常做法是消元，这里反而增设了一个元y，但过程中的y只起到桥梁的作用，不用求出来。

反其道而行之篇三
《反其道而行之》

反其道而行之篇四
《反其道而行》

反其道而行

我们中国有句老话："反其道而行之"，其实在数学问题

上，我们也可以运用这种思维方法解决问题。

在昨天的数学课上， 有这样一道颇有趣的数学题：有

一池荷花，生长的速度是一天增一倍，要20天才能长满整

个池塘，请问长满半个池塘的时候是第几天? 如果按照传统的方法来思考的话，我们应该从条件出

发，一步步的推.最后推出结论.可是在这道题中这种方法是行不通的，这个时候，我就想起了"反其道而行之"这句话.于是，我就从后往前推：长满一池需20天，已知荷花的生长速度是一天增一倍，所以19天的时候就长了半池。本来是日增一倍，现在便成了日减一倍，所以这个问题的答案是19天。

反其道而行之，以这样的思路，这个问题就很容易得解。

反其道而行之篇五
《反其道而行之》

反其道而行之篇六
《偶尔“反其道而行之”》

反其道而行之篇七
《反其道而行之的对比营销》

反其道而行之的对比营销

陈一鸣:实战营销顾问 冠军团队教练

山东大学领导科学研究中心副主任

赢在营销━━打造高绩效航空业的技巧

大数据时代的微信营销

日前在成都出差，抽空再访诸葛亮的武侯祠。其实，众所周知的武侯祠景区，严格说来包括刘备的汉昭烈庙─刘备的灵寝惠陵，与诸葛亮武侯祠构成了一个景区，是中国唯一的君臣同祀的庙宇。只是因为诸葛亮在蜀汉(今四川地区)的民间形象极佳，民间一般简称这里为武侯祠。在景区讲解员的细心解说下，本已熟悉三国历史的我，再一次神游1800年前的三国场景，细细品味诸葛亮这位千古难得、名垂青史的政治家。同时，再次回顾刘备与诸葛亮这对千古难得的君臣，感悟这两位英雄豪杰1800年前的“新营销”。

诸葛亮，琅琊人(181年~234年)，是中国社会家喻户晓的传奇历史人物。以历史看，诸葛亮是一位难得的政治家，自27岁坐卧隆中，被刘备三顾茅庐请出之后，在群雄并起的战乱年代，以独到的眼光建议刘备暂时离开群雄逐鹿的中原，先取荆州为家，再取益州成三足鼎立之势，继而图取中原，一步一步帮助刘备从四处漂泊、没有根据地，到三分天下，建立起自己的基业。由于诸葛亮出色的政治谋略，再加上罗贯中在《三国演义》对他推崇，而使许多未见正史记载的神话与民间传说，都自动加诸于诸葛亮身上，从借东风到八阵图，到空城计再到木牛流马，使诸葛亮的民间形象，由政治家更成为神机妙算的“神人”，武侯祠也被世人供奉。刘备也不遑多让，原本为一卖草席的落拓青年，处乱世而胸怀大志，在桃园三结义关羽、张飞之后，开始了他的帝王创业之旅，其所建立的蜀汉政权，虽然最后没有一统天下，但其创业的过程，实与刘邦与朱元璋相似，同为中国少有的平民皇帝。更难能可贵的是，三国鼎立的时代，其实蜀汉政权国土最小、人口最少、政权最短，但多数民众却把蜀汉定位为正统，而把国土最大、人口最多的魏国，视同篡汉的叛逆。若以营销策略来看，刘备的营销策略显然高于曹魏，而有较高的民间品牌形象。

细看刘备、诸葛亮这对君臣，其实有很多值得我们学习效法之处。除了众所周知的刘备礼贤下士、三顾茅庐请出诸葛亮，以及诸葛亮鞠躬尽瘁、死而后已，全力付出辅佐刘备、刘禅两代之外，刘备在入川之前与庞统的一段对话，似乎阐述了另一种新的营销方式，值得分享学习。

