下面是
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2016南宁一模数学文科(1)
一、选择题(本大题共12小题,毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填在答题卷的对应位置上.)
1.直线
的倾斜角的大小是
A.
B.
C.
D.
【解析】B
2.函数
的反函数是
A.
B.
C.
D.
【解析】C
3.已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
【解析】C
4.在
的展开式中，常数项是
A.-30 B.30 C. -15 D.15
【解析】D.
5.若向量
，
满足
，
，
，则向量
，
的夹角大小为
A.
B.
C.
D.
【解析】C.
6.若函数
在
的最小值是1，则实数
的值是
A.1 B.3 C.
D.
【解析】B.
7.已知正四棱柱
的底面边长为2，高为
，
是
和
的交点，则异面直线
与
所成角的余弦值是
A.
B.
C.
D.
【解析】A.
8.设
是双曲线C：
的左、右两个焦点，若双曲线C上存在点
满足
∶
=2∶1且
，则双曲线
的渐近线方程是
A.
B.
C.
D.
【解析】B
,
,
,
,
双曲线
的渐近线方程是
9.已知
是任意角，则“
”是“
”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】A.
10.直线
与曲线
交于
两点，且
，则
A.
B.
C.
D.
【解析】D.
只能在对称轴
左右各
处，所以
为
所对应的函数值
，
11.在椭圆
的内部共有
个整点(点的横坐标和纵坐标都是整数)，以这些整点为顶点的三角形共有
A. 150个 B. 149个 C. 148个 D.147个
【解析】C.
共有如图所示11个整点，三角形共有：
12.已知定义在R上的函数
满足下列三个条件：
(1)对任意的
都有
;(2)
时，
(3)
的图象关于
轴对称，则下列结论中正确的是
A.
B.
C.
D.
【解析】B.
2016南宁一模数学文科(2)
3.第Ⅱ卷共10个小题，共90分.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填答题卷相应题中横线上.
13.设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值是 ▲ .
【解析】
14.在
中，角
所对的边长为
，已知
，
，
，则
▲ .
【解析】
.
15.若等比数列
，对一切自然数
都有
，其中
为该数列的前
项和，则
▲ .
【解析】
.
由已知：
，有
两式相减得：
即
又当
时有
，而
，所以
，所以
16.矩形ABCD中，AB=6，BC=2
，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使A移至点P，且P在平面BCD的射影O在DC上，则二面角P-BD-C的平面角的余弦值是 ▲ .
【解析】
.
三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)
设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，若
，
且
、
、
的大小成等差数列，求角
.
解：
、
、
的大小成等差数列，
，………………………3分
，
………………………5分
，化简得
，…………………8分
，
，
，
，
.………………………………………10分
18. (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
红队队员甲、乙、丙
与蓝队队员A、B、C进行篮球比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一场，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.4,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.
(1)求红队恰有1名队员获胜的概率;
(2) 求红队至少两名队员获胜的概率.
解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则
分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.
因为P(D)=0.4，P(E)=0.5，P(F)=0.5
由对立事件的概率公式知P(
)=0.6，P(
)=0.5，P(
)=0.5.
红队恰有1名队员获胜的事件有：
，
，
. ········2分
由于以上三个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队恰有1人获胜的概率为
P=P(
)+P(
)+P(
)
=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4.
········6分
(2) 红队至少两人获胜的事件有：
，
，
，
. ········8分
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P=P(
)+P(
+P(
)+P(
)
=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.45.········12分
2016南宁一模数学文科(3)
19.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
如图，在四棱锥
中，
,
，
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)设点
在棱
上，且
，试求三棱锥
.
证明：(I)由
平面
得
，
又
,
，得四边形BCDE为正方形，
又
故
，…………………………………6分
(Ⅱ)过
……………………7分
,
……………………9分
在直角三角形AEC中，CE=
,AC=
,得AE=6
=4
三棱锥
……………………12分
20. (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
设数列{
}的前n项和为
，且
.
⑴证明数列{
}为等比数列; ⑵求{
}的前n项和
.
解：(1)令n=1,S1=2a1-3. ∴a1 =3
由 Sn+1=2an+1-3(n+1), Sn=2an-3n,
两式相减，得 an+1 =2an+1-2an-3，
则 an+1 =2an+3 .………………………………4分
所以{
}为公比为2的等比数列……………6分
⑵an+3=(a1+3)·2n-1=6·2n-1，
∴ an =6·2n-1-3 ………………………8分
…………………11分
…………………12分
21 .(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知函数
.
(Ⅰ)若
在
处取得极大值，求实数
的值;
(Ⅱ)若
，求
在区间
上的最大值.
解：解：(Ⅰ)因为
………………2分
令
，得
，
所以
，
随
的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
………………4分
所以
………………6分
(II) 因为
所以
当
时，
对
成立
所以当
时，
取得最大值
………………8分
当
时， 在
时，
，
单调递增
在
时，
，
单调递减
所以当
时，
取得最大值
………………9分
当
时， 在
时，
，
单调递减
所以当
时，
取得最大值
………………10分
当
时，在
时，
，
单调递减
在
时，
，
单调递增
又
，
当
时，
在
取得最大值
当
时，
在
取得最大值
当
时，
在
，
处都取得最大值
. ………………11分
综上所述，
当
或
时，
取得最大值
当
时，
取得最大值
当
时，
在
，
处都取得最大值
当
时，
在
取得最大值
.…………………………………12分
22. (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知椭圆E：
(
>
>0)的焦距为
，A、B两点分别是椭圆E的右顶点、上顶点，且直线AB与圆O：
相切
(1)求椭圆E的方程;
(2)过原点O任作两条相互垂直的射线交椭圆E于P、Q两点，试判断直线PQ是否总与圆O相切，并说明理由.
解：(1)直线AB：
，即
，
∴
，解得
=4，
(舍去)，∴
，
∴椭圆E：
;………………………………………6分
(2)当
不存在时，显然直线PQ是与问题(2)中的圆O
相切;
当
存在时，设OP：
(
>0)，代入椭圆方程
∴
，取
=
>0， 以
代
，得
=
，
∴
，
，
因
，
∴
设边PQ上的高为
，由面积法
∴
，故直线PQ与圆O：
总相切，
同理，由对称性可知，当
<0时，及
<0，结论也成立。…………………12分
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