7年级下册数学第十一章因式分解

7年级下册数学第十一章因式分解(一)
【最新】冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》导学案1

新冀教版七年级数学下册第十一章

《因式分解》导学案

一、预习疏导 P132 –134（3分钟）

1、把一个化成几个的 的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式．

2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，试确定下面变形是整式乘法还是因式分解

①x21=(x1)(x1)②（x+3）（x-3）=x2-9 ③ a（m－n）=am－an ④x2+4x+4=(x+2)2 3、平方差公式：

和的完全平方公式：

差的完全平方公式：

二、自主探究（7分钟）

探究一：多项式因式分解

运用整式乘法进行计算.

① m(a+b+c)= ② (x+1)(x-1)= ③ (a+b)2 = 把下列多项式写成乘积的形式.

① ma+mb+mc=( a+b+c )

② x2 -1 =( x+1 )( )

③ a2 +2ab+b2 =(2

归纳：把一个 分解成几个整式的 ，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ,也叫做 .

(a+b)2 是两个相同因式乘积的形式

因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即

(x1)(x1)（ ） x21 （ ） 探究二：

整式乘法与因式分解的区别：

（1）、整式乘法：“乘积的形式”= 多项式 左边有小括号的乘积形式，

右边没括号的多项式

2x(x－3y)= 因式分解： 多项式 = “乘积的形式”

左边没括号的多项式，

右边有小括号的乘积式。

2πR+ 2πr = 根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边 的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ (1) ．(2x-1)2=4x2-4x+1 (2). 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1)

(3)．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) (4)．x2-4x-12=(x+6)(x-2) 探究三：提公因式法 (找公因式) ①多项式ma+mb+mc中的各项

7年级下册数学第十一章因式分解(二)
七年级数学下册_因式分解

复习：因式分解的常用方法

【知识点归纳】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、拆项（添项）等方法；

【精讲精练】

方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

方法二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

2222(1) (a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222 (2) (a±b) = a±2ab+b --------- a±2ab+b=(a±b)；

22333322 (3) (a+b)(a-ab+b) =a+b--------- a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322 (4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再补充两个常用的公式：

2222 (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222 (6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是ABC的三边，且abcabbcca， 则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

222

方法三、分组分解法.

（1）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：amanbmbn 例2、分解因式：2ax10ay5bybx

2练习：分解因式1、aabacbc 2、xyxy1

（2）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2y2axay 例4、分解因式：a2abbc

22222练习：分解因式3、xx9y3y 4、xyz2yz

方法四、十字相乘法.

（1）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式———x(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

注意：用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 2222

例5、分解因式：x5x6 例6、分解因式：x7x6

222练习、分解因式 (1)x14x24 (2)a15a36 (3)x4x5

2（2）二次项系数不为1的二次三项式——axbxc

条件：（1）aa1a2 a1 c1

（2）cc1c2 ac2

（3）ba1c2a2c1 ba1c2a2c1

分解结果：axbxc=(a1xc1)(a2xc2)

222

例7、分解因式：3x11x10

222练习、分解因式：（1）5x7x6 （2）3x7x2 （3）10x17x3

（3）二次项系数为1的齐次多项式 2

b 例8、分解因式：a8ab128

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。【7年级下册数学第十一章因式分解】

2222练习、分解因式 (1) x23xy2y2 (2) m6mn8n (3) aab6b

（4）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x27xy6y2 例10、x2y23xy2

2222练习、分解因式：（1）15x7xy4y （2）ax6ax8

思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc

方法五、换元法

例11、分解因式（1）2005x2(200521)x2005

（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x2

2222222练习、（1）(xxyy)4xy(xy) （2）(x5x4)(xx2)72

22

例12、分解因式

（1）2x4x36x2x2

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=x2(2x2x61

x111

x2)=x22(x2x2)(xx)6 设x1xt，则x212

x2t2

∴原式=x2（2t22)t6=x22t2t10

=x22t5t2=x22x2

x5

x1

x2

=x·2x2

x5·x·x122

x2=2x5x2x2x1

=(x1)2(2x1)(x2)

（2）x44x3x24x1

解：原式=x2(x24x14

x1

x)=x2

x211

2x24xx1

设x1212

xy，则xx2y2

∴原式=x2(y24y3)=x2(y1)(y3)