当刘备听从诸葛亮建议，准备进取益州时，不免在道德与利益之间挣扎。庞统不断进言，说服刘备从现实考虑，进攻益州，以取得三分天下的资本。而刘备的回答，其实正是“对比营销”的新营销方式。刘备回答庞统说：“目前和我势不两立的是曹操，所以曹操对下属严厉，我就对下属宽厚；曹操对人民凶暴，我就对人民仁慈；曹操处事诡诈，我就处事忠信。凡事和曹操相反，就有机会成功。”刘备的“事事与曹操相反”，其实就是现今营销策略中，针对主要竞争对手的策略，实施差异化的“对比营销”，来凸显自己的品牌特色，再进一步建立自己的品牌高度。

一百年前的画家毕加索，刻意将自己的绘画风格由当时的“绘画就是要像”，改变为截然不同的抽象画风，形成了“绘画令人难以看懂”的绘画风格，由此奠定了自己独步全球的抽象画大师的地位。而知名搜寻引擎谷歌，相较于Yahoo在首页提供数以百计的服务项目，

而只推出单项搜索服务，同样以极端的差异化，通过“对比营销”突出属于自己的品牌特色与高度。同样，相较于微软正式与专业的形象，苹果确立的“创新与有趣”定位，同样是与市场领导者形成极端差异，突出属于自己品牌特色的“对比营销”。

营销规划犹如习字练画，须经过“守、破、立”三个过程。初期我们不免师法领导者的成功案例，学习成功者的策略、规划，进而尝试做更多的突破，甚至挑战领导者的游戏规则，最后就可以突破所有限制，形成自己的风格与策略。“对比营销”可以说是在“守、破、立”之后，取得成功的新营销方式。

营销策略千变万化，但正如小平同志所说“黑猫白猫，能抓老鼠的就是好猫”，只要能取得最好的营销效果，创造佳绩，都是成功的新营销！

反其道而行之篇八
《反其道而行之漫话反证法》

反其道而行之——漫话反证法

3个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里一棵大树下躺下来休息一会儿，结果都睡着了．这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额．三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来．但这并没有引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑．其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了．他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？

为了方便用甲、乙、丙代表这三个哲学家，并不妨设甲已经发觉自己的脸给涂黑了．那么甲这样想，“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑．如果我的脸没给涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪．因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了．然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我．由此可知，我的脸也给涂黑了”．

这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了．因此，这是一种间接的证明方法．

仔细分析甲的思考过程，不难看出它分4个步骤：

1．假设自己的脸没被涂黑；

2．根据这个假设进行推理，推得一个与乙对丙的笑不感到奇怪的这个事实相矛盾的结果——乙应对丙的笑感到奇怪；

3．根据这个矛盾，说明原来假设自己的脸没涂黑是错误的．

为什么根据这个矛盾就可以断定原来的假设错了呢？原来在人们的思维中，有这样一个规律：在同一时间内，对于同一个对象的两个相互矛盾的判断，不可能都是对的，无论如何至少有一种是错误的．例如，一个说今天是星期一，另一个说今天是星期二，显然这两个说法不可能都对，至少有一个说法是错误的，因为对同一天来说，不可能是星期一、又是星期二．这个规律在逻辑学上叫矛盾律．甲现在就是利用了矛盾律思考对于丙的笑这同一件事，一个是不感到奇怪，一个说应感到奇怪．那么它们两个之中至少有一个是错误的，而乙不感到奇怪这是事实，是真的，因此另一个“应该感到奇怪”便一定错了．而这个错误是由于假设自己的脸没涂黑而推得的，于是我们断定原来的假设错了．

4．根据原来的假设脸没被涂黑是错误的，便可做出没被涂黑的反面——涂黑了是对的结论．

那么为什么没被涂黑是错误的，它的反面涂黑了就一定正确呢？这是因为在人们的思维过程中，还要遵守这样一个规律：在同一讨论过程中，对某个问题的两种互相否定的判断中，必然是一个是真的．比如，放在你面前的那支铅笔，它不是“红的”，就是“非红的”，绝不会有第三种可能出现．这个规律在逻辑学上叫做排中律．于是，甲最后根据排中律想，既然脸没被涂黑是错误的，那么它的反面——脸被涂黑了就一定正确．

