2016年乌鲁木齐第二次诊断性数学文科考试
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2016年乌鲁木齐第二次诊断性数学文科考试
乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，则()
A.B.C.D.
2.复数对应的点在复平面的()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是()
A.B.C.D.
4.若满足，则的最小值为()
A.8B.7C.2D.1
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()
A.100B.92C.84D.76
7.在平行四边形中，是的中点，则()
A.1B.2C.3D.4
8.执行如图所示的程序框图，若，则输出的结果为()
A.1B.C.2D.
9.已知都是正数，且，则的最小值为()
A.6B.5C.4D.3
10.设函数，若，则方程的所有根之和为()
A.B.C.D.
11.设，则下列不等式成立的是()
A.B.C.D.
12.设为双曲线右支上一点，是坐标原点，2016年乌鲁木齐第二次诊断性数学文科考试以为直径的圆与直线的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)
13.盒子里装有大小质量完全相同的2个红球，3个黑球，从盒中随机抽取两球，颜色不同的概率为.
14.若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，则此椭圆的内接正方形的边长为.
15.在三角形中，角角所对的边分别为，且，则此三角形的面积.
16.已知四面体满足，则四面体的外接球的表面积是.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列的前项和为，且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记，求数列的前项和为.
18.如图，三棱锥中，是正三角形，平面，，为中点，，垂足为.
(Ⅰ)求证：;
(Ⅱ)求多面体的体积.
19.在一次高三数学模拟测验后，2016年乌鲁木齐第二次诊断性数学文科考试对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：
选修4-1
选修4-4
选修4-5
男生(人)
10
6
4
女生(人)
2
6
14
(Ⅰ)从选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学中，按分层抽样的方法随机抽取7人，则选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学各抽取几人?
(Ⅱ)在统计结果中，如果把“选修4-1”和“选修4-4”称为“几何类”，把“选修4-5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关?
附：.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到轴的距离多1.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点任作直线，交曲线于两点，交直线于点，是的中点，求证：.
21.已知函数.
(Ⅰ)当时，求证：时，;
(Ⅱ)当时，试讨论函数的零点个数.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-1：几何证明选讲
如图，中，以为直径的⊙分别交于点交于点.
求证：(Ⅰ)过点平行于的直线是⊙的切线;
(Ⅱ).
23.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆与圆交于两点.
(Ⅰ)求直线的斜率;
(Ⅱ)过点作的垂线分别交两圆于点，求.
24.选修4-5：不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)若，求证：;
(Ⅱ)若对任意，都有，求的最小值.
乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验
文科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
1~5DACBC6~10ACDCC11~12DB
1.选D.【解析】∵，∴.故选D.
2.选A.【解析】∵，对应的点为.故选A.
3.选C.【解析】为奇函数;为非奇非偶函数;符合条件，
在定义域上为增函数.故选C.
4.选B.【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线，可知当经过点时，取最小值.故选B.
5.选C.【解析】由,得，又∵是第二象限角,
∴，∴原式=.故选C.
6.选A.【解析】由几何体的三视图，可知其直观图如图所示，所以其体积
7.选C.【解析】∵
.故选C.
8.选D.【解析】由，解得或.由框图可知，开始，，.第一步，，.第二步，，.第三步，，.第四步，，.第五步，因为，满足判断框内的条件，故输出结果为.故选D.
9.选C.【解析】∵且，∴，∴当且仅当
时，取最小值.故选C.
10.选C.【解析】，∵，∴，，方程有两根，由对称性，有，∴，故选C.
11.选D.【解析】令，则，令,则，
当时，，，当时，，，
令，同理可知，函数的增区间为，减区间为，
∴当时，，即，即,故选D.
12.选B.【解析】设交点，，则，与
联立，得，若要点始终在第一象限，需要
即要恒成立，若点在第一象限，此不等式显然成立;只需要若点在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时，∴，而，故恒成立，只需，即，∴.故选B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.填.【解析】设红球编号为，黑球编号为，随机抽取两球的情况有种，满足条件的有种，所以.
14.填.【解析】由题意得，，而，∴，又，不可能是钝角，，而，即，∴，∴.
15.填.【解析】不妨设椭圆方程为，依题意得，，得椭圆方程为，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为，代入椭圆方程，得，所以正方形边长为.
16.填.【解析】在四面体中，取线段的中点为，连结，，则，在中,
∴，同理，取的中点为,由，得，在中，，,取的中点为，则,在中，由,
∴四面体的外接球的半径是，∴四面体的外接球的表面积是.
三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.
17.(12分)
(Ⅰ)当时，由得，时，由，，
当时，，，
两式相减，得，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，则.…6分
(Ⅱ)，令，则
记数列的前项和为，即
则
两式相减，得
∴…12分
18.(12分)
(Ⅰ)由题意得，又∵平面，
∴，∴面，∴，
又∵，∴面，∴;…6分
(Ⅱ)在中，，为中点，
∴
在中，，∴，又∵
∴，，易知，平面
∴，又,
∴多面体的体积为…12分
19.(12分)
(Ⅰ)设“选修4—1”、“选修4—4”和“选修4—5”抽取的人数分别为，
则，得，所以“选修4—1”“选修4—4”和“选修4—5”分别抽取名，名，名.…6分
(Ⅱ)由题意得列联表
几何类
非几何类
合计
男生(人)
女生(人)
合计(人)
所以根据此统计有的把握认为学生选答“几何类”与性别有关.…12分
20.(12分)
(Ⅰ)依题意，点到点的距离与它到直线的距离相等，∴点的轨迹是以为焦点，
以直线为准线的抛物线，∴的方程为;…5分
(Ⅱ)根据对称性只考虑的斜率为正的情形，设点在准线上的投影分别为，
要证，就是要证，
只需证，即证…①
设直线的方程为，代入，得，
设，则…②，…③，
在中，令，得，即
因此，要证①式成立，只需证：
只需证：…④，
由②③两式，可知，
∴④式成立，∴原命题获证.…12分
21.(12分)
(Ⅰ)时，，则…⑴
则…⑵，令，得
当时，，∴，即，
∴函数在上为增函数，即当时，，
∴函数在上为增函数，即当时;…5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)和⑵式知，当时，，∴
∴函数的减区间为，增区间为
∴，∴对，，即…⑶
①当时，，又，∴，
∴由⑶得，即
∴函数为增函数，又，
∴当时，，当时，，
∴函数在时有且仅有一个零点
②当时，
ⅰ)当时，，，∴
∴函数在时递减，∴，
故时，函数在时无零点，
ⅱ)当时，由，得
∴函数在时递增，，
当时，，
∴由函数零点定理知，使，
故当时，
当时，，
∴函数的减区间为，增区间为
又，∴对，，
又当时，，∴，
由，∴，
再由函数零点定理知，使得
综上所述：当时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数有两个零点.…12分
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑.如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分.
22.(10分)
(Ⅰ)连结，延长交于，过点平行于的直线是，
∵是直径，∴，∴，
∵四点共圆，∴，又∵是圆内接四边形，∴，
∴，而,∴∽,∴,
∴,∴,∴是⊙的切线.…5分
(Ⅱ)∵,∴四点共圆，
∴,同理,
两式相加
…10分
23.(10分)
(Ⅰ)由，得，，∴…5分
(Ⅱ)设的极角为，，则，
则，代入得
，代入得，
∴…10分
24.(10分)
(Ⅰ)∵
∴…5分
(Ⅱ)∵
∵，∴，∴，∴，∴使恒成立的的最小值是.…10分