=x2(x11

x1)(xx3)=x2x1x23x1

方法六、添项、拆项、配方法

例13、分解因式（1）x33x24 （2）x9x6x33

练习、分解因式

（1）x39x8 （2）x4x22ax1a2 （3）x33x24

方法七、待定系数法

例14、分解因式x2xy6y2x13y6

分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3ym)(x2yn)

例15、（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求ab的值。

（1）分析：前两项可以分解为(xy)(xy)，故此多项式分解的形式必为

(xya)(xyb)

32（2）分析：xaxbx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因

式必为形如xc的一次二项式。

22练习： （1）分解因式x3xy10yx9y2

（2）分解因式x23xy2y25x7y6

（3） 已知：x22xy3y26x14yp能分解成两个一次因式之积，求常数p并

且分解因式。

22（4） k为何值时，x2xyky3x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并【7年级下册数学第十一章因式分解】

分解此多项式。

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7年级下册数学第十一章因式分解(四)
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《因式分解》导学案

一、预习疏导 P132 –134（3分钟）

1、把一个化成几个的 的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式．

2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，试确定下面变形是整式乘法还是因式分解

①x21=(x1)(x1)②（x+3）（x-3）=x2-9 ③ a（m－n）=am－an ④x2+4x+4=(x+2)2 3、平方差公式：

和的完全平方公式：

差的完全平方公式：

二、自主探究（7分钟）【7年级下册数学第十一章因式分解】

探究一：多项式因式分解

运用整式乘法进行计算.

① m(a+b+c)= ② (x+1)(x-1)= ③ (a+b)2 = 把下列多项式写成乘积的形式.

① ma+mb+mc=( a+b+c )

② x2 -1 =( x+1 )( )

③ a2 +2ab+b2 =(2

归纳：把一个 分解成几个整式的 ，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ,也叫做 .

(a+b)2 是两个相同因式乘积的形式

因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即

(x1)(x1)（ ） x21 （ ） 探究二：

整式乘法与因式分解的区别：

（1）、整式乘法：“乘积的形式”= 多项式 左边有小括号的乘积形式，

右边没括号的多项式

2x(x－3y)= 因式分解： 多项式 = “乘积的形式”

左边没括号的多项式，

右边有小括号的乘积式。

2πR+ 2πr = 根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边 的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ (1) ．(2x-1)2=4x2-4x+1 (2). 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1)

(3)．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) (4)．x2-4x-12=(x+6)(x-2) 探究三：提公因式法 (找公因式) ①多项式ma+mb+mc中的各项

7年级下册数学第十一章因式分解(五)
第十一章因式分解练习题

周末作业 2013/5/31

1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（

2222） A、x(ab)axbx B、x1y(x1)(x1)y C、x1(x1)(x1)

2、下列多项式能进行因式分解的是（ ）

A．xy

222D、axbxcx(ab)c B．xy

322 C．xyy 22D．xy 223、2xyxyxyxy(3222

4、9xy+12xy—6xy中各项的公因式是 _________ ．

5.因式分解(1)2a24axy2y (3)8ab12abab (4)24x12x28x = (5)a(x3)2b(x3) (6)m(xy)b(yx) =

6、已知a+b=6,ab=5,求a²b+a b²= ．

7．把多项式m(a2)m(2a)分解因式等于（

222322)32332 ） A (a2)(mm) B (a2)(mm) C、m(a-2)(m-1) D、m(a-2)(m+1)

8、如果xy4，xy8,那么代数式xy的值是 ．

9、分解因式：（1）4ab8b10b (2)2(nm)m(mn) （3）15y(ab)3y(ba)

(4) 6(mn)12(nm) （5）x3x10，求2x

10、分解因式：(1)4x9y (2) x(y2) (3) 81xy (4) 

(5) (xy)(2xy) （6）9(x1)1 (7) 4(xy)9(xy)

(8) ab9ab (9) 2a32a (10) a16 （11）81pp

33424422222222232220106x20092x2008的值 22222212xy2 6422

11、某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭

会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．

（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？

12、某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品．已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．

⑴求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？

⑵有几种购买T恤和影集的方案？

13、我校为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买3个足球和2个篮球共需310元．购买2个足球和5个篮球共需500元．

(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?

(2)根据学校的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个．要求购买足球和篮球的总费用不超过5 720元，这所中学最多可以购买多少个篮球?