简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面——没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了．

像这样，为了说明某一结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法”．

现在，我们把它变成数学上的叙述．

要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非

A）是错误的，从而断定A是正确的，它的步骤如下：

1．把要证明的结论A否定（也就是假定结论A的反面——非A是正确的）；

2．根据这个假设和其他已知条件进行正确的推理，直到推得一个与已知的事实相矛盾的结果为止；

3．由矛盾说明“假设A的反面正确”是错误的；

4．根据排中律指出，原来要证明的结论A是对的．

用反证法证题，关键是设法导出矛盾，如何导出矛盾呢？

与已知定义、公式、定理、公理矛盾

例1求证：2不是有理数。

p证明 假设2是有理数，那么它可以表示成既约分数的形式，这里的pq

p和q都是正整数，而且是互质的，则2＝， q

即 p2＝2q2„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1）

因此p2是一个偶数，那么p也必然是一个偶数，

不妨设p＝2k（k是整数），把它代入（1）式，得

（2k）2=2q2，

∴ q2＝2k2．

因此q2也是一个偶数，那么q也必是一个偶数．由于P，Q都是偶数，则

p它们有公约数2，可是又知是既约分数，这样便得出了既约分数有公约数q

2的结论，这与既约分数的定义矛盾． 矛盾产生的原因是由于假设2是一个有理数造成的，因此2不是有理数．

例2 求证：在凸多边形的所有内角中，锐角的个数不多于3个．

证明 假设锐角多于3个，即至少有4个为锐角，则外角至少有4个是钝角，它们的和大于90°×4＝ 360°，这与“多边形的外角和等于360°”这一定理相矛盾．

矛盾产生的原因是由于假设在凸多边形的所有内角中，锐角的个数多于3个造成的，因此凸多边形内角中，锐角的个数不多于3个．

与己知条件矛盾

例3 已知：直线a是直线c的垂线，直线b是直线c的斜线．

求证：a与b必相交．

证明 假设a与b不相交，则

a∥b，

∴ ∠1=∠2．

∵ b是c的斜线，

∴ ∠2≠90°．

∴ ∠1≠90°．

∴ a不是c的垂线．

这与已知条件中a是c的垂线矛盾．

矛盾的产生是由于假设a与b不相交造成的，所以a与b必相交．

例4 若a≠0，则关于x的方程：ax＋ b＝0的解是唯一的．

证明 ∵a≠0，

假设ax＋b＝0（a≠0）的解不是唯一的，不妨设x1、x2都是ax＋b=0

（a≠0）的解．这里x1≠x2，则

ax1＋b=0， （1）

ax2＋b=0． （2）

（1）－（2），得

a（x1－x2）=0．

∵ x1≠x2

∴ a＝0．

这与已知条件中的a≠0矛盾．

矛盾的产生是由于假设ax＋b＝0（a≠0）的解不是唯一造成的，因此关于x的方程ax＋b＝0（a≠0）的解是唯一的．

与假设矛盾

例5 试证：质数的个数是无限的．

证明 假设质数只有n个：p1，p2，„，pn．

取正数N＝p1·p2„„pn+1，那么N不能被p1，p2，„„，pn中的任意一个整除，因为它们中任意一个去除N，余数均为1．因此，或者N本身就是质数（显然N个等于p1，p2，„„，pn中任意一个），或者N还含有除n个质数p1，p2，„„，pn以外的质因数p，这都与质数仅有n个的假设矛盾．

矛盾产生的原因是由于假设质数只有n个造成的，故质数的个数是无限的．

自相矛盾

例6 若p1p2＝2（q1＋q2），试证：方程x2＋p1x＋q1=0与x2＋p2x＋q2=0至少有一个方程有实数根．

证明 假设两个方程都没有实数根，则

Δ1＜0，Δ2＜0，

∴ Δ1＋Δ2＜0„„„„„„„„„„„„„„„（1）

另一方面，

Δ1+Δ2＝p12－4q1+ p22－4q2

＝p12＋p22－4（q1＋q2）

＝p12＋p22－2p1p2

（∵ p1p2=2（q1＋q2））

＝（p1－p2）2≥0„„„„„„„„„„（2）

（1）与（2）自相矛盾．

矛盾产生的原因是由于假设两个方程都没有实数根造成的，故方程 x2＋p1x＋q1=0与x2＋p2x＋q2=0至少有一个方程有实根．

由以上例题也可以看出，反证法适宜于下列情形：命题结论涉及无限的；结论涉及“至少”、“至多”的；结论涉及唯一性的；命题结论以否定形式出现的；另外直接证明有困难，而结论的反面较易利用的，也可尝试用反证法．

初学反证法，会有“形反实正”的情形发生．也就是说，第一步假设虽然写下来了，但是后文中都没有用到，而是利用原来的已知条件往下推，所以实质上是直接证法．

例7 求证：a2+b2≥2ab．

错证 假设a2＋b2＜2ab，则由

（a－b）2≥0，

得a2－2ab＋b2≥0，

∴a2＋b2≥2ab„„„„„„„„„„„„„„„（1）

这与假设矛盾，矛盾产生的原因是由于假设a2＋b2＜2ab造成的，故原题得证．

不难看出，（1）式就是欲证的结论．得到（1）式，命题已经得证．“假设”、“引出矛盾”全是多余的．

初学反证法还应注意，如果结论的反面不只一种情形，那么要将各个反面情形一一驳倒，才能肯定原命题正确．

例8 平面上有一点P及△ABC，若PB＋ PC＞ AB＋ AC，求证：点 P在△ABC外部．

证明 假设点P不在△ABC外部，则有如下几种可能．

若点P在BC边上，由 PB＋PC＝BC＜AB＋AC，与已知矛盾，故 P点不可能在BC边上；

若点P在AC（或AB）边上（不包括端点），则

PB＜AB＋AP„„„„„„„„„„„„„„„（1）

PC＝AC-AP„„„„„„„„„„„„„„„„（2）

（1）＋（2），有

PB＋PC＜AB＋AC，

与假设矛盾，故点P不可能在AC（或AB）边上；

若点P与A点重合，显然PB＋PC＝AB＋AC，与已知矛盾，故点P不可能与A点重合．

若点P在△ABC内，延长BP交AC于D，则

AB＋AD＞BP＋PD„„„„„„„„„„„„（3）

PD＋DC＞PC„„„„„„„„„„„„„„„（4）

（3）＋（4），得

AB＋AD＋PD＋DC＞BP＋PD＋PC，

即AB＋AC＞BP＋PC，

与已知矛盾，故P点不在△ABC内．

由此可知，P点必在△ABC外．

作为本文的结束，我们再举一个有趣的例子．

1589年，25岁的意大利科学家伽利略，为了推翻古希腊哲学家亚里士多德的“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的错误论断，他除了拿两个重量不同的铁球登上比萨斜塔，当众做实验来说明外，还使用反证法来加以证明：

假设亚里士多德的断言是正确的，设物体A比物体B重得多，则A应比B先落地．现在把A与B捆在一起成为物体（A＋B）．一方面，由于（A＋B）比A重，它应比A先落地；另一方面，由于A比B落得快，A、B捆在一起时，B应减慢A的下落速度，所以（A＋B）又应比A后落地，这样便得到了自相矛盾的结论：（A＋B）既应比A先落地，又应比A后落地．这个矛盾来源于亚里士多德的断言，因此，这个断言是错误的．

当然，伽利略的论点和他在比萨斜塔上的实验在科学史上永远闪烁着不

反其道而行之篇九
《反其道而行之——数学思维的另一种类》

反其道而行之篇十
《反其道而行之——逆向教文言的思考》